调和分析及其在偏微分方程中的应用

出版者:科学出版社

作者:苗长兴

页数:0

出版时间:1999-10-01

价格:46.0

isbn号码:9787030078636

具体描述

本书着重介绍调和分析的现代方法及其在偏微分方程中的应用。本书包含两大部分。第一部分主要内容是调和分析的基本内容和现代方法，特别是与现代偏微分方程研究联系密切的方法和技巧。第二部分则是利用调和分析的现代方法来研究偏微分方程，与此同时，借助于调和分析的方法，对一般可微函数空间进行了总结，这对于从事现代偏微分方程的研究是必不可少的。这一部分主要涉及线性发展方程解的时空估计、波动方程和色散波方程的柯西间题

目录信息

第一章
Fourier变换
1?1 卷积
1?2 Fourier变换的L1理论
1?3 Fourier变换的L2理论与Plancherel定理
1?4 缓增广义函数及其Fourier定理
第二章 平移不变算子理论及其应用
2?1 平移不变算子的刻画
2?2 Lqp空间与Hormander空间Mqp
2?3 应用举例--算子半群的乘子刻画
第三章 球调和函数及其应用
3?1
· · · · · · (收起)

用户评价

我最近在寻找一本能系统梳理偏微分方程理论中那些“黑箱子”般技巧的书籍，这本书的名字正合我意。在我以往阅读的 PDE 教材中，很多关于正则性理论和解的先验估计的部分，总是直接抛出一个经过高度优化的算子估计式，然后继续推导。虽然结果是正确的，但中间缺少了一个关键的“为什么”和“怎么来”的过程。我猜想，这本书应该会深入讲解调和分析中诸如Sobolev空间、Minkowski 不等式、以及各种卷积估计的具体构建过程。我希望它能像一个经验丰富的大师傅手把手教导学徒，不仅仅是展示工具的最终形态，而是展示如何将那些基础的微积分、测度论知识，一步步淬炼成解决高难度 PDE 问题的利器。如果它能清晰地阐述为什么某些特定的积分算子具有我们所需要的那些关键性质——比如有界性、紧致性——那就太棒了。这种对方法论的深度挖掘，是真正提升一个研究者直觉和解决问题能力的关键所在。

对于非纯数学背景，比如工程或物理背景的读者来说，选择合适的数学工具书往往是一场赌博。我们通常需要一个能够快速建立起直观理解，同时又不会在初步阶段就被晦涩的抽象概念吓跑的教材。这本书的结构如果设计得当，应该能很好地适应这种需求。我设想它会从经典的傅里叶级数和积分出发，用波动、扩散等物理场景来锚定概念，然后再慢慢引入更抽象的Schwartz分布和更一般的调和分析框架。重点在于，它必须在应用 PDE 之前，给出一个足够坚实的分析基础，但这个基础的铺陈方式应该服务于最终的 PDE 目标，而不是陷入纯泛函分析的泥潭。我尤其期待它在处理非线性或奇异性问题时的视角，因为这些恰恰是经典方法失效，而需要更强有力调和分析工具的领域。如果它能提供一些实际案例中如何选择合适的函数空间进行理论分析的路线图，那将是极其宝贵的实践指南。

这本书的名字听起来就很吸引人，尤其是对于那些对数学前沿和实际应用都有浓厚兴趣的读者。我首先被它这种跨学科的特质所吸引。很多数学书籍要么过于理论化，堆砌着复杂的定义和证明，让人望而生畏；要么就是过于应用导向，对背后的数学原理一带而过。这本书的标题似乎找到了一个绝佳的平衡点，既承诺了“调和分析”这一深刻的理论基础，又明确指出了其落脚点——“偏微分方程的应用”。这意味着，我不仅能学到傅里叶分析、奇异积分算子这些核心工具，还能清晰地看到这些工具是如何像手术刀一样，精准地切入并解决诸如热传导、波动、拉普拉斯方程等经典乃至非经典 PDE 问题的。我期待它能用一种既严谨又不失洞察力的方式，展示这些分析工具是如何将原本看似无关的数学领域连接起来的，那种数学思想融会贯通的愉悦感，是单纯阅读纯理论或纯应用书籍难以体会的。这本书应该能成为一座桥梁，连接起纯数学的美感与工程物理的实用性，对于有志于从事数学物理或计算数学研究的人来说，无疑是一份宝藏。

坦率地说，市面上关于调和分析的书籍很多，但真正能清晰展示其在现代 PDE 领域全貌的，却凤毛麟角。许多著作往往停留在经典的时间域和频率域分析，对于近年来兴起的非线性色散方程（如KdV、Schrödinger方程）中的波包理论、断裂理论等方面，缺乏系统性的阐述。我希望这本书能够体现出“现代性”，即不仅仅停留在经典椭圆型方程的正则性理论上，而是能够触及到抛物型和双曲型方程在解的长期行为、奇点形成等更具挑战性的课题中，调和分析思想的具体应用。例如，它能否介绍如何利用特定调和分析工具来构造或证明某些高维或非均匀介质中解的存在性和唯一性？如果它能将现代 PDE 中那些前沿的研究方向，比如分散性估计、波的限制性理论，与基础的调和分析原理紧密结合起来，那么这本书的价值将远远超越一本基础教材的范畴，而成为一部具有前瞻性的参考书。

我一直认为，一个优秀的数学著作的标志之一，是它能赋予读者一种新的“看世界”的视角。调和分析的核心在于分解与重构，即将一个复杂的函数或信号分解成其组成频率的叠加，并通过对这些频率成分的精确控制，来理解和改造原对象。如果这本书能够成功地将这种“分解-分析-重构”的思维范式，无缝地植入到对偏微分方程的理解中，那将是非常震撼的。我希望它能让我看到，为什么一个方程的解，从频率上看，会表现出某种特定的衰减或增长特性，以及这些特性如何对应到物理世界中的现象（比如解的尖锐性或光滑性）。这不仅仅是计算技巧的堆砌，更是一种深刻的数学洞察力。如果我读完这本书后，再去看那些复杂的 PDE 证明，能有一种“原来如此，一切尽在频率掌控之中”的豁然开朗的感觉，那么这本书的价值就无可估量了。它应该能培养出一种对数学物理问题深层次结构的敏感性。