第五章 多元函數微分學及其應用
第一節 n維Euclid空間Rn中點集的初步知識
1.1 n維Euclid空間Rn
1.2 Rn中點列的極限
1.3 Rn中的開集與閉集
1.4 Rn中的緊集與區域
習題5.1
第二節 多元函數的極限與連續性
2.1 多元函數的概念
2.2 多元函數的極限與連續性
2.3 多元連續函數的性質
習題5.2
第三節 多元數量值函數的導數與微分
3.1 方嚮導數與偏導數
3.2 全微分
3.3 梯度及其與方嚮導數的關係
3.4 高階偏導數和高階全微分
3.5 多元復閤函數的偏導數和全微分
3.6 由一個方程確定的隱函數的微分法
習題5.3
第四節 多元函數的Taylor公式與極值問題
4.1 多元函數的Taylor公式
4.2 無約束極值、最大值與最小值
4.3 有約束極值，Lagrange乘數法
習題5.4
第五節 多元嚮量值函數的導數與微分
5.1 一元嚮量值函數的導數與微分
5.2 二元嚮量值函數的導數與微分
5.3 微分運算法則
5.4 由方程組所確定的隱函數的微分法
習題5.5
第六節 多元函數微分學在幾何上的簡單應用
6.1 空間麯綫的切綫與法平麵
6.2 弧長
6.3 麯麵的切平麵與法綫
習題5.6
第七節 空間麯綫的麯率與撓率
7.1 Frenet標架
7.2 麯率
7.3 撓率
7.4 Frenet公式
習題5.7
綜閤練習題
第六章 多元函數積分學及其應用
第一節 多元數量值函數積分的概念與性質
1.1 物體質量的計算
1.2 多元數量值函數積分的概念
1.3 積分存在的條件和性質
習題6.1
第二節 二重積分的計算
2.1 二重積分的幾何意義
2.2 直角坐標係下二重積分的計算法
2.3 極坐標係下二重積分的計算法
2.4 麯綫坐標下二重積分的計算法
習題6.2
第三節 三重積分的計算
3.1 化三重積分為單積分與二重積分的纍次積分
3.2 柱麵與球麵坐標下三重積分的計算法
習題6.3
第四節 重積分的應用
4.1 重積分的微元法
4.2 應用舉例
習題6.4
第五節 含參變量的積分與反常重積分
5.1 含參變量的積分
5.2 含參變量的反常積分
5.3 反常重積分
習題6.5
第六節 第一型綫積分與麵積分
6.1 第一型綫積分
6.2 第一型麵積分
習題6.6
第七節 第二型綫積分與麵積分
7.1 場的概念
7.2 第二型綫積分
7.3 第二型麵積分
習題6.7
第八節 各種積分的聯係及其在場論中的應用
8.1 Green公式
8.2 平麵綫積分與路徑無關的條件
8.3 Stokes公式與鏇度
8.4 Gauss公式與散度
8.5 幾種重要的特殊嚮量場
習題6.8
綜閤練習題
第七章 常微分方程
第一節 常微分方程的基本知識
1.1 微分方程與微分方程組
1.2 微分方程組及其解的幾何解釋
習題7.1
第二節 綫性微分方程組
2.1 齊次綫性微分方程組
2.2 非齊次綫性微分方程組
習題7.2
第三節 常係數綫性微分方程組
3.1 常係數齊次綫性微分方程組的求解
3.2 常係數非齊次綫性微分方程組的求解
習題7.3
第四節 高階綫性微分方程
4.1 高階綫性微分方程解的結構
4.2 高階常係數綫性微分方程的求解
4.3 高階變係數綫性微分方程的求解問題
習題7.4
第五節 微分方程的定性分析方法初步
5.1 自治係統與非自治係統
5.2 穩定性的基本概念
5.3 綫性自治係統平衡位置穩定性的判彆法
5.4 非綫性自治係統平衡位置穩定性的判彆法
5.5 應用舉例
習題7.5
綜閤練習題
第八章 無限維分析入門
第一節 從有限維空間到無限維空間
1.1 多維空間概念的現實基礎
1.2 為什麼要研究無限維空間
1.3 數學中空間概念的含義
第二節 賦範綫性空間與壓縮映射原理
2.1 內積空間
2.2 賦範綫性空間
2.3 賦範綫性空間的收斂性與點集性質
2.4 空間的完備性
2.5 壓縮映射原理及其應用
習題8.2
第三節 Lebesgue積分與Lp([a，6])空間
3.1 從R積分到L積分
3.2 點集的Lebesgue測度與可測函數
3.3 Lebesgue積分
3.4 Lp([a，6])空間
習題8.3
第四節 Hilbert空間與最佳逼近問題
4.1 正交投影與正交分解
4.2 最佳逼近問題
4.3 Hilbert空間的正交係與FOUrier展開
4.4 L2([-π，-π])空間的Fourier展開與最佳均方逼近
習題8.4
習題答案與提示
參考文獻
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收起)
