綫性代數學習輔導與習題全解 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:高等教育齣版社

作者:劉先忠，楊明

出品人:

頁數:244

译者:

出版時間:2003-1-1

價格:15.0

裝幀:平裝

isbn號碼:9787040119640

叢書系列:

圖書標籤:

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綫性代數：探索空間、結構與轉化的數學語言 綫性代數，這門古老而又充滿活力的數學分支，是現代科學、工程、經濟學以及計算機科學等眾多領域不可或缺的基石。它提供瞭一種強大的框架來描述和分析由“綫性”關係構成的係統，這些係統在現實世界中無處不在，從簡單的幾何圖形到復雜的模擬模型，無不閃耀著綫性代數的智慧光芒。本書旨在深入淺齣地剖析綫性代數的核心概念，揭示其內在的邏輯聯係，並引導讀者掌握其強大的應用能力，從而更好地理解和解決現實世界中的各類問題。 一、 嚮量：空間的基石與方嚮的錶達 綫性代數的故事，往往從“嚮量”這個基本概念開始。嚮量，可以被看作是一個具有大小和方嚮的量，它在幾何上可以錶示為從原點齣發的有嚮綫段，也可以在代數上錶示為一組有序的數字。這些數字，被稱為嚮量的分量，它們決定瞭嚮量在不同維度上的投影長度。 嚮量的定義與幾何意義： 我們將從最直觀的幾何角度齣發，理解嚮量的內涵。二維平麵和三維空間中的嚮量，它們的方嚮和長度如何直觀地展現。我們將探討嚮量的錶示方法，如坐標錶示法，並理解不同嚮量之間的幾何關係，如平行、垂直等。 嚮量的代數運算： 嚮量不僅僅是幾何對象，它們同樣遵循一套精妙的代數規則。嚮量的加法和減法，如何通過“平行四邊形法則”或“首尾相接法”進行幾何解釋，又如何在代數上通過對應分量相加減來實現。嚮量與標量的乘法，如何改變嚮量的大小和方嚮。這些基礎運算是構建更復雜概念的基石。 綫性組閤與張成空間： 當我們將多個嚮量進行標量乘法並相加，就得到瞭“綫性組閤”。綫性組閤是理解嚮量空間和子空間的關鍵。一個嚮量集閤所能張成（span）的空間，即所有可能的綫性組閤構成的集閤，正是綫性代數研究的核心對象之一。我們將通過具體的例子，理解不同嚮量集閤所張成的空間，從直綫、平麵到更高維度的子空間。 綫性相關與綫性無關： 在一個嚮量集閤中，如果其中一個嚮量可以被其他嚮量通過綫性組閤錶示，那麼這些嚮量就是“綫性相關”的。反之，如果任何一個嚮量都無法被其他嚮量錶示，它們就“綫性無關”。綫性無關的嚮量集閤，是構成更龐大嚮量空間的基礎，它們不會産生冗餘的信息，是構建“基”的天然候選者。 二、 矩陣：數據的組織與運算的載體 如果說嚮量是空間的點或方嚮，那麼矩陣就是組織這些點和方嚮，以及執行復雜運算的強大工具。矩陣，是一個由數字組成的矩形陣列，它在科學研究和工程實踐中扮演著至關重要的角色，可以用來錶示數據、描述變換、解方程組等等。 矩陣的定義與基本運算： 我們將詳細介紹矩陣的行、列、階數等基本概念。矩陣的加法、減法以及與標量的乘法，與嚮量運算類似，但操作對象是整個矩陣。更重要的是，矩陣的乘法，雖然定義稍顯復雜，卻是綫性代數中最具力量的運算之一，它能夠將一個嚮量空間映射到另一個，或者進行復雜的組閤變換。我們將深入理解矩陣乘法的幾何意義和代數計算。 矩陣的特殊類型： 不同的矩陣具有獨特的性質，如零矩陣、單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣等。這些特殊矩陣在計算和理論分析中都扮演著重要角色，我們將探討它們的定義、性質以及在特定場景下的應用。 矩陣的轉置與共軛轉置： 矩陣轉置操作，即交換矩陣的行和列，是另一個基本但重要的操作。對於復數矩陣，還有共軛轉置。這些操作在許多定理和應用中至關重要，例如正交矩陣和厄米特矩陣的定義。 矩陣的逆： 對於某些方塊矩陣，存在一個唯一的“逆矩陣”，使得它與原矩陣相乘得到單位矩陣。逆矩陣的存在和計算，是求解綫性方程組的關鍵。我們將探討逆矩陣存在的條件，以及計算逆矩陣的幾種常用方法。 三、 綫性方程組：現實問題的數學建模 綫性方程組是綫性代數最直接的應用之一。無論是工程中的電路分析，經濟學中的資源分配，還是物理學中的運動軌跡預測，都可能歸結為求解一組綫性方程。 綫性方程組的錶示： 我們將學習如何將一個綫性的方程組用矩陣的形式進行緊湊的錶示，即 $Ax = b$，其中 $A$ 是係數矩陣，$x$ 是未知嚮量，而 $b$ 是常數嚮量。這種矩陣形式的錶示，極大地簡化瞭問題的分析和求解。 消元法： 高斯消元法和高斯-約旦消元法是求解綫性方程組的標準算法。我們將詳細講解這些方法的步驟，理解它們是如何通過一係列行變換來將增廣矩陣化簡，從而找到方程組的解。 解的性質： 一個綫性方程組可能有一個唯一解，無數個解，或者無解。我們將通過分析係數矩陣的秩（rank）和增廣矩陣的秩來判斷解的性質。這涉及到“自由變量”和“基本變量”的概念。 齊次綫性方程組： 當方程組中的常數嚮量 $b$ 為零嚮量時，我們稱之為齊次綫性方程組。齊次綫性方程組總有一個平凡解（所有變量都為零），我們主要關注其非平凡解的存在性以及解空間（零空間）的性質。 四、 行列式：方陣的固有屬性與幾何意義 行列式是與方塊矩陣相關的一個標量值，它蘊含瞭關於該矩陣的豐富信息，尤其是在幾何上，它代錶瞭矩陣所對應的綫性變換對體積（或麵積、長度）的縮放比例。 行列式的定義與計算： 我們將從二階和三階行列式的計算入手，逐步理解更高階行列式的定義，如代數餘子式展開法。同時，介紹通過行變換計算行列式的性質，這為高效計算行列式提供瞭途徑。 行列式的性質： 行列式具有一係列重要的性質，例如交換兩行（列）會改變符號，某一行（列）乘以一個數，行列式也乘以這個數，某一行（列）的倍數加到另一行（列）上，行列式不變。這些性質在簡化計算和證明定理時非常有用。 行列式與逆矩陣： 行列式為判斷一個方塊矩陣是否可逆提供瞭一個簡潔的判據：當且僅當行列式不為零時，矩陣纔有逆。 行列式的幾何意義： 行列式的絕對值代錶瞭綫性變換對體積的縮放因子。例如，在二維空間中，行列式的絕對值代錶瞭該變換將單位正方形變換成的平行四邊形的麵積。在三維空間中，它代錶瞭將單位立方體變換成的平行六麵體的體積。 五、 嚮量空間與子空間：抽象的綫性世界 在掌握瞭嚮量和矩陣的基礎後，我們可以進入更抽象的“嚮量空間”領域。嚮量空間是一個集閤，其中的元素（嚮量）滿足一係列特定的代數性質，使得嚮量的加法和標量乘法運算在該集閤內封閉。 嚮量空間的定義與性質： 我們將形式化地定義嚮量空間，並理解其基本性質，如零嚮量的存在、負嚮量的存在、加法和乘法的結閤律、分配律等。 子空間： 嚮量空間中的一個非空子集，如果自身也構成一個嚮量空間，則稱其為子空間。子空間是嚮量空間的重要組成部分，我們研究它們的維度、基和生成集閤。 基與維度： 一個嚮量空間的一組“基”，是由一組綫性無關且能夠張成該空間的嚮量組成的。基是描述嚮量空間最簡潔的方式，它提供瞭一種坐標係。嚮量空間的“維度”就是其基中嚮量的個數。 四種基本子空間： 對於一個 $m imes n$ 的矩陣 $A$，我們重點關注其四種基本子空間：列空間（column space）、零空間（null space）、行空間（row space）和左零空間（left null space）。理解這些子空間的性質，對於深入分析矩陣的特性和求解綫性方程組至關重要。我們將探討它們之間的關係，特彆是“秩-零度定理”。 六、 特徵值與特徵嚮量：刻畫綫性變換的本質 特徵值和特徵嚮量是綫性代數中非常核心的概念，它們揭示瞭綫性變換在特定方嚮上隻進行伸縮而不改變方嚮的性質，是分析和理解綫性變換行為的關鍵。 特徵值與特徵嚮量的定義： 對於一個綫性變換（或方陣 $A$），如果存在一個非零嚮量 $v$，使得 $Av = lambda v$，其中 $lambda$ 是一個標量，則稱 $lambda$ 為 $A$ 的一個特徵值，而 $v$ 為對應的特徵嚮量。 計算特徵值與特徵嚮量： 我們將學習如何通過求解特徵方程 $det(A - lambda I) = 0$ 來找到特徵值，然後通過求解 $(A - lambda I)v = 0$ 來找到對應的特徵嚮量。 特徵值與特徵嚮量的應用： 特徵值和特徵嚮量在許多領域有著廣泛的應用，例如： 對角化： 如果一個矩陣存在一組完整的特徵嚮量，那麼它可以被對角化，即找到一個可逆矩陣 $P$，使得 $A = PDP^{-1}$，其中 $D$ 是一個對角矩陣，對角綫上的元素是特徵值。對角化矩陣的冪運算會變得非常簡單。 動力係統： 分析動力係統的穩定性，如人口增長模型、電路振蕩等。 主成分分析（PCA）： 在數據降維和模式識彆中，用於提取數據的主要變化方嚮。 量子力學： 描述係統的能量本徵態。 七、 內積空間與正交性：幾何直覺的延伸 在進一步拓展嚮量空間的範疇，我們引入“內積”的概念，從而能夠度量嚮量的長度、計算嚮量之間的角度，以及定義“正交性”。 內積的定義與性質： 我們將學習內積的定義，如點積（dot product）在實數空間中的推廣。內積滿足非負性、對稱性、綫性性等性質。 嚮量的長度與距離： 利用內積，我們可以定義嚮量的長度（範數）和兩個嚮量之間的距離。 角度與正交性： 通過內積，我們可以計算兩個嚮量之間的夾角。當夾角為 90 度時，兩個嚮量被稱為“正交”。正交性是綫性代數中一個非常重要和優美的性質。 正交基與正交投影： 一個由相互正交的非零嚮量組成的基被稱為“正交基”。一個由相互正交且長度為 1 的嚮量組成的基被稱為“標準正交基”。標準正交基在計算上非常方便。正交投影是將一個嚮量投影到子空間上的過程，它在數據分析和信號處理中具有重要應用。 施密特正交化： 我們將學習施密特正交化過程，它能夠將任意一組基轉化為一組標準正交基。 八、 綫性變換的深入理解 綫性變換是綫性代數的核心，它描述瞭嚮量空間之間的映射關係，並且保持瞭嚮量加法和標量乘法的結構。 綫性變換的性質： 我們將深入理解綫性變換的定義、性質，以及它們如何與矩陣聯係起來。一個綫性變換可以唯一地由它作用於基嚮量上的結果來確定。 核與像： 對於一個綫性變換 $T: V o W$，它的“核”（kernel）是 $V$ 中所有映射到 $W$ 中零嚮量的嚮量的集閤，而“像”（image）是 $W$ 中所有能夠被 $V$ 中的嚮量映射到的嚮量的集閤。核和像都是子空間，它們揭示瞭綫性變換的“壓縮”和“覆蓋”能力。 矩陣錶示： 任何有限維嚮量空間之間的綫性變換都可以用一個矩陣來錶示，這個矩陣稱為該變換在給定基下的矩陣錶示。 九、 應用展望 綫性代數作為一門基礎理論，其應用幾乎滲透到現代科學技術的各個角落。本書的講解將為讀者打開通往這些廣闊應用領域的大門： 計算機圖形學： 圖像的鏇轉、縮放、平移等幾何變換都依賴於矩陣運算。 機器學習與人工智能： 神經網絡的訓練、數據分析、降維（如 PCA）、推薦係統等都廣泛使用綫性代數。 數據科學： 統計建模、迴歸分析、圖像處理、信號處理等。 物理學： 量子力學、經典力學、電動力學等。 經濟學： 計量經濟學、博弈論、優化問題。 工程學： 電路分析、控製係統、結構力學、流體力學等。 通過本書的學習，讀者不僅能掌握綫性代數的基本理論和計算技巧，更能深刻理解其思想的精髓，培養嚴謹的數學思維，從而能夠靈活運用綫性代數的工具去分析和解決更廣泛的實際問題。綫性代數是一門充滿挑戰但也極富迴報的學科，它將幫助你以一種全新的視角去理解和塑造我們周圍的世界。

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如果讓我用一個詞來概括這本書的特點，我會選擇“實用性”。它不僅僅停留在理論的構建上，更注重知識在解決實際問題中的應用。我尤其欣賞其中關於“最小二乘法”和“奇異值分解（SVD）”的章節處理。這些內容在很多基礎教材中往往一帶而過，但在本書中卻得到瞭充分的展開和細緻的推導，並且配有清晰的應用案例，比如數據擬閤、圖像壓縮等。這讓我深刻體會到，綫性代數絕非空中樓閣，而是現代科學和工程領域的核心驅動力。對於希望將所學知識應用於數據科學或工程計算的朋友來說，這本書提供的這些“實戰經驗”是無價之寶。它不僅教會你“是什麼”，更重要的，是教會你“怎麼用”，這種麵嚮應用的教學理念，無疑是當代學習者最需要的。

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這本書的排版和裝幀實在是讓人眼前一亮。拿到手裏就能感受到作者對細節的關注，紙張的質感上乘，印刷清晰，字裏行間透露著一種沉穩和專業的氣息。我特彆喜歡它在章節劃分上的邏輯性，每一步的過渡都非常自然，從基礎概念的引入到復雜定理的推導，層層遞進，絲毫不覺得突兀。很多時候，一本好的教材不僅是內容的堆砌，更是一種思維的引導。這本書在這方麵做得尤為齣色，它似乎懂得學習者在不同階段的睏惑點，總能在關鍵時刻給齣最恰當的提示。例如，在嚮量空間的部分，作者沒有急於拋齣抽象的定義，而是通過一些非常直觀的幾何類比來幫助我們建立初步的認知框架，這種循序漸進的教學方式，極大地降低瞭初學者的入門門檻。整體來看，這本書的視覺體驗和結構設計，都堪稱教科書級彆的典範，讓人願意沉下心來，長時間地與之相伴。

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這本書在概念的深度挖掘和知識體係的構建上，展現瞭極高的專業水準。很多同類書籍為瞭追求廣度，往往會犧牲掉對核心概念的深層剖析，導緻學生對概念的理解浮於錶麵。但本書對待每一個核心定義和定理，都進行瞭近乎“刨根問底”式的探討。例如，對於“綫性無關性”的探討，它從定義齣發，逐步深入到與基、維數乃至矩陣秩之間的內在聯係，展現瞭一個完整且嚴密的邏輯鏈條。這種對理論基礎的深耕，使得讀者在麵對更高級的數學分支（比如泛函分析）時，會發現自己已經擁有瞭非常堅實和可靠的知識儲備。它培養的不是機械的解題者，而是具有嚴謹數學思維的思考者，這份對根基的重視，是任何追求高階學習的人都應該珍視的財富。

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我必須承認，這本書在習題部分的深度和廣度上，遠遠超齣瞭我的預期。市麵上很多輔導書，習題要麼過於簡單，流於形式，要麼就是難度陡增，讓人望而卻步。但這本書的題庫設計卻顯得非常平衡且富有層次感。基礎題旨在鞏固對基本概念的理解和熟練度，讓你在做題中不知不覺地形成肌肉記憶；而到瞭中等難度的綜閤應用題，則開始考驗你對不同知識點之間聯係的把握能力，很多題目設計得非常巧妙，能有效打破思維定勢。更讓我驚喜的是，那些“挑戰性”的難題，它們並非是那種故弄玄虛的偏題怪題，而是真正能引發深度思考的、貼近實際應用場景的題型，做完之後，你會有一種豁然開朗的感覺，仿佛對整個綫性代數的體係有瞭更深一層的領悟。而且，詳細的解題步驟和思路分析，簡直是救星，它們不隻是給齣瞭答案，更是展示瞭“如何思考”的過程，這一點對於自學群體來說價值連城。

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這本書的行文風格簡直是一股清流，完全沒有傳統教材那種枯燥乏味的說教感。作者的語言充滿瞭活力和親切感，讀起來就像是一位經驗豐富的導師在你身旁耐心講解，而不是一本冷冰冰的參考書。尤其是在解釋那些抽象的矩陣變換和特徵值、特徵嚮量這些概念時，作者總能找到非常貼切且易於理解的比喻。比如，講解行列式時，它沒有停留在公式的推演上，而是巧妙地引入瞭“體積/麵積的縮放因子”這一幾何意義，一下子就讓抽象的數值有瞭具體的物理圖像。這種敘事性的講解方式，極大地激發瞭我的學習興趣，讓我不再覺得綫性代數是高不可攀的“數學皇冠上的明珠”，而是可以被掌握和欣賞的迷人工具。我可以毫不誇張地說，正是這種流暢自然的敘述，讓我成功度過瞭初學時最容易放棄的那個階段。

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