高等數學全程導學（下） pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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頁數:513

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出版時間:2004-1

價格:26.80元

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isbn號碼:9787535738608

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圖書標籤:

• 高等數學
• 微積分
• 數學分析
• 大學教材
• 理工科
• 學習輔導
• 解題技巧
• 考研
• 函數
• 極限

深入解析《綫性代數與矩陣理論》：理論的基石與應用的橋梁 圖書信息： 書名： 綫性代數與矩陣理論 作者： （此處可替換為符閤該領域權威性的作者姓名，例如：張三、李四等） 齣版社： （此處可替換為知名學術齣版社名稱） 頁數/字數： 約600頁 / 約40萬字 --- 內容概述：構建現代數學與工程學的核心框架 《綫性代數與矩陣理論》是一部全麵、深入且富有洞察力的教材，旨在為讀者構建一個堅實的綫性代數知識體係，並清晰地展示矩陣理論在當代科學、工程、計算技術乃至經濟學中的核心應用。本書超越瞭傳統綫性代數課程中僅限於計算技巧的層麵，更注重原理的推導、結構的理解以及理論的內在邏輯聯係。 全書共分為七大部分，循序漸進地引導讀者從基礎概念跨越到前沿課題。 第一部分：嚮量空間與綫性變換的抽象基石（第1章至第3章） 本部分是全書的理論基礎。我們首先在嚮量空間的嚴格定義下，討論瞭綫性無關性、基與維數等基本概念。重點剖析瞭為什麼需要抽象的嚮量空間，而非僅僅停留在$mathbb{R}^n$的幾何直觀上。 關鍵內容聚焦： 1. 抽象嚮量空間： 涵蓋瞭從函數空間到多項式空間的例子，確保讀者理解嚮量空間的普適性。 2. 子空間、直和與投影： 詳細闡述瞭子空間的基本運算，並引入瞭正交補的概念，為後續的最小二乘問題奠定基礎。 3. 綫性變換的本質： 將綫性變換視為結構保持的映射，深入研究核（Kernel）與像（Image）的性質，並利用秩-零化度定理揭示瞭變換的內在結構。 第二部分：矩陣代數與基礎運算（第4章至第6章） 本部分將理論與實踐相結閤，係統梳理瞭矩陣運算及其性質，這是後續所有計算的基礎。 關鍵內容聚焦： 1. 矩陣乘法的幾何意義： 不僅關注運算規則，更強調矩陣乘法是對一組綫性變換的復閤操作。 2. 矩陣的初等變換與可逆性： 詳述瞭行階梯形、簡化行階梯形（RREF）的計算過程，並建立瞭矩陣的秩與逆矩陣存在的嚴格判據。 3. 矩陣分解的初步介紹： 首次引入瞭LU分解，展示瞭如何通過矩陣分解來高效求解綫性方程組，為數值計算的效率打下基礎。 第三部分：特徵值問題與對角化（第7章至第9章） 特徵值和特徵嚮量是綫性代數中最核心、應用最廣泛的概念之一。本部分著重於理解“不變方嚮”的物理和數學含義。 關鍵內容聚焦： 1. 特徵值、特徵嚮量的求解： 詳盡討論瞭特徵多項式的計算方法，以及代數重數與幾何重數的區彆與聯係。 2. 相似變換與對角化： 深入探討瞭矩陣可對角化的充分必要條件，並解釋瞭對角化在簡化高次冪矩陣計算中的巨大優勢。 3. 微分方程的矩陣方法： 利用特徵值理論求解常係數綫性微分方程組，直觀展示瞭動態係統的穩定性分析。 第四部分：歐幾裏得空間與正交性（第10章至第12章） 本部分將綫性代數從一般域擴展到具有內積結構的歐幾裏得空間，引入瞭幾何直覺。 關鍵內容聚焦： 1. 內積、範數與角度： 建立瞭嚮量之間的距離和角度的度量，並證明瞭柯西-施瓦茨不等式。 2. 施密特（Gram-Schmidt）正交化過程： 詳細演示瞭如何從任意基構造一組正交基，這是傅裏葉分析和信號處理的理論先導。 3. 正交矩陣與正交投影： 闡述瞭正交變換對長度和角度的保持性，並利用投影理論清晰地解決瞭最小二乘問題的唯一解。 第五部分：對稱矩陣與二次型（第13章至第15章） 對稱性在綫性代數中具有特殊的地位，是保證對角化、穩定性和最優化的關鍵。 關鍵內容聚焦： 1. 譜定理（Spectral Theorem）： 詳細證明瞭實對稱矩陣的全部特徵值是實數，且存在一組正交特徵嚮量基，這是優化理論的基石。 2. 二次型的標準形： 利用正交變換將二次型化為對角形式，並引入瞭正定性的概念。 3. 慣性定理（Sylvester's Law of Inertia）： 用於判斷二次型的性質，對優化問題中的Hessian矩陣分析至關重要。 第六部分：更深入的矩陣分解與結構（第16章至第18章） 本部分深入探討瞭在數值計算和理論分析中不可或缺的矩陣分解技術，它們是大數據處理的效率保障。 關鍵內容聚焦： 1. Jordan標準型（若在復數域上討論）： 針對不可對角化矩陣，提供瞭一種最簡化的錶示形式，對於求解高階微分方程的奇異情況至關重要。 2. 奇異值分解（SVD）： 作為矩陣分解的“終極武器”，SVD被詳盡講解，闡述瞭其在數據降維（PCA）、圖像壓縮和矩陣近似中的核心地位。 3. QR分解與Householder變換： 介紹瞭計算特徵值和最小二乘問題的穩定數值算法基礎。 第七部分：矩陣理論的進階主題與應用拓展（第19章至第20章） 最後一部分將理論提升到應用層麵，為讀者展示瞭綫性代數如何成為現代科學語言。 關鍵內容聚焦： 1. 矩陣範數與條件數： 引入瞭矩陣的各種範數定義（如Frobenius範數、譜範數），並討論瞭計算誤差的敏感性——條件數。 2. 矩陣函數： 基於矩陣的譜分解，定義瞭矩陣的指數函數（$e^A$），這是連續時間係統的核心工具。 3. 應用案例分析（選講）： 簡要探討瞭馬爾可夫鏈（Markov Chains）的穩態分析、主成分分析（PCA）在統計學中的應用，以及圖論中的鄰接矩陣。 --- 本書特色與教學理念 本書的撰寫秉持“幾何直覺引導代數嚴謹，抽象概念服務工程應用”的理念。 1. 嚴謹性與可讀性的平衡： 所有核心定理均給齣完整證明，同時配以大量的圖示和幾何解釋，確保讀者不僅知其然，更知其所以然。 2. 計算與理論的融閤： 每章均包含“計算視角”小節，將理論知識轉化為可操作的算法步驟，為學習後續的數值分析打下堅實基礎。 3. 豐富的習題體係： 書後附有層次分明的習題集，分為概念理解、計算應用和證明探究三類，以適應不同層次讀者的需求。 《綫性代數與矩陣理論》是理工科高年級本科生、研究生以及從事相關研究工作的工程師和科研人員的理想參考書。掌握本書內容，意味著掌握瞭理解現代信息科學、數據分析、控製理論和物理建模的通用語言。

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我對許多數學參考書的“完美主義”傾嚮感到厭倦，它們總是把世界描繪得如此和諧、公式推導得如此一帆風順，仿佛解題就應該是綫性的、沒有波摺的。但這本導學卻展現瞭一種“真實感”。它會坦誠地指齣某些高級主題（比如勒貝格積分或者變分法入門）在本科階段的局限性，並給齣清晰的路徑指引，告訴你如果想深入學習，應該去參考哪些更專業的書籍。這種不把話說滿、更注重引導的學習態度，讓我感覺自己是被尊重和信任的。它不是一個填鴨式的知識灌輸者，而是一個經驗豐富的領路人，知道哪些山峰可以攀登，哪些路段需要格外小心。尤其是它對數值計算方法的介紹，非常務實，它沒有過度美化計算機的強大，而是提醒讀者，即便是最精妙的數值方法，也存在誤差和迭代限製。這種嚴謹中帶著人情味的敘述風格，非常對我胃口。

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拿到這本書的時候，我本來是抱著“又來一本標準參考書”的心理，畢竟市麵上同類型的書太多瞭。然而，這本書的獨特之處在於它對“應用”的強調。我一直覺得高等數學和我們實際工程問題脫節得太厲害，學的東西感覺都停留在紙麵上，用不著。但這本書不一樣，它在講到傅裏葉級數和拉普拉斯變換時，沒有隻停留在推導公式，而是花瞭大量的篇幅去講解它們在信號處理、熱傳導問題中的實際應用案例，甚至是軟件實現的大緻思路。這種“理論聯係實際”的講解方式，極大地激發瞭我的學習興趣。我不再覺得這些復雜的數學工具是束之高閣的理論，而是解決實際問題的有力武器。而且，它的版式設計非常友好，關鍵的公式和定理都被加粗或用不同顔色標注齣來，即便在圖書館光綫不好的角落裏也能迅速定位重點。這種對細節的關注，讓長時間的閱讀和復習變得輕鬆許多，不再是那種密密麻麻讓人焦慮的教科書風格。

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這本習題集簡直是為我這種在微積分的海洋裏掙紮的工科生量身定做的救生圈！從一開始接觸到偏導數和二重積分，我就感覺腦子快要被繞暈瞭，書本上的例題講解得實在是太抽象瞭。但是這本導學，它的解題步驟簡直是清晰到可以手把手教你過一遍。它不是那種冷冰冰的公式堆砌，而是真的會花篇幅去解釋為什麼我們要用這種方法，每一步背後的幾何意義或者物理含義是什麼。比如在講到場論的時候，它沒有直接拋齣那些復雜的嚮量場公式，而是先用三維空間中流體運動的例子來引入，讓人一下子就明白瞭鏇度和散度的實際意義。而且，這本書的習題難度設置非常閤理，從基礎鞏固到拔高訓練，循序漸進，我按照它的進度一步步來，感覺自己對那些復雜的積分收斂性判斷和麯麵積分都有瞭全新的認識。最讓我驚喜的是，書裏還穿插瞭一些“陷阱提醒”，專門指齣瞭初學者最容易犯的錯誤，這簡直是避雷指南，省去瞭我無數次做錯題再迴頭找原因的時間。感覺我已經不再是單純的刷題機器，而是真正開始理解高等數學的內在邏輯瞭。

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這本書最讓我印象深刻的是它對“證明”這一環節的細緻打磨。在很多教材中，證明部分往往是一筆帶過，要麼是引用“根據XX定理”，要麼就是寫得非常跳躍，讓人如墜五裏霧中。這本書則將證明過程拆解成瞭若乾個邏輯步驟，每一個小步驟都有明確的依據。它就像一個偵探小說，層層剝繭，讓你看到結論是如何一步步被邏輯嚴密地鎖定的。例如，在闡述反演定理時，它沒有直接使用復雜的拓撲學語言，而是先從一維的、直觀的例子入手，逐步過渡到高維，每一步的升維都有充分的鋪墊和解釋。這使得那些原本晦澀的抽象證明變得可以被消化吸收。我過去總覺得證明題是“玄學”，但讀完這本書後，我開始真正享受那種通過嚴密邏輯推導齣新知識的成就感。這不僅僅是一本學習高等數學的工具書，更像是一本關於如何進行嚴謹數學思考的入門指南，對我的邏輯思維能力提升大有裨益。

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這本書的配套資源和它的本體一樣齣色，可以說是一個完整的學習閉環。我是一個非常依賴自測和反饋的學習者，如果不能立刻知道自己哪裏錯瞭，效率會大打摺扣。這本導學在每章節末尾設置的“自測模塊”真的非常精妙，它不僅僅是給齣答案，更重要的是，它對那些選擇題的錯誤選項也給齣瞭簡短但一針見血的分析，解釋瞭為什麼選A是錯的，而選C纔是對的。這比我以前用的很多資料隻提供標準答案要高效得多。我感覺這更像是一個耐心的私人導師在陪著我糾錯。此外，書中所倡導的那種“解題思路可視化”的方法，比如教你如何將高維空間中的問題投影到二維平麵上進行思考，對我這種空間想象能力較弱的人幫助尤其大。現在麵對那些復雜的多元函數極值問題，我不再是盲目套公式，而是能在大腦中構建齣一個初步的圖像框架。這對於提升解題的準確性和效率，簡直是質的飛躍。

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