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出版者:

作者:Boltianskii, V. G.; Boltjansky, Vladimir G.; Gohberg, Israel

出品人:

页数:120

译者:

出版时间:1985-10

价格:$ 42.93

装帧:

isbn号码:9780521269230

丛书系列:

图书标签:

计算机科学
组合几何
数学
Combinatorial_Geometry
Combinatorial Geometry
Discrete Geometry
Geometric Combinatorics
Incidence Theory
Arrangements of Hyperplanes
Convex Geometry
Graph Theory
Mathematics
Algorithms
Computational Geometry

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具体描述

In this short book, the authors discuss three types of problems from combinatorial geometry: Borsuk's partition problem, covering convex bodies by smaller homothetic bodies, and the illumination problem. They show how closely related these problems are to each other. The presentation is elementary, with no more than high-school mathematics and an interest in geometry required to follow the arguments. Most of the discussion is restricted to two- and three-dimensional Euclidean space, though sometimes more general results and problems are given. Thus even the mathematically unsophisticated reader can grasp some of the results of a branch of twentieth-century mathematics that has applications in such disciplines as mathematical programming, operations research and theoretical computer science. At the end of the book the authors have collected together a set of unsolved and partially solved problems that a sixth-form student should be able to understand and even attempt to solve.

《代数拓扑中的几何与组合》作者： [请在此处填写作者姓名] 出版社： [请在此处填写出版社名称] 出版年份： [请在此处填写出版年份] --- 内容提要本书深入探讨了代数拓扑、离散几何与组合学之间错综复杂且富有成效的交叉领域。它旨在为读者提供一个坚实的理论基础，用以理解和解决那些源自几何直觉但需要精确组合编码的复杂问题。与传统组合几何侧重于凸体、镶嵌或特定图论结构的研究不同，本书将焦点置于利用拓扑工具——特别是同调论、同伦论和流形理论——来揭示离散结构深层次的拓扑不变量和不变性。全书结构严谨，从基础概念出发，逐步过渡到前沿研究课题，确保即便是初次接触代数拓扑工具的组合学家也能循序渐进。本书的特色在于其对“稳定性”和“连通性”概念的几何化诠释，展示了如何在离散设置中应用连续映射的性质。第一部分：基础与离散拓扑的桥梁第一章：复习与预备知识本章首先简要回顾了必需的代数知识，包括群论、环论和域论，重点关注链复形的代数结构。随后，引入了计算机图形学和离散分析中至关重要的单纯复形（Simplicial Complexes）的概念，并详细阐述了胞腔复形（Cell Complexes）的构造。我们强调了形变收缩（Deformation Retracts）在简化复杂结构中的重要性，并引入了三角剖分（Triangulations）在几何离散化中的作用。第二章：基础同调理论在离散设置中的应用本章是全书的基石。我们详细构建了奇异同调（Singular Homology）的离散对应物——单纯同调（Simplicial Homology）。重点阐述了边界算子（Boundary Operators）的明确计算，以及如何利用矩阵运算来确定拓扑不变量，如贝蒂数（Betti Numbers）。通过具体的例子，如环面和球面上的孔洞检测，展示了如何利用第一同调群来量化结构的“洞”的数量。此外，还引入了约化同调（Reduced Homology）及其在处理零维连通分量时的便利性。第三章：组合映射与同伦等价本章将视角从纯粹的同调不变量扩展到更精细的同伦性质。我们定义了组合映射（Combinatorial Maps）以及它们诱导的同态（Induced Homomorphisms）在同调群上的作用。核心内容是阐述同伦等价（Homotopy Equivalence）在组合图谱上的意义。通过分析覆盖空间（Covering Spaces）的离散版本——如涉及图的万有覆叠（Universal Covers of Graphs）——来理解基本的群（Fundamental Group）的计算，特别是对于平面图的嵌入问题的相关性。第二部分：流形、曲面与组合结构第四章：离散曲面与欧拉示性数本章专注于二维流形——曲面。我们从三角剖分的曲面开始，引入了欧拉示性数（Euler Characteristic）的组合公式 $chi = V - E + F$。本书的核心贡献在于证明了对于任何嵌入在 $mathbb{R}^3$ 中的紧致曲面，其欧拉示性数与其拓扑类型（可定向性或不可定向性）的强关联性，而这种关联性是通过特定代数结构的计算而非连续微分几何得出的。我们详细分析了嵌入在三维空间中的图的交叉数与拓扑特性的关系，但避免了对纽结理论的深度探究，侧重于曲面的局部结构。第五章：流形上的组合微分形式本章探索了将微分几何中的概念推广到离散结构。我们定义了组合微分形式（Combinatorial Differential Forms）——即在单纯形的面或边上赋以代数数值的函数。重点讨论了离散的外微分算子（Discrete Exterior Derivative）和它的基本性质（如 $d^2 = 0$）。通过这种构造，我们推导了离散版本的德拉姆上同调（De Rham Cohomology），并将其与组合同调联系起来，但重点仍在于组合计算，而非微分方程的求解。第六章：组合几何中的同调截面与旗本章处理更高级的几何配置，特别是涉及高维组合对象（如 $k$-旗，即 $k$ 个嵌套子空间的序列）的问题。我们引入了在组合结构中定义“截面”的概念，并利用同调理论来判断是否存在非平凡的（即不通过零维点收缩的）截面。这一部分与线性代数中的矩阵秩和零空间紧密相关，展示了组合几何问题如何转化为线性代数问题，其拓扑解释则由同调群的秩提供。第三部分：组合不变量与应用第七章：色彩问题与组合拓扑本章探讨了著名的“组合着色问题”的拓扑视角。我们不直接讨论图的色数，而是利用代数拓扑来证明某些着色问题的存在性。通过构造特定的单纯复形（如分割复形或产品复形），我们将着色问题转化为寻找特定映射在同调群上的零映射，或者寻找特定的不动点。这为理解哪些几何配置是“不可着色”的提供了强有力的代数工具。第八章：稳定性与同调的鲁棒性本章专注于分析由数据扰动或模型微小变化引起的拓扑不变量的变化，这在持久同调（Persistent Homology）的理论背景下具有重要意义，尽管本书不会深入持久同调的算法细节。我们关注于证明在离散系统中，某些拓扑特征（如贝蒂数）在小范围参数变动下保持不变的条件，这本质上是对组合结构的拓扑“稳定性”的定性分析。第九章：结论与展望本章总结了代数拓扑为解决纯粹组合问题带来的独特视角，强调了其在理解高维空间中点集结构和数据分析中的潜力。内容聚焦于如何利用已建立的理论框架来构建新的离散不变量，这些不变量能够区分在经典组合度量下看来相似但拓扑结构迥异的对象。 --- 本书特色：本书的叙述风格侧重于从组合构造到拓扑验证的“自下而上”的推理路径。它避免了对连续流形、微分几何的深入讨论，而是将核心理论的建立建立在有限、可计算的代数对象（如矩阵和群）之上。它不是关于“什么是凸体”或“如何高效计算最优剖分”的书，而是关于“给定一个离散结构，它的拓扑‘形状’如何被量化和证明具有某种不变性”的专著。本书的价值在于提供了一种将离散数据转化为拓扑洞察的精确数学语言。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计倒是挺吸引人的，一种沉静而又充满思考的蓝色调，配上简洁的字体，让我在书店里一眼就注意到了它。拿在手里，感觉厚度适中，不是那种让人望而生畏的大部头，但又足够充实。我一直对数学中的一些抽象概念很感兴趣，尤其是那些能够将几何直观性和组合的离散性巧妙结合起来的领域。这本书的书名——“Results and Problems in Combinatorial Geometry”，立刻就激发了我的好奇心。它似乎预示着一个充满挑战和发现的旅程，一个在看似混乱的组合世界中寻找结构和规律，并在几何框架下进行探索的领域。我尤其喜欢“Problems”这个词，它意味着这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一个激发读者主动思考、参与到数学研究前沿的邀请。我期待着这本书能够带我进入一个未知的领域，去理解那些巧妙的证明，去感受那些精巧的问题设计，甚至，或许能在某个午后，因为一题有趣的组合几何问题而灵感迸发。我希望这本书的语言风格会是那种严谨而不失优雅的，能够清晰地引导我理解那些可能有些复杂的概念，同时又不至于过于晦涩，让非专业人士也能从中品味到数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，“Results and Problems in Combinatorial Geometry”，给我一种既严谨又充满活力的感觉。我一直对数学中那些将抽象概念与具体形式相结合的领域很感兴趣，而组合几何恰好是这样一个迷人的交叉学科。它似乎能够将离散数学的逻辑精巧与几何学的直观优雅融为一体，从而产生许多令人意想不到的深刻洞见。我期待这本书能够为我展示这个领域的一些经典成果，让我了解这个学科的发展脉络以及它在数学研究中的重要地位。更重要的是，“Problems”这个词让我感到非常兴奋，它意味着这本书不仅仅是知识的堆积，更是一种对读者智力的挑战和启发。我希望书中能够包含一些具有代表性的、能够激发思考的难题，并对它们提供一些解决问题的思路和方法。我期待通过阅读这本书，能够更深入地理解组合几何的奥秘，拓宽我的数学视野，甚至可能在面对一些复杂问题时，能够从中汲取灵感，找到新的解题方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，"Results and Problems in Combinatorial Geometry"，听起来就像是一张藏宝图，指引着通往一个充满智慧和创造力的数学领域。我之所以对它产生浓厚的兴趣，是因为我一直认为，数学的魅力不仅在于它精准的结论，更在于它严谨的推理过程以及那些等待被解决的挑战。组合几何，这个名字本身就充满了吸引力——它融合了离散的组合世界和连续的几何空间，这本身就是一种别样的数学美学。我希望这本书能够将这个领域的最新成果以一种清晰、易懂的方式呈现出来，让我能够领略到数学家们如何巧妙地运用组合的工具来解决几何问题，或者如何用几何的视角来理解组合的结构。同时，"Problems"这个词，让我对这本书充满了期待。它不仅仅是知识的传递，更是一种邀请，邀请我去思考，去探索，去尝试解决那些可能看似棘手却又极具魅力的难题。我渴望从这本书中学习到新的方法和技巧，理解那些前沿的研究思想，甚至，希望书中提出的某些问题，能够激发我自己的数学灵感。

评分☆☆☆☆☆

“Results and Problems in Combinatorial Geometry”，这个书名在我脑海中勾勒出了一幅画面：在一片广阔的数学领域里，既有已经构建好的巍峨殿堂（Results），也有等待探索的神秘洞穴（Problems）。我一直对那些能够将离散数学的逻辑美与几何学的直观形象相结合的学科非常着迷，组合几何恰好就是这样一个领域。它就像一座连接两个世界的桥梁，一边是数不清的组合对象，一边是具象化的几何空间。我非常期待这本书能为我打开这扇门，让我看到这个领域里有哪些令人惊叹的发现和重要的定理。更让我兴奋的是“Problems”这个词，它意味着这本书不仅仅是一份知识的清单，更是一份挑战的邀请。我渴望看到那些未被解决的问题，或者那些解决起来需要巧妙思路的难题。我相信，通过学习和思考这些问题，我的数学能力和解决问题的能力都会得到极大的提升。我希望这本书的写作风格能够严谨而富有启发性，能够让我在享受阅读乐趣的同时，也能感受到数学研究的深刻魅力。

评分☆☆☆☆☆

我最近在寻找一些能够拓展我数学视野的书籍，而“Results and Problems in Combinatorial Geometry”这个书名，立刻就抓住了我的眼球。它给我的第一印象是一种既有深度又有广度的学术探索。 combinatorial geometry（组合几何）这个方向，在我看来，就是将离散的“组合”元素与连续的“几何”形状融为一体，这种跨领域的融合总是能产生令人惊叹的数学成果。我很好奇这本书会如何呈现这个领域的精华，是会从一些基础的概念和定理入手，逐步深入到前沿的研究成果，还是会直接聚焦于一些具有代表性的难题，然后层层剖析它们的解决方案？我特别关注“Problems”这个词，它暗示着这本书可能不仅仅是一本介绍性读物，更可能是一本包含着开放性问题的集合，旨在激发读者的研究兴趣和独立思考能力。我希望它能够提供一些我从未接触过的、极具启发性的问题，让我能够尝试运用已有的知识去解决，或者至少能够理解解决这些问题的思路和方法。我期待这本书能在我学习的道路上，扮演一个重要的角色，帮助我建立起对组合几何更系统、更深入的认识，甚至可能为我未来的学术研究方向提供一些灵感。

评分☆☆☆☆☆