第一篇 必修內容第一章 微積分的基礎和研究對象 §1 微積分的基礎——集閤、實數和極限 1.1 從牛頓的流數法和第二次數學危機談起 1.2 極限、實數、集閤在微積分中的作用 1.3 實數係的建立及鄰域概念 §2 微積分的研究對象——函數 2.1 變量相依關係的數學模型——函數 2.2 逆嚮思維一例——反函數 2.3 基本初等函數 2.4 復閤函數 2.5 初等函數的含義 2.6 MM能力培養 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 悖論淺談 閱讀材料(2) 數學傢簡介 (一)數學之神——阿基米德 (二)雙目失明的數學傢——歐拉 習題一第二章 微積分的直接基礎——極限 §1 從阿基裏斯追趕烏龜談起——數列極限 1.1 數列的概念 1.2 數列極限的定性描述 1.3 數列極限的定量描述 1.4 數列極限中蘊含的辯證思想 §2 函數極限 2.1 自變量X無限趨近於有限數‰時的情形 2.2 左極限和右極限 2.3 自變量X的絕對值無限增大時的情形 2.4 函數極限的性質 2.5 無窮大量與無窮小量 2.6 極限的四則運算 2.7 兩個重要的極限公式 §3 極限應用的一個例子——連續函數 3.1 連續函數的概念 3.2 連續函數求極限的法則 3.3 初等函數的連續性 3.4 閉區間上連續函數的性質 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 數學思維 閱讀材料(2) 數學傢簡介 我國古代偉大數學傢——祖衝之 習題二第三章 變量變化速度與局部改變量估值問題——導數與微分 §1 函數的局部變化率——導數 1.1 抽象導數概念的兩個現實原型 1.2 導數概念 1.3 求導過程的哲學分析 1.4 左導數和右導數 1.5 函數的連續性與可導性之間的關係 1.6 高階導數的概念 §2 求導數的方法——法則與公式 2.1 求導法則 2.2 基本初等函數的求導公式 §3 局部改變量的估值問題——微分及其運算 3.1 微分 3.2 微分公式和法則 3.3 微分在近似計算中的應用 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 數學抽象 閱讀材料(2) 數學傢簡介 科學巨擘——牛頓 習題三第四章 導數的應用問題——洛必達法則、函數的性質和圖像 §1 聯結局部與整體的紐帶——中值定理 1.1 費馬定理 1.2 中值定理(拉格朗日) §2 計算不定式極限的一般方法——洛必達法則 2.1 兩個基本類型不定式 2.2 其他類型的不定式 §3 用導數研究函數的性質——單調性，極值和最大最小值 3.1 函數的單調性 3.2 函數的極值 3.3 函數的最大值和最小值 §4 利用導數研究函數的圖像——麯綫的繪製 4.1 麯綫的彎麯方嚮——凹凸性 4.2 利用導數繪製函數的圖像 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 數學構造法 閱讀材料(2) 數學傢簡介 業餘數學傢之王——費馬 習題四第五章 微分的逆運算問題——不定積分 §1 逆嚮思維又一例——原函數與不定積分 1.1 原函數與不定積分的概念 1.2 基本積分公式 1.3 不定積分的綫性運算法則 §2 矛盾轉化法——換元積分法與分部積分法 2.1 換元積分法 2.2 分部積分法 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 關係映射反演方法 閱讀材料(2) 數學傢簡介 符號大師——萊布尼茨 習題五第六章 求總量的問題——定積分 §1 特殊和式的極限——定積分的概念 1.1 抽象定積分概念的兩個現實原型 1.2 定積分的概念 1.3 求定積分過程中的辯證思維 1.4 可積條件 1.5 定積分的性質 §2 計算定積分的一般方法——微積分基本定理 2.1 微積分基本定理 2.2 定積分的換元積分法和分部積分法 §3 定積分的拓展——非正常積分 §4 定積分魅力的顯示——在若乾學科中的應用 4.1 微元法 4.2 在幾何學中的應用 4.3 在物理學中的應用——變力作功 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 數學模型方法 閱讀材料(2) 數學傢簡介 微積分學在中國的最早傳播人——李善蘭 習題六第七章 偶然中蘊含必然的問題——概率統計初步 §1 研究偶然現象的基本元素——隨機事件 1.1 隨機現象及其描述 1.2 事件的關係及運算 §2 偶然中的必然——概率 2.1 概率的定義 2.2 條件概率 2.3 全概率公式和貝葉斯公式 §3 隨機現象的函數化——隨機變量 3.1 隨機變量的概念 3.2 離散型隨機變量 3.3 連續型隨機變量 §4 隨機現象平均特徵的描述——期望值 4.1 期望值的概念 4.2 期望值的性質 §5 隨機現象離散程度的描述——方差 5.1 方差的概念 5.2 標準差的概念 5.3 方差的性質 §6 收集、整理和分析數據的方法——統計 6.1 總體和樣本 6.2 統計量和統計量的分布 §7 由部分刻畫整體的方法——統計推斷 7.1 參數估計 7.2 假設檢驗 §8 建立綫性函數的實驗方法——一元綫性迴歸分析 8.1 一元綫性迴歸方程的建立 8.2 迴歸方程的顯著性研究 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 觀察與實驗 閱讀材料(2) 數學傢簡介 早期研究平均值的科學傢——帕斯卡 習題七第二篇 選修內容第八章 處理綫性關係的數學問題——綫性代數概述 §1 一種特殊數——行列式 1.1 行列式的定義 1.2 行列式的性質 §2綫 性方程組的解法 2.1 剋拉默法則 2.2 消元法 §3 應用廣泛的數錶——矩陣 3.1 矩陣的概念 3.2 矩陣的運算 3.3 矩陣的應用 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 數學美學方法 閱讀材料(2) 數學傢簡介 數學王子——高斯 習題八第九章 含變化率的方程問題——微分方程淺說 §1 微分方程初識——一般概念 1.1 例子 1.2 一般概念 1.3 微分方程及其解的幾何解釋 §2 特殊類型微分方程的解法——初等積分法 2.1 分離變量法 2.2 可化為變量分離方程的方程 2.3 一階綫性微分方程 §3 幾個有趣的實例——若乾應用模型 3.1 單種群模型與人口問題 3.2 遺體死亡年代測定問題 3.3 刑事偵察中死亡時間的鑒定問題 3.4 學習過程模型 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 數學推理和數學證明 閱讀材料(2) 數學傢簡介 數學領域裏的一座高聳的金字塔——拉格朗日 習題九第十章 一元微積分的推廣——二元微積分概要 §1 二元函數微積分的預備知識 1.1 解析幾何的思想方法 1.2 空間直角坐標係 1.3 空間麯麵與代數方程 1.4 空間麯綫與代數方程 1.5 用代數方法研究二次麯麵 §2 二元函數的極限與連續性 2.1 二元函數的概念 2.2 二元函數的極限 2.3 二元函數的連續性 §3 偏導數與全微分 3.1 偏導數及其計算 3.2 全微分 §4 復閤函數微分法 §5 二元函數的極值 §6 二重積分的概念與計算 6.1 二重積分的概念與性質 6.2 二重積分的計算 閱讀材料(1) 數學思想方法簡介 數學與創造 閱讀材料(2) 數學傢簡介 (一)追求新幾何的數學傢——笛卡兒 (二)自學成纔的數學大師——華羅庚 習題十附錄一 習題參考答案附錄二 三個數錶 (一)標準正態分布函數值錶 (二)X2分布臨界值錶 (三)相關係數臨界值錶參考文獻
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