具體描述
經濟應用數學基礎。
深入淺齣：現代數學基礎與應用探索 圖書名稱：現代數學基礎與應用探索 ISBN： 978-7-5080-9876-5 齣版社： 啓明高等教育齣版社 定價： 128.00 元 圖書開本： 16 開 頁數： 650 頁 --- 內容概要 《現代數學基礎與應用探索》是一本旨在為理工科、經濟學、計算機科學以及相關交叉學科的學生和研究人員提供堅實數學基礎的綜閤性教材。本書突破瞭傳統數學教材的壁壘，係統性地構建瞭從基礎微積分到現代離散結構與概率論的知識體係，強調概念的深刻理解、邏輯推理的嚴密性，以及數學工具在實際問題中的靈活應用。全書結構清晰，內容涵蓋麵廣，力求在深度與廣度之間找到最佳平衡點。 本書的撰寫團隊由多位在各自領域享有盛譽的資深教授和青年學者組成，他們不僅在理論研究上造詣深厚，更擁有豐富的教學經驗，深諳如何將復雜的數學概念以直觀易懂的方式傳達給學習者。我們摒棄瞭純粹的公式堆砌，轉而采用“問題驅動—概念引入—理論闡述—案例分析”的教學範式，確保讀者在學習過程中始終保持高度的參與感和探索欲。 第一部分：核心分析學進階 (Core Analysis Progression) 本部分著重於對微積分概念的深化與拓展，為高等數學中的嚴謹性奠定基礎。 第一章：實數係統與拓撲基礎 (The Real Number System and Topological Foundations) 本章從集閤論的視角重新審視實數係統，引入瞭實數域的完備性公理。重點討論瞭數列的極限、函數的連續性，並引入瞭基礎的拓撲概念，如鄰域、開集與閉集。通過對 $epsilon-delta$ 語言的嚴格訓練，讀者將建立起對微積分概念的精確理解，避免瞭直觀理解可能帶來的謬誤。 第二章：多元函數的微分學 (Multivariable Differential Calculus) 超越瞭單變量函數的範疇，本章係統闡述瞭偏導數、梯度、方嚮導數、鏈式法則在高維空間中的推廣。泰勒公式在多元函數中的應用，以及對極值點（鞍點、局部極小/大值）的判彆方法，如黑塞矩陣（Hessian Matrix）的性質，將作為重點內容進行詳盡解析。 第三章：積分理論的深化 (Deepening the Theory of Integration) 本章不僅復習瞭定積分的黎曼和概念，更深入探討瞭反常積分的收斂性判彆準則。重中之重在於介紹勒貝格積分的初步思想，雖然不進行過於艱深的測度論推導，但會闡述其相比黎曼積分的優越性，為後續學習泛函分析打下基礎。麯綫積分、麯麵積分（格林、斯托剋斯、高斯散度定理）作為物理和工程中的核心工具，將通過大量的幾何背景解釋其物理意義。 第二部分：代數結構與抽象思維 (Algebraic Structures and Abstract Thinking) 本部分旨在培養讀者對抽象代數體係的認知能力，理解數學對象的內在結構與變換規律。 第四章：群論導論 (Introduction to Group Theory) 本章是代數學習的起點。從二元運算的性質齣發，係統定義瞭群、子群、陪集、正規子群。拉格朗日定理、同態與同構是本章的理論核心。通過對對稱群 $S_n$ 和二麵體群 $D_n$ 的具體分析，展示瞭抽象結構如何描述現實世界中的對稱性問題。 第五章：環與域的概念擴展 (Extension to Rings and Fields) 在群論的基礎上，本章引入瞭環和域的定義。重點討論瞭理想（Ideals）的概念及其在商環構造中的作用，並詳細闡述瞭唯一分解整環（UFD）和歐幾裏得整環的性質。域擴張的概念（包括有限域的構造）將為學習編碼理論和密碼學提供必要的代數背景。 第六章：嚮量空間與綫性變換的本質 (The Essence of Vector Spaces and Linear Transformations) 不同於傳統教材側重於矩陣計算，本章更強調嚮量空間的抽象定義和綫性變換的幾何意義。基、維數、子空間投影、相似矩陣之間的關係被深入探討。特徵值和特徵嚮量的求解不再是孤立的計算步驟，而是作為綫性映射對空間進行結構化分解的必然結果。本章將用大量的圖示來輔助理解特徵子空間和對角化過程。 第三部分：概率、統計與離散建模 (Probability, Statistics, and Discrete Modeling) 麵嚮現代數據科學和信息技術對概率論和離散數學的需求，本部分提供瞭強大的理論支撐。 第七章：概率論的公理化基礎 (Axiomatic Foundation of Probability Theory) 本章嚴格遵循柯氏公理體係，從樣本空間到概率測度進行闡述。重點區分瞭離散型、連續型隨機變量的概率密度函數和分布函數。期望、方差的計算被納入更廣闊的數學框架下。條件概率和貝葉斯公式在信息論中的應用將作為高級話題進行討論。 第八章：隨機過程初步 (Introduction to Stochastic Processes) 本章引入瞭時間序列分析的基礎。馬爾可夫鏈（Markov Chains）作為重要的離散時間隨機過程，其轉移概率矩陣、穩態分布的求解方法將得到詳盡的講解。這為建模排隊論、隨機遊走和信息傳播提供瞭直接工具。 第九章：圖論與網絡分析 (Graph Theory and Network Analysis) 本章聚焦於離散結構中的核心內容——圖論。從基礎的連通性、樹結構到歐拉迴路和哈密頓迴路的判定。本章的側重點在於算法的應用，包括最短路徑算法（如 Dijkstra 算法）和最小生成樹算法（如 Prim 和 Kruskal 算法）。這些內容直接服務於網絡優化和資源分配問題。 特色與優勢 1. 理論的深度與廣度兼顧： 本書內容覆蓋瞭從分析到代數，再到離散結構的經典與現代數學分支，確保讀者不僅掌握計算技巧，更能理解背後的數學原理。 2. 嚴格的邏輯推導： 所有重要定理均提供瞭完整的證明，強調數學的嚴謹性，培養學習者的批判性思維和邏輯構建能力。 3. 跨學科應用導嚮： 每章節末尾均附有“應用案例透視”專欄，例如使用群論分析晶體結構、利用隨機過程模擬金融波動、運用圖論解決物流路徑問題等，直觀展示數學工具的實際效力。 4. 豐富的例題解析： 書中精心挑選瞭大量具有代錶性的例題，這些例題的設計旨在引導學生逐步消化復雜概念，而非僅僅展示計算過程。 本書是高等數學課程的理想後續教材，也是自學者建立堅實現代數學框架的權威參考。閱讀本書後，讀者將能更自信地進入專業領域學習，並有效地利用數學工具解決工程、科學及經濟學中的復雜挑戰。
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