矩阵扰动分析

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出版者:科学出版社
作者:孙继广
出品人:
页数:0
译者:
出版时间:1987-2
价格:32.00元
装帧:
isbn号码:9787030095121
丛书系列:计算方法丛书
图书标签:
  • 数学
  • 教材
  • 2009
  • 矩阵分析
  • 扰动分析
  • 数值线性代数
  • 误差分析
  • 科学计算
  • 矩阵理论
  • 稳定性分析
  • 算法分析
  • 优化
  • 数学模型
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具体描述

本书系统地论述了矩阵扰动分析的理论、方法和新的进展.内容包括:矩阵空间的范数与度量,线性方程组和最小二乘问题的扰动理论,代数特征值问题的扰动理论等.本书不仅是总结作者多年研究工作的专著,而且是一本很好的教材.书中各节都附有难易程度不同的习题.本书读者对象为高等学校有关专业的高年级学生、研究生、教师和工程技术人员.

深入解析现代控制理论中的数值稳定性和计算效率 一部聚焦于数值线性代数在系统分析中应用的专著 本书旨在为高级本科生、研究生以及工程和数学领域的专业研究人员提供一套全面且深入的框架,用以理解和应用数值线性代数的核心概念,特别是在处理大型复杂动力系统和高维信号处理问题时的挑战。我们摒弃了传统教材中侧重于抽象理论推导的叙事方式,转而强调算法的实际性能、数值稳定性以及计算资源的优化配置。 全书结构围绕着系统建模的实用需求展开,从最基础的矩阵运算的误差源分析入手,逐步深入到前沿的迭代求解方法。 --- 第一部分:数值计算的基石与误差分析 (Foundations and Error Analysis) 本部分为后续复杂算法的理解奠定坚实的数学基础,重点关注浮点运算的内在局限性。 第1章 浮点数的精确性边界与信息损失 我们首先探讨计算机内部如何表示实数,详细分析IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数格式。讨论有效数字的损失、舍入误差的累积效应,以及在执行矩阵乘法、向量加法等基本操作时,如何量化误差的增长。本章将引入条件数 (Condition Number) 的概念,作为衡量一个数学问题本身内在敏感度的客观标准,而非算法的缺陷。通过对病态 (Ill-Posed) 问题的剖析,强调在设计任何计算方案前,对输入数据稳定性的初步评估至关重要。 第2章 线性系统的数值求解:直接法与稳定性 本章聚焦于求解线性方程组 $Ax=b$ 的经典直接方法。详尽分析高斯消元法的几何意义与数值稳定性。重点讨论主元选择(Pivoting) 策略——包括部分选主元和完全选主元——如何有效地控制误差放大。随后,对LU分解、Cholesky分解(适用于对称正定系统)的计算复杂度和数值可靠性进行对比分析。特别指出,在大型稀疏系统中,直接分解可能导致填入 (Fill-in) 问题的严重性,并初步介绍如何通过重新排序技术(Reordering Techniques)来优化矩阵的存储结构。 --- 第二部分:特征值问题的数值实现与应用 (Eigenvalue Problems in Practice) 特征值与特征向量是分析系统模态、系统响应和稳定性分析的核心。本部分专注于如何在有限精度环境下,可靠地提取这些关键信息。 第3章 特征值问题的背景与挑战 本章首先回顾特征值问题的理论背景,随后立刻转向数值挑战。我们区分了对称矩阵与非对称矩阵的特征值计算的本质区别,并解释了为何后者在数值上远比前者困难。重点讨论相似变换的稳定性问题,引入上/下三角化的概念,以及如何利用舒尔分解 (Schur Decomposition) 确保特征值计算的数值稳定性。 第4章 迭代算法:QR算法的深度剖析 QR算法是计算所有特征值的黄金标准。本章将详细推导基本QR算法,并阐述如何通过Hessenberg约化和Shifted/Wilkinson Shift策略,将其计算效率提升到实用水平。对双步QR算法在处理非对称矩阵时引入的复数平面问题进行深入探讨,并展示如何通过Gershgorin圆定理来预测特征值的分布,指导迭代过程的收敛性。 第5章 针对大型稀疏系统的特征值提取 对于涉及成千上万自由度的物理系统(如有限元分析),计算全部特征值是不切实际的。本章聚焦于子空间迭代方法。深入讲解Lanczos算法的原理,特别关注其在生成Krylov子空间方面的优雅性,以及它如何通过构造三对角矩阵来实现高效的特征值近似。同时,对比分析Arnoldi迭代法在处理一般非对称矩阵时的性能和收敛特性,以及如何处理由数值误差导致的Lanczos过程的失交 (Deflation) 问题。 --- 第三部分:大规模系统的迭代求解器与预处理技术 (Iterative Solvers and Preconditioning) 当矩阵规模达到百万量级时,直接求解法因内存和计算量的爆炸性增长而变得不可行。本部分完全致力于高效的迭代方法。 第6章 经典迭代方法与收敛性分析 本章系统介绍求解 $Ax=b$ 的经典迭代方案:雅可比 (Jacobi) 和 高斯-赛德尔 (Gauss-Seidel) 方法。虽然它们在现代计算中不常用,但对于理解迭代过程的原理至关重要。核心在于分析其迭代矩阵的谱半径,从而判断收敛性。随后,引入收敛更快的共轭梯度法 (CG),详细阐述其正交性原理,并明确指出CG仅适用于对称正定系统的限制。 第7章 非对称系统的迭代方法:Krylov子空间方法 面对非对称和不定系统,Krylov子空间方法成为主力。我们将详细推导并实现双共轭梯度法 (BiCG)、双正交化梯度法 (BiCGSTAB) 和广义最小残量法 (GMRES)。重点分析GMRES在残差收敛过程中的表现,并讨论其主要的缺点——存储需求。随后,介绍残差平滑 (Residual Smoothing) 技术以及子空间重启动 (Restarting) 策略如何权衡计算量与收敛速度。 第8章 预处理技术:加速迭代收敛的艺术 预处理是现代数值线性代数的灵魂所在。本章探讨如何构造一个预处理器 $M$,使得求解 $ ext{M}^{-1}Ax=M^{-1}b$ 的新系统具有更优良的谱特性。我们将深入分析几种常见的预处理技术: 1. 代数多重网格 (AMG) 预处理器的理论基础:如何从数据本身构建多层网格结构以捕获不同尺度的误差。 2. 不完全分解预处理 (Incomplete Factorization):如IC (Incomplete Cholesky) 和 ILU (Incomplete LU) 分解,以及如何通过调整零模式来控制内存开销。 3. 频谱限制与重构 (Spectral Transformation):调整特征值分布以提高CG算法的效率。 --- 第四部分:矩阵函数的数值计算 (Numerical Computation of Matrix Functions) 在处理常微分方程的解(如状态转移矩阵 $e^{At}$)或求解偏微分方程的散度项时,矩阵函数是不可或缺的工具。 第9章 矩阵指数与对数函数的计算 本章聚焦于矩阵指数 $e^A$ 的数值实现。我们对比泰勒级数展开法的局限性与缩放与平方 (Scaling and Squaring) 算法的优越性。重点介绍基于Padé近似的实现,并讨论如何结合上三角化技术来保证最终结果的准确性。此外,还将简要介绍矩阵对数的实用计算方法。 第10章 基于函数逼近的矩阵函数计算 本章讨论更通用的矩阵函数 $f(A)$ 的计算,特别是针对大型稀疏或低秩矩阵。我们将详细阐述基于Krylov子空间投影的方法,例如,如何利用Arnoldi或Lanczos方法将 $f(A)$ 的计算转化到较小的投影空间上,从而极大地降低计算复杂度,这在求解瞬态响应和系统稳定性分析中具有核心价值。 --- 全书的每一章节都配有大量的MATLAB/Python (NumPy/SciPy) 代码实例,旨在引导读者不仅理解算法的数学原理,更能熟练地在实际工程问题中部署和调试高效的数值方案。本书最终目标是培养读者对数值计算的“直觉”——即何时需要更精确的算法,何时可以接受近似,以及如何以最少的计算代价获得满足工程精度的结果。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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这部作品的叙事手法极为老练,它没有采用那种一板一眼的线性推进,反而像是一张铺展开来的巨大挂毯,每一个章节都像是精雕细琢的局部图案。作者对人物内心世界的挖掘达到了令人咋舌的深度,角色的每一次犹豫、每一次决断,都伴随着细腻入微的心理描写,让人感觉自己仿佛就是那个身处迷雾中的个体,呼吸着同样的空气,承受着同样的压力。尤其是在描绘主角与周遭环境的冲突时,那种张力几乎要撕裂纸张,文字如同锋利的刀刃,精准地切割着读者的情感防线。情节的设置精妙绝伦,高潮迭起却不显突兀,转折之处总能让人拍案叫绝,绝非简单的逻辑推演,而是充满了对人性和命运深刻洞察后的必然。读完之后,脑海中久久挥之不去的是那些鲜活的形象,以及他们所代表的某种哲学思考,这本书无疑是近年来少见的能让人产生强烈代入感和回味悠长的文学佳作。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲,初翻开这本书时,我有些担心它会过于晦涩难懂,但事实证明,我的担忧是多余的。作者在处理复杂主题时,展现出惊人的亲和力,他似乎有一种魔力,能将最深奥的道理,用最贴近生活的比喻或场景来阐释,使得每一个读者都能在自己的经验坐标系中找到共鸣点。角色的命运纠葛错综复杂,但我从未感到迷失,因为作者始终提供了一根清晰的情感主线作为指引。更难能可贵的是,这本书充满了对“不确定性”的深刻接纳,它没有提供廉价的圆满结局,而是描绘了生命本身的无常与韧性。它教会我的不仅仅是故事本身,更是一种面对生活不确定性时应有的从容和清醒,读完之后,感觉精神层面得到了极大的拓宽和滋养。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉是极度沉静而又暗流汹涌。它没有那种浮于表面的喧嚣和故作高深的做作,作者的笔触是克制而精准的,仿佛一位经验丰富的外科医生,冷静地剖析着事件的肌理。叙事节奏掌握得炉火纯青,在需要沉思的地方,它会放慢脚步,让你有足够的时间去消化那些潜藏的伏笔和隐喻;而在关键时刻,节奏又会骤然加快,留给读者的反应时间几乎为零。这种张弛有度的节奏感,让阅读过程充满了一种仪式般的庄重感。作者对于“沉默的表达”有着深刻的理解,很多时候,人物一个眼神、一个细微的动作,所蕴含的信息量,远超大段的对白。它要求读者不仅用眼睛看文字,更要用心去感受文字背后的空隙和留白,这是一部需要静下心来细品的佳作。

评分☆☆☆☆☆

如果用一个词来形容这本书的阅读体验,那便是“酣畅淋漓的智力角逐”。这本书的结构设计宛如一个精密的机械装置,每一个齿轮的咬合都恰到好处,推动着故事向着一个宏大而又令人意想不到的终局前进。作者在构建世界观方面展现了惊人的想象力和严谨的逻辑性,那些看似毫不相干的线索,到最后都会汇集成一条清晰有力的主线,这种解谜般的阅读快感是其他许多小说难以企及的。语言的运用更是充满了力量感和画面感,尤其是在描绘那些宏大场景和关键对峙时,词语的选择充满了精准的重量,仿佛能听见决策落下的回声。它不仅仅是在讲述一个故事,更像是在邀请读者参与一场高风险的思维游戏,挑战你的预测能力和对人性的基本判断。对于偏爱结构复杂、逻辑缜密叙事的读者来说,这本书简直是打开了一个全新的世界。

评分☆☆☆☆☆

这本作品的文学气质非常独特,它成功地将一种近乎古典的叙事美学与现代语境下的主题思考熔于一炉。阅读时,我时不时会被作者那些富有韵律感的长句所吸引,那些句子排列组合起来,如同音乐的乐章,有着内在的和声与节奏感。它似乎不急于取悦大众,而是专注于打磨其核心的艺术价值。书中对某些特定社会现象的批判,虽然点到为止,却极具穿透力,它没有直接给出答案,而是将一个又一个尖锐的问题抛给读者,迫使我们审视自身所处的环境和我们所信奉的价值体系。整体上,它散发着一种历经沉淀后的醇厚感,像是窖藏多年的老酒,初尝平淡,回味却悠长而复杂,值得反复品味和研究其文字构造的精妙之处。

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有幾章看不懂。

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