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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Thomas Garrity

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2013-2-14

价格:USD 53.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821893968

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

代数几何
数学
代数几何
代数簇
射影几何
交换代数
同调代数
代数拓扑
数论几何
birational geometry
scheme theory
Grothendieck topologies

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具体描述

Algebraic Geometry has been at the center of much of mathematics for hundreds of years. It is not an easy field to break into, despite its humble beginnings in the study of circles, ellipses, hyperbolas, and parabolas.

This text consists of a series of exercises, plus some background information and explanations, starting with conics and ending with sheaves and cohomology. The first chapter on conics is appropriate for first-year college students (and many high school students). Chapter 2 leads the reader to an understanding of the basics of cubic curves, while Chapter 3 introduces higher degree curves. Both chapters are appropriate for people who have taken multivariable calculus and linear algebra. Chapters 4 and 5 introduce geometric objects of higher dimension than curves. Abstract algebra now plays a critical role, making a first course in abstract algebra necessary from this point on. The last chapter is on sheaves and cohomology, providing a hint of current work in algebraic geometry.

代数几何：探索几何形状的抽象语言代数几何，作为现代数学中的一个核心分支，致力于用代数工具来研究几何对象。它模糊了代数与几何之间的界限，将我们对几何形状的理解提升到了一个全新的抽象层面。想象一下，如果我们不再局限于用点、线、面来描述形状，而是能够用方程的语言来捕捉它们的本质，那将是怎样一番景象？代数几何正是这样一种强大而优雅的语言，它允许我们用多项式方程的解集来定义和分析几何对象，这些对象被称为簇（varieties）。从最基础的层面讲，代数几何的起点在于理解直线和圆锥曲线。一条直线可以用一个一次方程 $ax + by + c = 0$ 来描述，而一个圆锥曲线，例如圆、椭圆、抛物线或双曲线，则可以用一个二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 来刻画。代数几何将这个思想延伸到更高的维度，并处理更一般化的多项式方程。当我们将几个多项式方程联立起来，它们的共同解集所构成的几何对象，就构成了代数簇。这些簇可以是点、直线、平面，也可以是更复杂的曲面，甚至在高维空间中具有令人难以置信的精妙结构。代数几何的魅力在于它提供了一种强大的分析工具。通过研究定义这些簇的多项式方程的代数性质，我们可以推断出簇的几何性质。例如，一个代数簇的连通性（是否由一个整体构成）、其维度（点的数量、线的长度、面的面积等概念的推广）、以及它的奇点（形状不光滑的点）等，都可以通过分析方程组的代数结构来揭示。这种将几何问题转化为代数问题的能力，使得许多原本难以解决的几何难题变得迎刃而解。我们熟悉的欧几里得几何，在代数几何的框架下，可以被看作是处理线性方程组（直线、平面）的特殊情况。而更广泛的代数几何则涉猎了更丰富的数学领域。例如，在研究二次方程时，我们发现它可以描述圆锥曲线。这些曲线有着丰富的性质，例如焦点、准线等。代数几何将这些思想推广到更高维度的多项式方程，定义了更一般的代数簇，并发展出了一套完整的理论来研究它们的性质。代数几何的语言是基于交换代数（commutative algebra）的。交换代数研究的是带有乘法交换律的代数结构，例如多项式环。在代数几何中，一个代数簇通常被认为是某个多项式环的理想（ideal）所定义的零点集。而这个多项式环的代数性质，则直接反映了对应代数簇的几何性质。例如，环的维数（dimension）对应着簇的维度，环的挠度（torsion）则与簇的某些几何特征有关。这种“对偶性”（duality）是代数几何的核心思想之一，它建立起代数对象和几何对象之间的深刻联系。随着理论的发展，代数几何不再局限于实数或复数域上的代数簇。它还研究定义在任意域（field）上的代数簇，这使得代数几何的应用范围更加广泛，甚至能够触及到数论（number theory）等领域。例如，数论中的许多问题，如丢番图方程（Diophantine equations）的求解，就可以被转化为在特定域上的代数簇上寻找有理点的问题。代数几何为此提供了强大的理论框架和分析工具。代数几何的理论体系庞大而精深，其中包含了许多重要的概念和技术。以下是一些关键的方面： 1. 代数簇（Algebraic Varieties）: 这是代数几何研究的基本对象。它们是由一组多项式方程的公共零点构成的集合。最简单的代数簇可以是点、直线、平面，或者更复杂的曲面，如球面、抛物面等。更一般地，它们可以是高维空间中的“形状”，这些形状由多项式方程所定义。 2. 理想（Ideals）: 在代数几何中，代数簇通常通过一个多项式环的理想来定义。一个理想是一个特殊的子集，它具有特定的代数性质，并且与簇的几何性质密切相关。例如，由所有能生成某个特定代数簇的多项式组成的集合，就构成了一个理想。 3. 环论（Ring Theory）: 代数几何与交换代数紧密相连。多项式环是代数几何中最基本的代数结构之一。对这些环的代数性质的研究，如环的维数、挠度、唯一因子分解等，能够揭示代数簇的几何特性。 4. 流形（Manifolds）: 代数簇可以看作是代数意义上的流形。然而，代数几何更关注的是具有代数结构的流形。例如，光滑代数簇（smooth algebraic varieties）在每个点都有良好的局部行为，类似于光滑微分流形。 5. 抽象代数几何（Abstract Algebraic Geometry）: 随着理论的发展，代数几何不再局限于定义在域上的代数簇。抽象代数几何引入了“概形”（schemes）的概念，这是一个更抽象、更一般的代数几何对象。概形允许我们处理在任意环上定义的几何对象，这使得代数几何能够与更广泛的数学领域，特别是数论，建立起联系。 6. 层论（Sheaf Theory）: 层论是代数几何中一个至关重要的工具。它允许我们局部地研究代数簇的性质，并将这些局部信息“粘合”起来，以获得关于整个簇的全局信息。层论在理解代数簇的结构、分类以及研究其同调性质方面起着核心作用。 7. 同调代数（Homological Algebra）: 同调论在代数几何中扮演着重要角色，它为研究代数簇的拓扑和代数结构提供了强大的工具。例如，上同调群（cohomology groups）可以用来衡量代数簇的“孔洞”数量，以及研究簇上函数的性质。 8. 代数曲面与高维簇（Algebraic Surfaces and Higher-Dimensional Varieties）: 随着维度升高，代数簇的结构变得越来越复杂。代数几何发展了专门的理论来研究代数曲面（二维代数簇）和更高维度的代数簇，例如关于极小模型纲领（minimal model program）等。 9. 模空间（Moduli Spaces）: 模空间是代数几何中一个非常重要的概念。它们是用来参数化一族具有相似性质的代数簇的空间。例如，模空间可以用来研究所有具有相同“拓扑类型”的代数簇的集合。代数几何的应用范围极其广泛，渗透到数学的许多分支。在微分几何中，代数几何的工具被用来研究黎曼流形和微分流形的结构。在拓扑学中，它为理解抽象空间的性质提供了新的视角。在复分析中，它与复流形和复分析函数的研究紧密相连。尤其值得一提的是，代数几何在数论中的应用是划时代的。数论中的许多古老而困难的问题，例如费马大定理，最终被证明得益于代数几何理论的突破。例如，将一个丢番图方程转化为某个代数簇上的性质，然后利用代数几何的工具来分析，是解决这类问题的常用策略。格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）开创的“抽象代数几何”为数论带来了革命性的进展，他引入的概形和层论的概念，使得代数几何成为现代数论不可或缺的语言。代数几何的理论构建是一个漫长而辉煌的历史过程，涌现了许多伟大的数学家，如贝祖（Étienne Bézout）、克莱因（Felix Klein）、韦伊（André Weil）、克里门特·查尔斯（Clement Charles）、哈里森（G. R. H. Harrison）、马尔克斯（Jean-Pierre Serre）、格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）、戴维·芒福德（David Mumford）等。正是他们不断的探索和贡献，才使得代数几何发展成为今天如此繁荣且具有深远影响的数学分支。总而言之，代数几何是一门将代数的力量应用于几何研究的深刻学科。它以严谨的代数语言描绘和分析几何对象，揭示了宇宙中形状背后隐藏的数学规律。从简单的二次曲线到复杂的抽象概形，代数几何为我们提供了一个探索数学世界深层结构的强大框架，其影响力早已超越了数学本身，在物理学、密码学等领域也展现出巨大的潜力。它是一门关于“形状的方程”，以及这些方程所揭示的无限可能性的学科。

作者简介

Thomas Garrity: Williams College, Williamstown, MA,

Richard Belshoff: Missouri State University, Springfield, MO,

Lynette Boos: Providence College, Providence, RI,

Ryan Brown: Georgia College and State University, Milledgeville, GA,

Carl Lienert: Fort Lewis College, Durango, CO,

David Murphy: Hillsdale College, Hillsdale, MI,

Junalyn Navarra-Madsen: Texas Woman’s University, Denton, TX,

Pedro Poitevin: Salem State University, Salem, MA,

Shawn Robinson: Colorado Mesa University, Grand Junction, CO,

Brian Snyder: Lake Superior State University, Sault Ste. Marie, MI,

Caryn Werner: Allegheny College, Meadville, PA

目录信息

Cover 1
Title page 4
Contents 8
Introduction 12
Preface 14
Conics 24
Cubic curves and elliptic curves 84
Higher degree curves 152
Affine varieties 220
Projective varieties 294
The next steps: Sheaves and cohomology 324
Bibliography 352
Index 356
Back Cover 362
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

Algebraic geometry is a notoriously difficult subject for a novice to get the hang of, and therefore any book that is intended to make this subject accessible to beginners deserves serious consideration. The book under review is one such, and is certainly o...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，用一个词来形容，就是**“学术的克制”**。它几乎完全避免了任何带有个人色彩或历史背景的叙述。你不会在书中读到关于代数几何学派之间的争论，也不会看到某一重要概念是如何在历史长河中被逐步完善的。它更像是一份经过严格编辑、去除了所有“不必要”叙述的终稿。这种严谨性在某些方面是优点，保证了内容的纯粹性；但在另一些方面，却让阅读体验变得有些冰冷。例如，在讨论**曲线的模空间（Moduli Spaces of Curves）**时，书中直接给出了Deligne-Mumford空间的确切定义和性质，但却完全没有提及这种空间研究的内在驱动力——比如如何用它来研究拓扑场论或者古典的模函数理论。对我个人而言，我更倾向于那种能将数学概念嵌入到更广阔研究背景中的书籍。这本书的价值在于它的深度和准确性，但它的缺点在于它构建了一个与外界相对隔绝的纯数学象牙塔，需要读者自己去敲开那扇通往应用与历史的大门。

评分☆☆☆☆☆

从结构上看，这本书的组织逻辑是高度线性的，从经典的**黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem）**的经典表述开始，逐步过渡到更抽象的**概形上的层上同调（Sheaf Cohomology on Schemes）**。这种由浅入深（如果这里的“浅”指的是经典代数几何的概念）的递进是合理的。然而，书中关于**代数堆（Algebraic Stacks）**的讨论部分，虽然触及了前沿，但处理得略显仓促。我感觉作者在介绍完概形的基础后，急于将读者带入到更复杂的结构中，导致关于“堆”的基本动机和构造细节，没有得到像介绍“环”和“流形”那样细致的铺陈。这使得我对堆的理解停留在“概形的推广”这个层面，未能真正掌握其作为规范场论或表示论中几何对象的本质意义。整本书的信息密度极高，每一页都值得反复研读，但这种高密度也意味着，如果某一环节理解出现偏差，后续的内容将完全无法跟上，形成一个恶性循环。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的第二个深刻印象是其对**概形理论（Scheme Theory）**的深入程度。这本书显然是以Grothendieck的宏伟框架为核心构建的。书中对“环”与“空间”之间深刻对偶关系的阐述，无疑是现代代数几何的精髓所在。特别是关于**凝聚层（Coherent Sheaves）**的章节，讲解得非常详尽，涉及到了许多非常细微的技术细节。作者并没有回避那些复杂的构造过程，反而选择直面它们，这对于希望掌握现代代数几何核心工具的读者来说，是巨大的福音。然而，这种详尽也带来了阅读上的疲劳感。例如，在证明Serre双对偶性（Serre Duality）的时候，涉及到大量复杂的上同调计算和函子操作，每一页都充满了希腊字母和精密的指标符号。我花费了大量时间试图在脑海中描绘出这些抽象层面的交互作用，但由于篇幅限制，书中提供的直观图示极少，使得整个论证过程显得异常“瘦弱”，缺乏肉感。这本书更像是一个精密的数学机器的蓝图，但没有提供一台实际运行的样机让我们去把玩和感受它的运转方式。

评分☆☆☆☆☆

这本《代数几何》的封面设计得相当经典，那种沉稳的深蓝色调配上烫金的字体，一下就让人感受到内容的厚重与专业。我抱着极大的期待翻开它，希望能在这本书里找到通往更高深数学殿堂的钥匙。然而，初读的体验却像是在迷雾中摸索。作者的写作风格偏向于纯粹的数学逻辑推演，对于初学者而言，缺乏足够的直观几何解释和丰富的例子来建立概念的联系。比如，在介绍射影空间（Projective Spaces）时，章节的过渡显得有些生硬，从线性代数的角度切入后，并没有立即给出一个清晰的、可供想象的几何图像。我感觉自己像是在阅读一份高度浓缩的定理证明集，每一步都逻辑严密，但缺少了将这些抽象结构“具象化”的桥梁。这本书更像是一本为已经有扎实基础的研究生准备的参考手册，而非一本引人入胜的入门教材。它假设读者已经完全理解了概形理论（Scheme Theory）的基本框架，并能熟练运用范畴论的语言进行思考。对于我这种还在努力理解古典代数几何与现代代数几何之间鸿沟的读者来说，这本书的阅读门槛实在太高了。我不得不频繁地查阅其他辅助读物，来补充那些书中略去不谈的背景知识。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，作为一本工具书，《代数几何》的权威性是毋庸置疑的。对于已经掌握了基础，并希望深入研究黎曼曲面、代数曲面或更高维代数簇性质的专业人士来说，这本书无疑是案头必备的。它提供了大量未在主流教材中详细展开的引理和定理的证明。然而，对于我的阅读目的——即通过代数几何建立起我对几何直觉的培养——这本书的帮助有限。它更像是为一位已经会开车的人提供的赛车维修手册，里面包含了发动机所有精密的零件图纸和调校参数，但完全没有教你如何握紧方向盘，如何在弯道上找到最佳的切入点。它是一本关于“如何证明”的书，而非一本关于“如何思考”的书。因此，尽管我敬佩其内容的深度与广度，但我恐怕需要寻找一本更具教学温度的著作，来弥补这本书在引导直观理解上的缺失。

评分☆☆☆☆☆