孤立子、非线性发展方程和逆散射 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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页数:516

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出版时间:2000-6

价格:72.00元

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isbn号码:9787506247009

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物理
数学
孤立子
非线性方程
逆散射
数学物理
偏微分方程
Soliton
Nonlinear Evolution Equations
Inverse Scattering
数学
物理学

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具体描述

《孤立子.非线性发展方程和逆散射(英文版)》An exciting and extremely active area of research investigation during the past twenty years has been the study of Solitons and the related issue of the construction of solutions to a wide class of nonlinear equations. Indeed there have been a few books written which serve to review aspect of this burgeoning field. A book coauthored by one of us (MJA) exactly ten years ago, discussed many of the relevant viewpoints as well as a variety of applications. Certain important and novel subareas of research such as the the application of the Inverse Scattering Transform (I.S.T.) to solve nonlinear wave equations on the infinite interval, in one spatial and one temporal dimension (1 + 1), were described in detail. At that time the complete inverse scattering methodology had been carried out primarily for those nonlinear equations related to second order scattering problems. Although it was known that certain nonlinear evolution equations in one and two spatial dimensions were related to suitable (higher order and two dimensional) linear scattering problems, and special techniques were available, nevertheless it was not yet clear that a unified and effective procedure could be applied to all of these nonlinear equations. The main purpose of this book is the description of how the I.S.T. technique can be applied to these situations.

《波动现象的经典理论与现代解析》一部深入探讨经典物理学中波动的起源、传播规律及其在工程应用中的基础性著作。本书导言：波动是自然界中最普遍、最迷人的物理现象之一。从声波在空气中的传播到光波在真空中的穿行，再到水面涟漪的扩散，波动现象深刻地影响着我们对物质世界和信息传递的理解。尽管在二十世纪末，非线性动力学和孤立子理论取得了突破性的进展，但支撑我们理解宏观物理世界和工程实践的，仍然是建立在傅里叶分析和线性系统理论基础上的经典波动理论。本书旨在系统梳理和深入剖析这些奠定现代物理学和工程学基础的经典理论框架。我们聚焦于线性的、可微的偏微分方程（PDEs），这些方程在描述非耗散、弱相互作用或小振幅近似下的物理过程时，展现出无与伦比的精确性和解释力。本书不侧重于描述复杂介质中的耗散或极端非线性效应，而是致力于构建一个坚实而清晰的数学物理基础，使读者能够熟练地应用傅里叶变换、拉普拉斯变换、分离变量法和格林函数等核心工具。第一部分：一维波动方程的基石本部分从最基础的一维波动方程——弦的振动方程（或称声波方程的简化形式）——入手，确立波动分析的数学框架。第一章：波动方程的建立与基本解详细介绍如何从牛顿第二定律（或达朗贝尔原理）导出标准齐次一维波动方程 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$。我们将严格推导其达朗贝尔解（D'Alembert's solution），并分析初始条件（位移和速度）如何通过双曲积分形式决定解的未来演化。本章将重点讨论波动在空间中的因果性和能量守恒的内在体现。此外，还会引入无界介质中的平面波解及其相位、频率和波数的概念。第二章：边界条件与分离变量法系统探讨边界条件对波动模式的决定性影响。我们将详细分析三种主要的边界条件：固定端（Dirichlet）、自由端（Neumann）和弹性端（Robin）。通过分离变量法，我们将波动方程转化为常微分方程组（常微分方程在时间上和空间上），并引入特征值问题。重点讨论傅里叶级数的收敛性及其在解析周期性解中的应用。读者将掌握如何利用傅里叶展开来构造满足特定初边值问题的唯一解。第三章：非齐次问题与格林函数初步本章将扩展到具有外部激励或内部源项的波动问题（非齐次方程）。我们将介绍求解非齐次问题的系统方法，核心在于格林函数的构建。详细推导一维空间中描述瞬时点源响应的格林函数，并阐述其在积分形式下表示任意源项响应的物理意义。这部分内容将作为后续高维问题处理的基础。第二部分：多维波动与傅里叶分析的威力本部分将研究二维和三维空间中的波动现象，并凸显傅里叶变换在处理无限大区域问题中的优越性。第四章：二维与三维波动方程研究二维（如薄膜振动）和三维（如声学、电磁波的标量近似）波动方程的特征。在二维情况下，我们将探讨圆形边界下的拉普拉斯方程与波动方程的联系，引入贝塞尔函数作为径向部分的本征解，这是处理圆柱对称问题的关键。在三维情况下，我们将简要介绍球面波的概念和球谐函数的应用前景，但不深入讨论椭圆算子的复杂性。第五章：傅里叶积分变换在波动分析中的应用本章是应用数学的核心。我们将系统回顾傅里叶变换的性质（线性、时移、卷积定理）。重点演示如何利用双重傅里叶变换（对时间和空间变量同时进行变换）将偏微分方程转化为代数方程，从而求得解的频谱表示。我们将详细分析如何利用逆变换从频率域和波数域重构时域和空间域的解。第六章：能量、群速与色散关系本章侧重于波动的物理特性分析。我们讨论波动方程在理想介质中能量密度和能流的表达式，并证明其守恒性。更重要的是，我们将引入色散关系（$omega$ 与 $k$ 的关系）的概念。在理想（无色散）波动方程中，相速度等于群速度，本章将用数学方法严格证明这一点，并解释这代表的物理意义——信息和能量的传播速度一致。第三部分：拉普拉斯方程与稳态分析波动方程描述的是动态演化，而拉普拉斯方程（或泊松方程）描述的是系统的稳态或无时间变化的场分布，它们在数学上紧密相关。第七章：拉普拉斯方程与调和函数介绍拉普拉斯方程 $ abla^2 u = 0$ 在描述静电势、稳态温度分布以及不可压缩流场中的作用。重点讨论平均值定理和最大/最小值原理，这些原理揭示了调和函数在稳态问题中的内在约束。第八章：二维静电场与复变函数方法在二维平面问题中，拉普拉斯方程解的求解与解析函数（复变函数）理论有着深刻的联系。本章将介绍共形映射如何用于简化具有复杂边界的静电场和稳态流场问题。通过解析函数的实部和虚部构建满足边界条件的调和函数，提供一种强大的几何求解工具。第九章：泊松方程与泊松核处理带有源项的稳态问题，即泊松方程 $ abla^2 u = f$。我们重访格林函数的概念，并将其专业化为泊松核（或称为基本解）。通过积分表示法，展示如何利用泊松核计算任意源项分布下的稳态势函数。这为理解电磁场中的电势和引力场提供了坚实的数学基础。结语：从线性到更广阔的领域本书的分析主要局限于线性方程，其解具有叠加性。这种叠加性是理解复杂物理现象的起点。通过掌握这些经典工具，读者将为进一步探索更复杂的非线性现象（如色散和平坦波的形成）打下不可动摇的数学基础，并能熟练地将理论模型应用于实际的声学、光学和材料科学的工程挑战中。本书内容侧重于清晰的推导、严格的证明和成熟的工程应用数学技巧的结合。