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☆☆☆☆☆

出版者:湖南人民出版社

作者:[加]Gabriel Klambauer

出品人:

页数:573

译者:孙本旺

出版时间:1981-5

价格:2.00元

装帧:平装

isbn号码:

丛书系列:

图书标签:

数学分析6
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高等数学
实分析
函数
极限
导数
积分
序列
级数

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具体描述

《数学分析》内容简介本书是一部严谨而详实的数学分析著作，旨在为读者构建坚实的数学基础，深入理解微积分的核心概念及其在数学科学中的广泛应用。全书共分为十七章，循序渐进地引领读者探索函数、极限、连续、导数、积分等经典分析内容，并进一步拓展至级数、多重积分、微分方程等进阶主题。第一章函数与极限本章从最基本的概念——函数出发，介绍函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性等）、运算以及常见的函数类型，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。在此基础上，引入数列的概念，为理解函数的极限打下基础。接着，本书将严谨地定义函数的极限，包括“ε-δ”定义，并探讨极限存在的充要条件。通过丰富的示例，读者将掌握判断函数极限的方法，并理解当自变量趋于常数、无穷大以及函数值趋于无穷大时的不同极限情况。此外，本章还将介绍单侧极限、无穷小量、无穷大量等重要概念，为后续章节的学习奠定基础。第二章连续性在理解了函数的极限后，本章将深入探讨函数的连续性。我们将定义点连续和区间连续，并详细阐述连续函数的性质，例如有界性、介值性、最值定理等。这些定理是分析学中许多重要结论的基础。本章还将讨论不连续点的分类以及间断点的性质。通过对连续性的深入剖析，读者将能更深刻地理解函数行为的平滑性和一致性，为后续的微分和积分理论打下坚实基础。第三章导数与微分导数是微积分的核心概念之一，也是刻画函数局部变化率的关键工具。本章将严谨定义导数，并通过几何上的切线斜率和物理上的瞬时速度等直观例子加以阐释。我们将介绍求导的法则，包括基本初等函数的导数、和差积商法则、链式法则等。此外，本章还将引入微分的概念，并阐述导数与微分之间的关系。高阶导数的概念也将被引入，为后续研究函数曲率、泰勒展开等内容做准备。第四章导数的应用导数不仅是理论工具，更有着广泛的实际应用。本章将详细介绍导数在函数性质分析中的应用，如单调性、极值、凹凸性、拐点等。通过这些分析，读者将能够绘制函数的图像，精确地了解函数的形态。此外，本章还将探讨利用导数解决优化问题，例如求最大值和最小值，以及应用洛必达法则处理未定式极限。通过这些实际案例，读者将能体会到导数在解决工程、经济、物理等领域问题中的强大威力。第五章不定积分积分是与微分互逆的过程，是求解面积、体积、曲线长度等几何问题的关键。本章将介绍不定积分的概念，定义原函数和不定积分，并给出求不定积分的基本方法，如直接积分法、换元积分法和分部积分法。通过对不同类型函数的积分技巧进行详细讲解，读者将能够熟练掌握求不定积分的方法，并理解不定积分与常数因子以及积分常数的关系。第六章定积分定积分是连接微积分学与几何学的重要桥梁，它代表着函数在某个区间上的“累积”效应。本章将通过黎曼和的概念来定义定积分，并深入探讨定积分存在的充要条件。之后，我们将引入微积分基本定理，这是连接微分和积分的核心定理，它极大地简化了定积分的计算。本章还将介绍定积分的性质，例如线性性质、区间可加性等，并利用定积分计算各种几何量，如平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。第七章定积分的应用本章将进一步拓展定积分在各个领域的应用。我们将介绍定积分在物理学中的应用，例如计算功、质心、转动惯量等。此外，还将探讨定积分在概率论、经济学等学科中的应用，例如计算累积概率、贴现值等。通过这些丰富的应用示例，读者将能更深刻地体会到定积分的强大计算能力和解决实际问题的广泛适用性。第八章数列与级数数列是函数在离散点上的推广，而级数则是无穷项数列的和。本章将首先复习数列的收敛与发散，并在此基础上引入数项级数的概念。我们将详细讨论级数收敛的判别方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法以及绝对收敛与条件收敛的概念。通过对各种判别方法的掌握，读者将能够准确判断级数的敛散性。第九章幂级数与泰勒级数幂级数是一种特殊的函数级数，它在分析学和应用数学中具有极其重要的地位。本章将介绍幂级数的收敛域、和函数以及幂级数的运算性质。在此基础上，我们将重点探讨泰勒级数和麦克劳林级数，它们是将函数展开为幂级数的重要工具。通过泰勒展开，我们能够用多项式函数来逼近复杂的函数，这在数值计算、函数逼近等领域有着广泛应用。第十章多元函数微分学本章将视角从一元函数扩展到多元函数。我们将引入多元函数的概念，并定义偏导数和方向导数，它们刻画了函数在不同方向上的变化率。接着，我们将讨论全微分和梯度，以及多元函数的一阶和二阶偏导数。本章还将重点介绍多元函数的极值问题，包括局部极值和全局极值，并介绍拉格朗日乘数法解决条件极值问题。第十一章多元函数积分学本章将进一步拓展积分的概念到多元函数。我们将定义二重积分和三重积分，并探讨它们的几何意义，例如计算体积和质量。本章将详细介绍计算重积分的方法，包括直角坐标系和极坐标系下的计算，以及换元积分法在重积分计算中的应用。第十二章曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是分析学中的重要工具，用于计算曲线上的标量场或矢量场的积分，以及曲面上的标量场或矢量场的积分。本章将分别介绍第一类和第二类曲线积分，以及它们在计算曲线长度、质量、功等方面的应用。随后，我们将定义第一类和第二类曲面积分，并介绍格林公式、高斯散度定理和斯托克斯公式，这些是联系不同类型积分的强大工具，在物理学和工程学中有广泛应用。第十三章向量分析向量分析是研究向量场及其性质的数学分支。本章将介绍向量场的概念，包括散度、旋度等重要微分算子，以及它们在描述流体流动、电磁场等物理现象中的作用。本章将深入探讨向量分析中的基本定理，如格林公式、高斯散度定理和斯托克斯公式，这些定理将向量分析与向量积分紧密联系起来，是解决许多物理问题的基础。第十四章常微分方程微分方程是描述变量之间变化关系的数学模型。本章将首先介绍常微分方程的基本概念，包括阶、线性、齐次等。之后，我们将详细讲解求解一阶常微分方程的各种方法，例如可分离变量法、线性方程法、伯努利方程法等。本章还将介绍求解高阶线性常微分方程的方法，包括常系数齐次方程和非齐次方程的求解。第十五章偏微分方程引论偏微分方程是描述多变量函数关系的方程，在物理、工程、生物等领域有着极其重要的应用。本章将介绍偏微分方程的基本概念，并介绍几种最常见的偏微分方程，如波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。我们将简要介绍求解这些方程的几种主要方法，例如分离变量法、傅里叶变换法等，为读者进一步深入学习偏微分方程打下基础。第十六章测度论初步测度论是现代分析学的重要基石，它为概率论和积分理论提供了更严格的框架。本章将介绍测度的概念，包括外测度、可测集和测度空间。我们将重点介绍勒贝格测度，它是欧几里得空间上最常用的测度。本章还将初步介绍勒贝格积分的概念，它克服了黎曼积分的局限性，能够积分更广泛的函数。第十七章 Fourier分析基础傅里叶分析是研究周期函数或非周期函数分解为三角级数或积分的重要数学工具。本章将介绍傅里叶级数的概念，它将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。我们将讨论傅里叶级数的收敛性，并介绍傅里叶变换，它将非周期函数分解为连续的频率成分。傅里叶分析在信号处理、图像处理、物理学等领域有着极其广泛的应用。本书力求概念清晰，论证严谨，例题丰富，习题具有代表性，旨在帮助读者建立起扎实的数学分析功底，为进一步学习高等数学、应用数学以及相关学科打下坚实的基础。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

数学系的一位怪老头曾经教导我们，看数学书，第一要注重的是definition，第二是theorem，最后才是application。按这位牛人的说法，数学书应该都写成词典的样子，无怪乎他会对Rudin的这本推崇有加。按俺一个物理系的外行看来这本书也是相当不错的，简洁明了毫无废话，可以一下子...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，硬壳精装，触感温润，那种沉甸甸的分量感，拿在手里就觉得内容必然扎实可靠。扉页上的字体排版极为考究，疏密有致，墨色浓郁，光是翻阅这些前置信息，就如同进行了一次对知识殿堂的庄严拜访。内页的纸张选用了上佳的米白色哑光纸，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。我尤其欣赏作者在章节划分和标题命名上的匠心独运，那些充满哲理性的标题，往往在揭示核心内容的同时，又巧妙地埋下了引人深思的悬念。例如，某一章的标题并非简单地罗列定理名称，而是用一个富有画面感的短语来概括其精髓，这极大地激发了我深入探究其内部逻辑的渴望。装帧的细节之处也处理得非常到位，书脊的粘合牢固，可以完全平摊在书桌上，这对于需要对照公式和图形的读者来说，是极其友好的设计，充分体现了出版方对专业阅读体验的重视，而非仅仅追求形式上的美观。

评分☆☆☆☆☆

如果说知识的广度决定了一本书的“体量”，那么本书的深度则完全体现在其例题和习题的设计上。我花了大量时间在后半部分的习题上，它们绝非简单的公式代换或数值计算练习。很多题目都巧妙地融合了不同章节的知识点，要求读者必须建立起一个宏观的知识网络才能着手解决。特别是那些“探讨性”的习题，它们往往会引导你走出既定的框架，去尝试构造反例、去探究某个条件的微小变动会引发何种结构性的变化。我记得有一道关于收敛性的习题，它要求我从头开始构造一个满足特定病态条件的函数序列，这个过程异常艰难，但一旦找到突破口，那种豁然开朗的感觉，远比记住一个标准解法带来的满足感要强烈得多。这套习题集，与其说是检验学习成果的工具，不如说是一场高水平的思维体操训练，它逼迫你真正“思考”数学，而不是仅仅“计算”数学。

评分☆☆☆☆☆

从阅读体验的角度来看，这本书的排版和符号系统达到了近乎完美的平衡。在涉及到复杂积分或高阶张量表达时，很多书籍往往因为符号拥挤或层级混乱而令人望而却步。然而，本书在这方面做得极为出色，作者和出版方显然投入了巨大的精力来确保每一个数学符号都拥有足够的呼吸空间。希腊字母、上下标、连线符号的间距调整得恰到好处，即使用眼球快速扫过一页密集的公式，也能迅速定位到所需的关键变量或算符，大大降低了阅读中的认知负荷。此外，图表的绘制质量也令人称赞，那些用于辅助理解抽象概念的几何图形，线条清晰，色彩对比得当，准确地捕捉了函数曲面的动态变化或向量场的走向，为那些偏爱直观理解的读者提供了坚实的视觉支撑。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，用一个词来形容，那就是“克制而锋利”。作者显然对所阐述的数学概念有着极深的理解，但绝不卖弄复杂的术语堆砌。叙述的逻辑链条是如此的紧密和自然，仿佛在引导读者沿着一条精心铺设的轨道前行，每一步的推导都显得水到渠成，毫无赘余。我发现，许多我过去在其他教材中感到晦涩难懂的证明过程，在这里被分解成了若干个清晰可辨的小步骤，每一步都附带着简洁而精准的解释，使得即便是初次接触这些高等概念的读者，也能抓住其核心思想。更妙的是，作者总能在关键的转折点处，插入一些富有洞察力的“旁注”或“感悟”，这些内容并非严格意义上的定理证明，却是对该数学工具的适用性、局限性，乃至其在整个数学体系中的地位的深刻反思，这种深层次的对话感，让阅读过程充满了智力上的愉悦，远超出了简单学习知识的范畴。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我感到惊喜的，是它对于数学历史背景的隐性融入。虽然它没有设置专门的历史章节，但在介绍某个关键理论的起源时，作者总会用极其精炼的语言，点出该理论是如何在特定的历史语境下，为了解决某个已有的难题而诞生的。这种叙事方式，使得那些看似冰冷的公理和定理，突然拥有了“人味”和“目的性”。我不再觉得这些知识点是凭空出现的“真理”，而是人类智慧在与自然规律的长期博弈中淬炼出的工具。这种对知识生成过程的尊重和展现，极大地提升了我对学科本身的敬畏感和亲近感。它鼓励读者去追溯思想的源头，去理解前辈们是如何一步步拨开迷雾的，这让学习过程不再是单向的接收，而更像是一场跨越时空的学术朝圣。

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