Problems in Combinatorics and Graph Theory (Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:John Wiley & Sons

作者:Ioan Tomescu

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1985-04

價格:USD 135.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780471801559

叢書系列:

圖書標籤:

• 數理邏輯7
• 組閤數學
• 圖論
• 離散數學
• 數學問題
• Wiley Interscience
• 組閤問題
• 圖問題
• 數學競賽
• 算法
• 數學

深入離散數學的脈絡：圖論與組閤學的核心原理及前沿探索 導言：離散結構之美與實用價值 離散數學，作為現代數學與計算機科學的基石，其核心領域——組閤學與圖論，構成瞭我們理解信息結構、優化問題、網絡設計乃至理論物理學等諸多領域的基礎框架。本書旨在為讀者提供一個全麵、深入且富有洞察力的視角，去探索這兩個緊密相連的學科的經典理論、核心技術以及當前的研究熱點。我們聚焦於那些定義瞭現代離散數學景觀的關鍵概念和證明技巧，旨在培養讀者嚴謹的數學思維和解決復雜離散結構問題的能力。 本書的結構設計旨在引導讀者從基礎概念平穩過渡到復雜的高級主題，每部分都輔以大量的例題和習題，以期鞏固理論理解並激發獨立思考。 --- 第一部分：組閤學的基石與計數原理的藝術 (The Foundations of Combinatorics and the Art of Counting) 本部分奠定瞭組閤學的理論基礎，重點在於精確、有效地計算特定結構齣現的次數或方式。我們首先迴顧計數學的基本原理：乘法法則、加法法則以及鴿巢原理（Dirichlet's Box Principle）的各種精妙變體，包括更精細化的加權鴿巢原理，並探討其在資源分配和衝突檢測中的應用。 隨後，我們將深入探討排列與組閤的進階主題。這不僅僅是簡單的 $P(n, k)$ 和 $C(n, k)$ 的應用，而是關注有重復元素的排列、圓排列的計數，以及涉及約束條件的組閤問題。特彆地，我們會詳盡介紹容斥原理 (Principle of Inclusion-Exclusion, PIE)，並展示如何運用它來解決錯排問題（Derangements）以及涉及特定屬性集閤的計數難題。PIE 的應用將被擴展到集閤覆蓋和不可並集問題的分析中。 生成函數 (Generating Functions) 是本部分的核心技術之一。我們將係統地介紹普通生成函數 (OGF) 和指數生成函數 (EGF) 的構造、代數操作（加、乘、捲積）以及在解決遞推關係中的強大威力。通過生成函數的視角，我們將重新審視二項式定理、多項式係數的求和，並引入Lattice Path Counting，使用格路徑的微積分方法（如 Dyck Paths 和 Catalan 數）來解決非交叉配對、括號匹配等經典組閤問題。 最後，我們觸及組閤恒等式的證明技巧，包括“雙重計數法”（Double Counting）的藝術，強調通過構建不同視角的計數模型來證明復雜的恒等關係。 --- 第二部分：圖論：結構、連通性與極值 (Graph Theory: Structure, Connectivity, and Extremal Problems) 本部分構建瞭圖論的理論大廈，從最基本的定義到高級的結構性質。 2.1 圖的錶示與基本性質 我們從圖的正式定義開始，區分有嚮圖與無嚮圖、簡單圖與多重圖，並介紹鄰接矩陣、關聯矩陣等多種錶示方法。隨後，重點分析圖的連通性：路徑、迴路、割點（Articulation Points）和橋（Bridges）。我們詳細闡述圖的遍曆算法（如深度優先搜索和廣度優先搜索）的理論基礎及其在連通性分析中的作用。 2.2 經典圖類的結構與性質 本部分深入研究瞭幾類關鍵的圖結構： 1. 二分圖 (Bipartite Graphs)：重點在於二分圖的判定（奇圈的存在性）、最大匹配的求解（König's Theorem），以及在資源分配問題中的實際應用。 2. 平麵圖 (Planar Graphs)：探討圖可以嵌入平麵而不發生邊交叉的條件。我們將嚴格推導歐拉公式 ($V - E + F = 2$) 及其推論，包括對最大邊數的限製，並介紹 Kuratowski 定理——判斷一個圖是否為平麵圖的充要條件（即是否存在 $K_{5}$ 或 $K_{3,3}$ 的子圖或圖同態）。 3. 特殊圖類：對完全圖 ($K_n$)、環圖 ($C_n$)、樹（Trees）進行詳細分析。樹的計數（Cayley's Formula）和性質（如最小生成樹的 Kruskal 和 Prim 算法的理論背景）將被納入討論。 2.3 著色問題與圖的代數錶示 圖著色 (Graph Coloring) 是離散數學中的核心優化問題。我們係統地分析瞭圖的色數 $chi(G)$，並探討瞭圖的四色定理的曆史背景和證明思路（盡管證明本身非常復雜，但其意義和相關推論至關重要）。我們將深入研究對偶圖的概念，並探究邊著色問題（Chromatic Index）。 此外，本部分會介紹圖的代數錶示，包括鄰接矩陣的特徵值與圖結構之間的關係，特彆是度矩陣、拉普拉斯矩陣在譜圖理論中的初步應用，如何通過特徵值來分析圖的連通性和擴展性。 --- 第三部分：圖論的高級主題與優化 (Advanced Topics in Graph Theory and Optimization) 本部分側重於那些在網絡流、路徑規劃和組閤優化中起決定性作用的高級理論。 3.1 路徑、流與網絡設計 我們將詳細剖析網絡流理論。從最大流最小割定理 (Max-Flow Min-Cut Theorem) 的嚴格證明齣發，我們將介紹 Ford-Fulkerson 方法及其基於增廣路徑的迭代思想。該理論在匹配、資源調度和網絡容量限製下的決策製定中扮演著核心角色。 緊密相關的是連通性問題：Menger 定理——關於點分離集和邊分離集與圖中獨立路徑數量的關係，這是對連通性概念的深度量化。 3.2 極值組閤學：Turán 定理與 Ramsey 理論 極值圖論 (Extremal Graph Theory) 關注的是在滿足某一特定限製條件下，圖結構所能達到的最大或最小值。Turán 定理是該領域的裏程碑，它給齣瞭一個圖不包含特定子圖（如 $K_{r}$）時，其最大邊數的確界。我們將探究 Turán 圖的構造和證明技巧。 Ramsey 理論則處理的是“完全的無序是不可能的”這一哲學命題的數學形式。我們將介紹 Ramsey 數 $R(s, t)$ 的定義和基本界限，理解其在信息論和邏輯推理中的深遠影響。 3.3 組閤優化與匹配理論的深化 本部分將圖論與優化理論更緊密地結閤起來。我們將迴顧完美匹配 (Perfect Matching) 的存在性判據，特彆是 Tutte 矩陣與 Tutte 矩陣的行列式在一般圖（非二分圖）中判斷完美匹配存在性的理論框架。 最後，我們會討論哈密頓迴路問題（Hamiltonian Cycle）——一個 NP-完全問題的代錶，並分析其必要和充分條件（如 Ore 定理和 Dirac 定理）的局限性，從而引齣對復雜性理論的初步認識。 --- 結論：展望離散數學的前沿 本書的最終目標是為讀者構建一個堅實的理論框架，使其不僅能理解組閤學和圖論的經典成果，還能有能力接觸和理解當前領域內如隨機圖、代數圖論或離散優化等前沿研究。本書的敘事和內容組織強調證明的嚴謹性和結構的普適性，確保所學工具能夠在麵對新型的離散問題時展現齣強大的分析和解決能力。

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我是一名計算機科學專業的博士生，我的研究方嚮涉及到算法的復雜性分析和設計。在我的研究工作中，圖論幾乎是一個不可或缺的工具。無論是設計高效的網絡路由算法、分析大規模數據集中的關係網絡，還是研究分布式係統的通信模型，都需要對圖的各種性質和算法有深入的理解。而組閤數學則在很多算法的證明和分析中扮演著關鍵角色，例如在證明算法的正確性、計算算法的時間復雜度等。因此，一本專注於“問題”的組閤數學和圖論書籍，對我的研究具有直接的幫助。我最看重的是，這本書是否能夠提供那些具有挑戰性、能夠啓發新思路的問題。我期望看到的問題可能涉及一些圖的結構性難題，例如關於生成樹、匹配、割集等，或者一些復雜的組閤計數問題，例如在枚舉所有可能的圖結構、分析特定數據結構的排列組閤時。我特彆希望書中能夠包含一些關於 NP-hard 問題的討論，以及在這些問題上的一些近似算法或啓發式算法的設計與分析。此外，如果書中能夠涉及一些圖論在算法設計與分析中的前沿應用，例如在機器學習中的圖神經網絡、在生物信息學中的基因組圖譜分析等，那將對我非常有啓發。我期待書中提供的解答不僅僅是結果，更重要的是詳細的證明過程和對算法設計的深入剖析。我希望看到作者是如何運用數學工具來嚴謹地證明算法的有效性，或者如何分析算法的性能瓶頸。

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我是一名對算法設計和分析充滿熱情的研究生，我深知組閤數學和圖論在算法領域的核心地位。無論是尋找最短路徑、最小割，還是設計高效的排序算法，或者分析數據結構的性能，都離不開這些數學工具。然而，很多時候，我能夠理解書本上的理論，但在實際的算法設計和分析中，卻常常感到力不從心，不知道如何將理論知識有效地應用於解決實際問題。這本書《Problems in Combinatorics and Graph Theory》的標題，正是瞄準瞭我的痛點。我希望這本書能夠提供一係列具有挑戰性的問題，這些問題能夠涵蓋算法設計中常見的組閤和圖論場景。例如，我期待看到一些關於圖的遍曆、搜索、匹配、染色等經典問題的變種，以及如何利用這些基礎問題來構建更復雜的算法。在組閤方麵，我希望能夠看到一些關於計數、枚舉、以及優化問題，這些問題往往是設計高效算法的關鍵。更重要的是，我希望書中能夠提供詳盡的解答，並且這些解答能夠深入剖析算法的設計思路和分析方法。我希望看到作者是如何從問題齣發，一步步地設計齣算法，並且如何嚴謹地分析算法的時間復雜度和空間復雜度。如果書中能夠包含一些關於貪心算法、動態規劃、迴溯法等算法設計範式的在組閤和圖論問題中的應用示例，那將對我非常有啓發。我相信，通過這本書的學習，我能夠顯著提升自己的算法設計和分析能力，為今後的學術研究和工程實踐打下堅實的基礎。

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我是一名對抽象數學概念著迷的數學愛好者，尤其對那些能夠用簡潔的語言描述齣復雜邏輯的領域情有獨鍾。組閤數學和圖論正是這樣兩個領域，它們以其獨特的魅力吸引著我。我喜歡挑戰自己，通過解決難題來加深對理論的理解。這本書《Problems in Combinatorics and Graph Theory》的標題，如同一個充滿誘惑的邀約，邀請我去探索那些隱藏在組閤數學和圖論世界中的奧秘。我期待這本書能夠匯集一些引人入勝的難題，這些難題可能來自於經典的數學競賽，或者是一些尚未完全解決的前沿問題。例如，我希望看到一些關於計數函數、遞歸關係、以及它們的 closed-form 錶達式的推導問題；在圖論方麵，我期待一些關於圖的拓撲性質、可度量性、以及特定類型圖（如平麵圖、外planar圖、完美圖）的性質探索問題。我最看重的是，書中能夠提供清晰、嚴謹的解答。我希望解答能夠不僅展示最終的答案，更重要的是，能夠揭示問題的核心思想，以及作者是如何一步步構建齣證明的。如果解答中能夠包含一些關於數學歸納法、鴿巢原理、容斥原理等經典證明技巧的應用，那將對我非常有幫助。我希望這本書能夠成為我學習路上的一個裏程碑，它不僅能教會我如何解決問題，更能激發我對數學更深層次的探索欲望。

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我是一名剛剛接觸離散數學的在讀研究生，之前的基礎相對薄弱，但對這個領域充滿瞭好奇。在學習過程中，我發現自己最容易卡殼的地方往往不是理解定義和基本定理，而是在遇到具體的習題或實際問題時，不知道如何下手，或者即使知道瞭一些工具，也無法將它們有效地組閤起來解決問題。這本書的標題“Problems in Combinatorics and Graph Theory”非常吸引我，因為它直接點齣瞭我當前學習階段最迫切的需求——通過解決問題來鞏固和深化理解。我希望這本書能夠像一位經驗豐富的導師一樣，引導我一步一步地攻剋那些具有代錶性的難題。我希望看到的問題不是那種“一眼就能看齣答案”的簡單練習，而是那些需要經過一番思考、需要調動多種知識纔能解決的“硬骨頭”。例如，在組閤方麵，我希望能夠看到一些關於排列組閤的難題，它們可能涉及到一些特殊的約束條件，或者需要運用母函數、生成函數等工具來求解。在圖論方麵，我希望能夠看到一些關於圖的連通性、可平麵性、染色問題等方麵的挑戰，特彆是那些能夠體現圖論在實際應用中的重要性的例子。對於每一個問題，我最期待的是清晰、詳細的解答。我希望解答中能夠解釋清楚每一步的邏輯，說明使用瞭哪些定理或性質，以及為什麼選擇這種方法。如果能夠提供一些關於問題變種的探討，或者一些相關的拓展閱讀，那將是錦上添花。我相信，通過認真研習這本書中的問題和解答，我能夠顯著提升自己的數學建模能力和問題解決能力，為今後的深入學習打下堅實的基礎。

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我是一位長期在網絡安全領域工作的從業者，深知數據結構和算法的重要性。在處理大量的網絡流量、分析潛在的攻擊路徑、設計高效的安全協議時，圖論的知識幾乎是滲透到每一個環節。我經常需要將復雜的網絡拓撲抽象成圖模型，然後運用各種圖算法來發現異常、預測風險。而組閤數學則在加密學、編碼理論等方麵有著不可忽視的作用。因此，當我看到這本書的標題時，我的興趣立刻被點燃瞭。我最關心的並不是這本書的理論有多麼高深，而是它能否真正地解決我在實際工作中遇到的那些棘手問題。例如，在網絡入侵檢測中，如何高效地識彆齣隱藏在海量數據中的攻擊模式？這往往涉及到對圖的子結構搜索、路徑查找等問題。在設計分布式係統的容錯機製時，如何用圖論的語言來描述係統的魯棒性，並分析其關鍵節點？這些都是我在日常工作中經常思考的。我希望這本書能夠提供一些具有啓發性的問題，並且這些問題能夠映射到我所熟悉的實際場景中。如果書中能夠包含一些關於圖的同構、匹配、染色等經典問題，並深入探討它們的求解方法，那將非常有價值。尤其是一些 NP-hard 問題，雖然在理論上很難在多項式時間內解決，但書中能否給齣一些近似算法、啓發式算法，或者在特定場景下的精確解法，這將直接關係到我的工作效率。此外，對於一些組閤計數問題，例如在密碼分析中，如何計算特定密鑰空間下的可能組閤數，或者在漏洞挖掘中，如何評估不同輸入組閤的覆蓋率，這些都需要紮實的組閤數學功底。我希望這本書能夠提供一些實用的工具和技巧，幫助我更快地找到問題的解決方案。一本好的問題導嚮的書，應該能夠教會我如何思考，如何將實際問題轉化為數學模型，以及如何運用已有的數學工具來解決它們。

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我是一位對數學充滿熱情的業餘愛好者，平時喜歡通過閱讀書籍來拓展自己的知識邊界。我對組閤數學和圖論這兩個分支尤其著迷，因為它們能夠以非常簡潔優雅的方式來描述和分析現實世界中的各種復雜現象。然而，自學過程中的一個主要障礙就是，很多時候我能理解書本上的理論，但一旦麵對實際的問題，就感到無從下手，缺乏將理論知識轉化為解決實際問題的能力。這本書《Problems in Combinatorics and Graph Theory》的標題，正是我所需要的。我希望這本書能夠提供一係列精心挑選的問題，這些問題應該能夠覆蓋組閤數學和圖論的經典領域，同時也要具有一定的挑戰性，能夠激發我的思考。我期待的問題可能包括一些有趣的計數問題，例如如何計算特定結構下的排列組閤數，或者一些關於概率和組閤的交叉問題。在圖論方麵，我希望能夠看到一些關於圖的遍曆、搜索、最短路徑、最大流等經典問題的變種，以及一些關於圖的結構性質的探索。更重要的是，我希望這本書能夠提供詳盡、易於理解的解答。解答過程應該清晰地展示如何從問題齣發，一步一步地推導齣答案，並且解釋清楚每一步所依據的數學原理。我希望作者能夠在解答中提供一些解題的技巧和思路，而不是僅僅給齣最終答案。如果書中能夠包含一些將組閤數學和圖論應用於其他領域的例子，例如在計算機科學、運籌學、甚至物理學中的應用，那將更能激發我的學習興趣。我相信，通過這本書的學習，我能夠更好地理解組閤數學和圖論的精髓，並提升自己解決實際數學問題的能力。

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作為一名數學係本科生，我正在經曆著從基礎理論學習到深入研究探索的轉摺點。組閤數學和圖論是我目前最感興趣的兩個方嚮，我常常覺得它們既抽象又充滿美感，如同精密的數學藝術品。我的導師曾經提到，在深入研究的道路上，會遇到無數看似無解的難題，而剋服這些難題的關鍵在於擁有紮實的理論基礎和強大的問題解決能力。當我看到這本書的封麵上“Problems in Combinatorics and Graph Theory”的字樣時，我立刻聯想到瞭那些我曾經在課堂上、在文獻中遇到的、讓我百思不得其解的經典難題。我希望這本書能夠匯集那些具有代錶性的、能夠體現組閤數學和圖論核心思想的難題。例如，那些著名的圖論猜想，如四色猜想、哥德巴赫猜想（雖然這是數論，但其證明思路往往與組閤方法相關），以及一些復雜的組閤計數問題，如一些特殊數列的通項公式推導。我更希望的是，書中不僅僅是羅列這些問題，而是能夠提供清晰、嚴謹的解答思路。我期待能夠看到詳細的證明過程，其中涉及到哪些重要的定理、引理、推論，以及作者是如何巧妙地運用這些工具來構建證明的。對於一些難題，如果能提供多種解法，並對比它們的優劣，那將極大地拓展我的視野。我相信，通過學習如何解決這些難題，我不僅能加深對已有知識的理解，更能培養齣獨立思考和解決新問題的能力。我還會特彆關注書中是否包含一些關於計算復雜性理論在組閤和圖論中的應用，例如 NP 完全性、近似算法等，這些都是我未來進一步深造時需要掌握的關鍵知識。

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作為一名從事生物信息學研究的研究生，我經常需要處理和分析復雜的生物分子網絡，例如基因調控網絡、蛋白質相互作用網絡等。這些網絡在本質上就是圖，而對這些網絡的分析，往往需要運用到大量的圖論和組閤數學知識。例如，識彆網絡中的關鍵節點、發現功能性模塊、預測分子之間的相互作用等，都離不開圖算法和組閤分析。因此，一本能夠提供實際應用問題的組閤數學和圖論書籍，對我來說具有非常重要的參考價值。我希望這本書能夠包含一些能夠映射到生物信息學領域的具體問題。例如，如何用圖論來分析基因錶達數據的相關性網絡，並識彆齣與特定疾病相關的基因模塊？如何利用組閤數學來計算DNA序列中特定模式齣現的概率，或者分析基因組的重排可能性？我期待書中能夠提供一些關於圖的聚類算法、社區發現算法、以及基於圖的特徵提取方法的介紹。在組閤數學方麵，我希望能夠看到一些關於網絡動力學、狀態空間搜索等問題的解決方法。對於每一個問題，我更希望看到的是能夠解釋清楚其生物學意義的解答。如果書中能夠提供一些關於如何將生物學問題轉化為數學模型，以及如何解釋數學結果在生物學上的含義的指導，那將非常有價值。我相信，通過學習這本書，我能夠更好地運用組閤數學和圖論的工具來解決我的生物信息學研究難題。

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這本書的封麵設計就透著一股濃濃的學術氣息，簡潔而有力，沒有多餘的花哨。當我第一次拿到它的時候，沉甸甸的質感就告訴我，這絕非一本輕鬆的讀物。扉頁上印著 Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics 的字樣，這已經足以讓任何一個對離散數學領域稍有瞭解的人眼前一亮。這本書被定位在組閤數學和圖論的交叉領域，這本身就是一個充滿挑戰和魅力的研究方嚮。我一直對抽象的數學結構和它們在現實世界中的映射關係感到著迷，而組閤數學和圖論正是連接這些抽象與具象的橋梁。尤其是在算法設計、網絡分析、甚至生物信息學等領域，圖論的應用更是無處不在。然而，學習這些領域，尤其是深入理解其中的難題，往往需要相當的數學功底和耐心。這本書的標題“Problems in Combinatorics and Graph Theory”直截瞭當地錶明瞭它的內容側重點——不是泛泛而談的理論介紹，而是聚焦於解決具體問題。我個人傾嚮於通過解決問題來學習和鞏固知識，因為這樣能更清晰地看到理論是如何被應用到實踐中的，也能更深刻地理解概念背後的邏輯。當我翻閱這本書時，我期待看到的是那些經過精心挑選、能夠代錶組閤數學和圖論核心思想和難點的例題。這些例題不僅僅是簡單的練習題，更應該是能夠引導讀者思考、啓發創新思路的“催化劑”。我希望作者在提供問題之後，能夠給齣詳盡的解答過程，並且在解答過程中，不僅僅是給齣答案，更重要的是解釋清楚解題思路、使用的關鍵定理和技巧，以及可能存在的其他解法和它們的優劣。這樣，我纔能真正地從中學到東西，而不是僅僅停留在“會做一道題”的層麵。另外，對於一些比較前沿或者晦澀的理論，如果能在問題的背景介紹中稍作提及，或者在解答中給齣相關的參考文獻，那將是更加完善的。總而言之，我對這本書的期望是，它能夠成為我學習組閤數學和圖論過程中不可或缺的助手，幫助我剋服學習中的難點，提升解決問題的能力。

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我在一傢谘詢公司工作，主要負責為客戶提供數據分析和優化方案。在很多項目中，我都需要將客戶的業務場景抽象成數學模型，然後利用數學工具來尋找最優解。組閤數學和圖論在我的工作中扮演著越來越重要的角色。例如，在供應鏈優化中，我需要將物流網絡建模成圖，然後解決最短路徑、最小生成樹等問題；在市場營銷中，我需要分析用戶之間的關係網絡，尋找潛在的影響者和傳播路徑，這往往需要用到圖論的社區發現算法；在資源分配問題中，我需要運用組閤數學的原理來計算最優的配置方案。因此，一本能夠幫助我解決實際問題的組閤數學和圖論書籍，對我來說至關重要。我希望這本書能夠包含一些實際應用場景中的典型問題，並且這些問題能夠引導我思考如何將復雜的現實問題轉化為數學語言。例如，在解決調度問題時，如何用圖論來錶示任務和資源之間的關係，並找到最優的調度方案？在進行網絡優化時，如何用圖論來分析網絡的瓶頸，並提齣改進建議？我期望書中提供的解答能夠具有一定的普適性，能夠讓我從中學習到通用的解題方法和思路，而不僅僅是針對某個特定問題的解決方案。如果書中能夠提供一些關於如何評估不同方案的優劣，以及如何進行敏感性分析的指導，那將非常有價值。我希望這本書能夠成為我解決實際業務問題的“工具箱”，幫助我更高效、更準確地為客戶提供服務。

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