高等数学(下)

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页数:148
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出版时间:2006-1
价格:16.00元
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isbn号码:9787562232575
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  • 高等数学
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具体描述

《21世纪高等职业教育规划教材•数学系列•高等数学(下)》以“三用”即够用、管用、会用为原则,以“三凸现”即凸现数学与文化、凸现数学的现代化、凸现数学的应用为特点编写而成。全书共5 章,包含常微分方程,无穷级数,空间解析结合与向量代数,多元函数微分学和二重几分等基本内容。

《宇宙的织锦:探索数学的终极形态》 序言 自古以来,人类对未知世界的探索从未止步。从仰望星空,到深入微观,我们总试图用智慧的光芒驱散愚昧的黑暗,用严谨的逻辑构建理解世界的基石。而在这层层揭示的宇宙面纱之下,隐藏着一种超越时空的通用语言——数学。它不仅仅是数字的堆砌,更是宇宙运行的法则,是连接万物奥秘的桥梁。 《宇宙的织锦:探索数学的终极形态》并非一本普通的数学教材,它更像是一场穿越数学前沿的壮丽旅程。本书旨在带领读者,尤其是那些对数学充满好奇、渴望触及更深层次数学思想的读者,一同揭开数学最精妙、最前沿的篇章。我们不会停留在那些已然熟稔的公式和定理,而是将目光投向那些构筑现代科学大厦的基石,那些正在塑造未来科技图景的崭新理论。 这是一本挑战思维边界的书。它要求读者具备一定的数学基础,但更重要的是拥有一颗开放、求知、敢于挑战的心。我们将从看似抽象的概念出发,一步步深入到那些能够解释自然界无数现象、驱动尖端技术发展的核心思想。本书的内容将围绕以下几个关键领域展开,力求以清晰的逻辑、生动的例证,展现数学的无穷魅力。 第一部分:群论的优雅与对称的哲学 在数学的殿堂里,对称无处不在。从晶体的排列到分子的结构,从物理定律的不变性到加密算法的设计,对称性是理解世界运作规律的关键。本书的第一部分将带你进入群论的奇妙世界。 什么是群?它不是一个简单的集合,而是一组元素,在某种运算下遵循着特定的规则:封闭性、结合律、存在单位元、以及每个元素都有逆元。看似抽象的定义,却能捕捉到一切对称现象的核心本质。我们将从最简单的对称群入手,例如正方形的对称群,理解其构成元素和运算规则。通过这些具体的例子,你会逐渐领悟到群论如何以一种抽象而强大的方式,统一描述和分析各种各样的对称性。 我们将探讨群的同态和同构,理解不同群之间可能存在的深刻联系。这就像是在发现不同的语言,虽然表达方式不同,但其内在的逻辑结构可能完全一致。同态和同构是理解数学结构之间映射关系的重要工具,它们帮助我们发现数学的普遍性,并在看似不相关的领域之间建立起联系。 更进一步,我们将深入研究一些重要的群,例如置换群、循环群、以及阿贝尔群。置换群是描述排列和组合的有力工具,在计数、密码学等领域发挥着核心作用。循环群则揭示了循环对称性的普遍性。阿贝尔群,作为群论中最基本的一种,其可交换性在许多数学分支中都扮演着重要角色。 本书将不仅仅停留在理论的介绍,更会展示群论在各个领域的实际应用。在化学中,群论可以预测分子的性质和光谱;在物理学中,它是粒子物理学和量子力学的基石,描述了基本粒子及其相互作用的对称性;在密码学中,群论是现代公钥加密算法的关键支撑,保证了信息的安全传输。你将看到,那些看似遥远的数学概念,如何深刻地影响着我们的日常生活。 第二部分:拓扑学的奇妙几何与空间的无限可能 当我们谈论形状时,我们通常会想到长度、角度、面积等度量。然而,拓扑学关注的却是那些在连续变形下保持不变的性质,例如连通性、孔洞的数量等。在拓扑学家的眼中,一个咖啡杯和一个甜甜圈是“同一个”形状,这看似匪夷所思,却揭示了空间更深层次的本质。 本书的第二部分将带领读者进入拓扑学的世界。我们将从“连续变形”这一核心概念开始,理解它在拓扑学中的意义。橡皮膜几何是理解拓扑学的重要途径,你可以想象将一个形状在不撕裂、不粘合的前提下随意拉伸、弯曲,观察哪些性质会发生改变,哪些会保持不变。 我们将学习一些基本的拓扑概念,例如开集、闭集、邻域、连续映射等。这些概念构成了拓扑学分析的语言。然后,我们将深入探讨一些重要的拓扑性质,例如连通性、紧致性、可数性等。连通性告诉我们一个空间是否可以被分成若干个不相连的部分;紧致性则是一种“有限性”的度量,在分析学和几何学中至关重要。 本书还将介绍一些经典的拓扑学问题和定理,例如柯西积分定理的拓扑学解释,以及著名的“柯尼斯堡七桥问题”和“地图着色问题”。这些问题看似简单,却推动了拓扑学的发展,并揭示了其在图论、组合数学等领域的应用。 我们将探索一些重要的拓扑空间,例如欧几里得空间、流形、以及同胚等概念。流形是拓扑学中非常重要的研究对象,它们在局部看来是欧几里得空间,但整体上可以具有更复杂的结构,例如球面、环面等。这些概念是理解高维空间和弯曲空间的基础。 拓扑学的应用远不止于数学本身。在物理学中,拓扑学在凝聚态物理、弦理论等领域发挥着越来越重要的作用,例如拓扑绝缘体、拓扑相变等概念。在计算机科学中,拓扑学可以用于数据分析、网络拓扑优化等。在生物学中,DNA的缠绕和解开也与拓扑学有着深刻的联系。 第三部分:黎曼几何与广义相对论的宇宙观 爱因斯坦的广义相对论彻底改变了我们对宇宙的认知,它将引力描述为时空的弯曲。而支撑这一革命性理论的,正是黎曼几何。本书的第三部分将带你走进黎曼几何的宏伟殿堂,理解它如何为描述弯曲空间提供强大的数学工具。 我们将从欧几里得几何的局限性出发,理解为什么我们需要一种新的几何来描述非欧的、弯曲的空间。黎曼几何的核心概念是度量张量,它允许我们在弯曲的空间中定义距离、角度、曲率等几何量。我们将学习如何理解度量张量,以及它如何决定一个空间的几何性质。 我们将探讨黎曼联络、协变导数等概念,理解它们如何在弯曲空间中进行向量的平行移动和曲线的微分。这些工具对于理解张量的行为至关重要。我们将学习如何计算测地线,即弯曲空间中最“直”的路径,这在广义相对论中扮演着至关重要的角色。 本书还将介绍曲率这一核心概念。我们将区分标量曲率、Ricci曲率和Reimann曲率张量,理解它们各自的含义以及它们如何刻画空间的弯曲程度。 Ricci曲率与能量-动量张量之间的关系,正是广义相对论中爱因斯坦场方程的核心,它描述了物质如何影响时空的几何。 我们将简要介绍黎曼几何在广义相对论中的具体应用,例如黑洞的史瓦西度规,以及宇宙的膨胀等。你将看到,那些抽象的数学公式,如何能够精确地描述宇宙的宏观结构和演化。 此外,黎曼几何的应用也延伸到其他领域。在计算机视觉中,黎曼几何可以用于处理图像的变形和匹配;在机器学习中,它为一些算法提供了理论基础。 第四部分:现代分析的深刻洞察与数学分析的新视角 分析学是数学中最具力量的工具之一,它研究变化和极限。在本书的第四部分,我们将超越经典的微积分,深入现代分析的精妙之处,探讨一些更具普遍性和抽象性的分析概念。 我们将从测度论入手,理解它如何为更一般的积分(勒贝格积分)提供基础。勒贝格积分比黎曼积分更强大,能够处理更广泛的函数类,并在概率论、泛函分析等领域具有核心地位。我们将探讨测度空间的构造,以及勒贝格测度的性质。 我们将深入研究函数空间,例如Lp空间、希尔伯特空间和巴拿赫空间。这些空间是由具有特定性质的函数构成的集合,它们是许多现代数学和物理学研究的载体。我们将学习这些空间的范数、距离等概念,以及它们在分析学中的重要作用。 本书还将触及泛函分析的核心内容,例如线性算子、谱理论等。线性算子是将一个函数映射到另一个函数的“函数”,谱理论则研究算子的“特征值”,它们在量子力学、偏微分方程等领域有着直接的应用。 此外,我们还将探讨一些更高级的分析概念,例如调和分析,它研究函数的傅里叶展开和变换,揭示了函数在不同频率上的分解。这在信号处理、图像分析等领域至关重要。 现代分析的工具是理解许多现代科学现象的关键。从量子场论到流体力学,从数学生成模型到数据科学,都离不开深刻的分析学洞察。 结语 《宇宙的织锦:探索数学的终极形态》是一本邀请你去探索、去发现、去思考的书。它不会提供现成的答案,而是会为你铺就一条通往更深层次数学理解的道路。在这条道路上,你将领略到数学的严谨与优美,感受到它作为理解世界最强大工具的魅力。 我们希望通过本书,能够点燃你对数学的更深层次的热情,让你看到数学的无限可能性,并从中获得挑战自我、探索未知、创造未来的力量。因为,数学不仅仅是学科,它更是我们理解宇宙、重塑现实的根本力量。

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用户评价

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我是一个业余的古典文学爱好者,最近迷上了宋代的词,特别是苏轼和辛弃疾的作品。偶然间翻到这本《宋词格律与意境解析》,简直是打开了一个新世界的大门!我以前读词,总是凭感觉,觉得“好美”“有气势”,但具体好在哪里,却说不清楚。这本书的厉害之处在于,它把“美”拆解成了可以量化的部分。比如,书中对“仄起入韵”和“平起入韵”的详细讲解,配上精准的音韵对照表,让我明白了为什么某些词读起来就是朗朗上口,而有些地方稍微拗口。更让我惊艳的是,作者将词牌的结构(如小令和中调、换头等)与词人表达特定情感的关联性做了深入探讨。例如,分析稼轩词中如何利用词牌的转折处来强化家国之思的悲壮,那种手法上的精妙,远比单纯欣赏内容要来得震撼。书中还收录了许多不同版本的词谱对比,对于考据癖的我来说,简直是福音。阅读体验上,作者的文笔非常雅致,没有那种枯燥的学术腔,而是带着一种品茗赏花的闲适感,让人在学习格律的同时,也能享受到文学的乐趣。这本书更像是一份精美的导览图,指引我更专业、更深入地走进宋词的艺术殿堂。

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作为一名对古埃及文化非常感兴趣的业余历史爱好者,我迫切地需要一本能够系统梳理古埃及宗教信仰的书籍,而《尼罗河畔的神祇与法老:古埃及宗教世界解码》正好填补了我的知识空白。这本书的资料搜集工作做得极其扎实,不仅仅是简单地罗列神祇的名字,更重要的是,它深入探讨了不同历史时期(从古王国到托勒密王朝)神祇职能的演变和相互关系。比如,它详细解释了阿蒙神如何从底比斯的地方神,通过政治联姻和神学整合,最终成为全埃及的主神,这个过程的描述充满了历史的张力。书中关于“玛阿特”(Ma'at,宇宙秩序与正义)概念的阐释,是全书的精华所在,作者将其视为理解古埃及政治、法律乃至日常行为模式的核心钥匙,这一点是许多同类书籍所忽略的。此外,书中对来世观念的描述极其细致,从木乃伊制作的宗教意义到《亡灵书》中“心脏称量”的审判场景,都配有清晰的插图和详尽的解读,让人仿佛身临其境。这本书的叙事节奏把握得非常好,既有宏大的宗教体系构建,也有对具体神庙壁画和仪式的微观分析,让整个古埃及的信仰体系变得立体而鲜活。

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我是一名软件工程师,工作之余非常喜欢研究一些关于人类认知和决策机制的书籍,这本《行为经济学与非理性决策》正中下怀。这本书的结构非常实用,它不是停留在理论层面,而是大量引用了卡尼曼和塞勒的经典实验,并且用大量的商业案例来印证。例如,在讲解“损失厌恶”时,书中对比了两种不同的营销策略:一个是强调“你将错过”的损失提醒,另一个是强调“你将获得”的收益提醒,并分析了前者的转化率往往更高的原因,这对我理解用户界面设计中的“提示语”设计非常有启发。作者的语言风格极其直白且充满幽默感,很多时候,读到一些实验结果我就忍不住笑出声来,因为那些“非理性”的行为恰恰就是我自己在生活中经常犯的错!书中对“锚定效应”的剖析尤其深刻,它解释了为什么在谈判中第一个报价的人拥有巨大的优势,这种洞察力直接可以迁移到项目预算的制定上。唯一的遗憾是,我对统计学基础掌握得不够扎实,在看某些概率论证部分时略感吃力,但即便如此,本书提供的关于人类决策偏见的实用工具箱,也绝对是物超所值。

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这本《现代汉语语法探索》简直是为我这种中文系毕业生量身定做的案头工具书!我一直对汉语的复杂结构感到好奇,尤其是在处理一些从句嵌套或者主谓宾的灵活安排时,总觉得教科书上的解释不够“接地气”。这本书的作者显然下了大功夫,不仅梳理了传统的语法分类,还引入了大量的当代语料进行实证分析。我特别喜欢它在论述“兼语句”和“把字句”的语用功能差异时,那种抽丝剥茧的严谨态度。比如,它没有简单地给出规则,而是通过对比不同语境下,使用“把”字句所带来的强调重点和信息侧重变化,让人豁然开朗。书中的图表制作得非常清晰,那些树状图和依存关系图,即便是初学者也能迅速抓住核心逻辑。而且,它对一些边缘现象的讨论也十分到位,比如网络语言中新兴的语法变体,作者也尝试着用传统理论去解释和归类,展现了很强的包容性和前瞻性。读完这本书,感觉自己看中文的视角都提升了一个档次,不再是机械地套用规则,而是能更深层次地理解语言背后的思维模式。唯一美中不足的是,有些章节的术语密度稍微有点高,可能需要反复阅读才能完全吸收,但瑕不掩瑜,对于想深入研究汉语结构的人来说,这是一本不可多得的宝藏。

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说实话,我买这本书《西方哲学史纲要:从古希腊到现象学》本来是抱着试试看的心态,因为我对哲学的印象一直停留在那些晦涩难懂的定义上。然而,这本书的叙事方式完全颠覆了我的认知。作者没有采用那种平铺直叙的“时间线”写法,而是巧妙地构建了一系列“核心问题”作为章节的主轴。比如,第一部分就围绕“‘是’的本质是什么?”展开,串联起巴门尼德、柏拉图和亚里士多德的论述,这种聚焦于核心议题的组织方式,极大地增强了逻辑的连贯性。我尤其欣赏作者在阐释康德的“三大批判”时,所采用的“对话式”解释,仿佛康德本人正在向读者解释他的思想到底是如何一步步建立起来的,这种代入感非常强。书中对于笛卡尔“我思故我在”的背景分析也相当到位,解释了它诞生的时代语境,而不是孤立地看待这句话。整本书的排版设计也体现了对读者的尊重,关键术语加粗,注释清晰明了,使得阅读过程中的中断感降到最低。对于一个哲学入门者来说,这本书提供了一个既宏大又细致的知识框架,让人不会在浩瀚的哲学史中迷失方向,真正体会到哲思的魅力所在。

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