Introduction to Topology

出版者:American Mathematical Society

作者:Vassiliev, V. A.

页数:149

译者:A. Sossinski

价格:0

isbn号码:9780821821626

丛书系列:Student Mathematical Library

具体描述

This English translation of a Russian book presents the basic notions of differential and algebraic topology, which are indispensable for specialists and useful for research mathematicians and theoretical physicists. In particular, ideas and results are introduced related to manifolds, cell spaces, coverings and fibrations, homotopy groups, intersection index, etc. The author notes, “The lecture note origins of the book left a significant imprint on its style. It contains very few detailed proofs: I tried to give as many illustrations as possible and to show what really occurs in topology, not always explaining why it occurs.” He concludes, “As a rule, only those proofs (or sketches of proofs) that are interesting per se and have important generalizations are presented.”

作者简介

V. A. Vassiliev: Independent University of Moscow, Moscow, Russia

目录信息

Chapter 1. Topological spaces and operations with them 16
§1.1.Topological spaces and Homeomorphisms 16
§1.2.Topological operations on topological spaces 19
§1.3.Compactness 22
Chapter 2. Homotopy groups and homotopy equivalence 24
§2.1.The fundamental group of a topology space 25
§2.2.Higher homotopy groups 27
Chapter 3. Coverings 36
Chapter 4. Cell spaces (CW-complexes) 40
§4.1.Definition and main properties of cell spaces 41
§4.2.Classification of coverings 46
Chapter 5. Relative homotopy groups and the exact sequence of a pair 50
Chapter 6. Fiber bundles 56
§6.1. Locally trivial bundles 56
§6.2. The exact sequence of a fiber bundle 61
Chapter 7. Smooth manifolds 64
§7.1. Smooth structures 65
§7.2. Orientations 67
§7.3. Tangent bundles over smooth manifolds 68
§7.4. Riemannian structures 70
Chapter 8. The degree of a map 74
§8.1. Critical sets of smooth maps 74
§8.2. The degree of a map 75
§8.3. The classification of maps M[sup(n)] -> S[sup(n)] 78
§8.4. The index of a vector field 81
Chapter 9. Homology: Basic definitions and examples 84
§9.1. Chain complexes and their homology 84
§9.2. Simplicial homology of simplicial polyhedra 86
§9.3. Maps of complexes 93
§9.4. Singular homology 94
Chapter 10. Main properties of singular homology groups and their computation 98
§10.1. Homology of the point 98
§10.2. The exact sequence of a pair 99
§10.3. The exact sequence of a triple 103
§10.4. Homology of suspensions 104
§10.5. The Mayer–Vietoris sequence 105
§10.6. Homolopy of wedges 107
§10.7. Functoriality of homology 107
§10.8. Summary 108
Chapter 11. Homology of cell spaces 110
§11.1. Cellular complexes 110
§11.2. Example: homology of projective spaces 112
§11.3. Cell decomposition of Grassmann manifolds 113
Chapter 12. Morse theory 118
§12.1. Morse functions 118
§12.2. The cellular structure of a manifold endowed with a Morse function 119
§12.3. Attaching handles 121
§12.4. Regular Morse functions 121
§12.5. The boundary operator in a Morse complex 125
§12.6. Morse inequalities 129
§12.7. Standard bifurcations of Morse functions 130
Chapter 13. Cohomology and Poincaré duality 134
§13.1. Cohomology 134
§13.2. Poincaré duality for manifolds without boundary 137
§13.3. Manifolds with boundary and noncompact manifolds 139
§13.4. Nonorientable manifolds 140
§13.5. Alexander duality 141
Chapter 14. Some applications of homology theory 144
§14.1. The Hopf invariant 144
§14.2. The degree of a map 146
§14.3. The total index of a vector field equals the Euler characteristic 147
Chapter 15. Multiplication in cohomology (and homology) 152
§15.1. Homology and cohomology groups of a Cartesian product 152
§15.2. Multiplication in cohomology 155
§15.3. Examples of multiplication in cohomology and its geometric meaning 157
§15.4. Main properties of multiplication in cohomology 158
§15.5. Connection with the de Rham cohomology 159
§15.6. Pontryagin multiplication 159
Index of Notations 160
Subject Index 162
· · · · · · (收起)

用户评价

坦白讲，这本书的某些部分读起来更像是专业研究论文的精简版，而不是为普通本科生设计的入门读物。它的广度令人称奇，从基础的度量空间一直延伸到了微分流形的一些前沿概念，知识点的密度高得惊人。如果你期待的是那种通过大量简单习题来巩固基础的传统学习模式，那么这本书可能会让你感到有些措手不及。它更倾向于提供一个宏大的全景图，鼓励读者自己去探索细节。我尝试着去做了几章后面的习题，发现它们往往需要综合运用好几个章节的知识点，对读者的整合能力要求非常高。不过，正是这种高要求，让我在真正掌握一个概念后，感到了一种实实在在的成就感。这本书对于那些已经有坚实分析基础，并渴望迅速进入高深领域的研究者来说，无疑是一剂强心针。它没有回避那些棘手的技术性细节，而是直面它们，并且给出了清晰的、几乎是无可辩驳的论证。

我必须承认，这本书的习题设置简直是“魔鬼级别”的，但正是在这些挑战中，我才真正体会到了拓扑思维的精髓。许多习题不是简单的计算或证明，而是要求你构建反例或者提出新的拓扑结构来证明某个命题的局限性。这种“负面论证”的训练，比证明一个肯定命题要困难得多，它迫使你跳出教材中已经构建好的“舒适区”，去真正理解那些定义的边界在哪里。书中对于“商空间”的讨论尤其精彩，作者用了一整节的篇幅来剖析不同构造商空间的次序对最终结果的影响，这种细致入微的对比分析，是其他教材中很少见的深度。它教会我的不仅仅是拓扑学的知识，更是一种严谨的、对数学结构保持警惕的治学态度。这本书的价值，不在于你读完了多少页，而在于你在翻阅时，有多少次被迫停下来，对自己的理解产生深刻的怀疑和重构。它绝对不是一本可以轻松翻阅的书，它要求你付出，但回报是巨大的思维提升。

我必须说，这本书的叙事风格简直是独树一帜，它有一种老派的、不紧不慢的优雅，完全不像现在许多追求速度的教材那样急于抛出结论。作者似乎更关注的是“为什么”而不是“是什么”。当你翻阅到关于同伦群的章节时，你会发现作者用一种近乎诗意的语言来描述那些复杂的群结构，仿佛在告诉你，这些代数对象不过是空间弯曲方式的直接回响。我特别喜欢它对历史背景和关键人物思想的穿插介绍，这使得冰冷的数学定理顿时有了血肉和温度。比如，在引入纤维丛的概念时，那种从直觉到形式化的过渡处理得极其微妙，让人感叹数学家是如何一步步将那些朦胧的“捆绑”想法精确化的。虽然对于时间紧张的学生来说，它的阅读速度可能偏慢，但如果你愿意沉下心来，细细品味每一个例子的选择和论证的措辞，你会发现其中蕴含的教学智慧。这本书的挑战性不在于公式的复杂，而在于你需要接受一种看待世界（或者说空间）的全新视角，而作者则耐心地为你提供了所有必要的工具和心境准备。

这本书的数学深度真是令人印象深刻，作者在处理拓扑学的核心概念时，展现出了一种近乎古典的严谨性。它不仅仅是概念的堆砌，更像是一次对“空间”本质的哲学探索。我尤其欣赏它在基础概念引入后的过渡，从点集拓扑到代数拓扑的桥梁搭建得极其平滑且富有洞察力。例如，在讨论连通性和紧致性时，作者并没有仅仅停留在定义层面，而是深入挖掘了这些性质在更高级结构中是如何体现其内在力量的。那些关于完备性和Baire范畴定理的论述，细致入微，即便是初学者也能感受到其逻辑链条的强大张力。阅读过程中，我常常需要停下来，反复揣摩那些证明的每一步推导，这感觉不像是在阅读一本教科书，更像是在跟随一位经验丰富的向导，穿越一片布满陷阱但风景绝美的数学迷宫。这本书的排版和图示也相当到位，虽然主题艰深，但视觉上的清晰度大大减轻了理解的负担，让读者能够专注于抽象思维的构建，而不是被复杂的符号所困扰。总而言之，对于那些真正想深入理解拓扑学内在逻辑和美感的人来说，这是一部不可多得的宝典。

这本书的视角非常独特，它似乎更倾向于拓扑学在分析学和几何学交叉领域中的应用和表现，而不是将其仅仅视为一个独立的代数分支来研究。例如，它对流形的讨论，不是简单地停留在拓扑流形的定义上，而是迅速引入了切空间和张量的概念，这种做法对于那些同时学习微分几何的读者来说简直是福音。作者在处理边界问题和可微结构时，那种将分析工具无缝嫁接到拓扑框架中的手法，展现了其深厚的跨学科功底。我个人觉得，这本书的结构安排非常适合自学能力强、并且目标明确的学习者。它很少使用那种“留作课后练习”的模糊处理，而是尽可能地将重要的技术细节展开，虽然篇幅因此增加不少，但对于独立学习者而言，这意味着更少的查阅外部资料的需求。它提供了一种高度整合的知识体系，让读者能看到各个数学分支是如何互相支撑，共同描绘出复杂空间的轮廓。