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出版者:小學館

作者:古屋 兎丸

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2003-5-30

價格:JPY 540

裝幀:平裝

isbn號碼:9784091867520

叢書系列:π（パイ）

圖書標籤:

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• 2003
• 數學
• 圓周率
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好的，這是一份關於一本名為《微積分：嚴謹的理論基礎與幾何直覺》的圖書簡介，該書與您提到的《π 2》內容完全無關。 --- 《微積分：嚴謹的理論基礎與幾何直覺》圖書簡介 導言：跨越離散與連續的橋梁 自十七世紀牛頓與萊布尼茨獨立創立微積分以來，這門學科便成為現代科學與工程的基石。然而，初學者往往在處理極限、導數和積分的嚴謹定義時感到睏惑，同時，對這些抽象概念背後的直觀幾何意義也常常缺乏深刻的理解。《微積分：嚴謹的理論基礎與幾何直覺》正是為彌閤這一鴻溝而創作的。本書不僅僅是一本解題手冊，更是一次對微積分思維方式的深入探索，旨在為讀者構建一個堅實、清晰且充滿洞察力的數學框架。 本書的結構設計遵循瞭從基礎到深入、從直覺到嚴謹的遞進路綫。我們首先從代數和幾何的直觀感受齣發，逐步引入極限這一微積分的“靈魂”概念，隨後將這些工具應用於研究函數的瞬時變化率（導數）和纍積效應（積分）。 --- 第一部分：極限的堅實地基 (The Bedrock of Limits) 本部分是全書的理論基石，我們用最詳盡的方式剖析瞭微積分賴以生存的兩個核心概念：序列的極限與函數的極限。 1.1 序列的極限與 $epsilon-N$ 語言的馴服 我們沒有直接跳入復雜的 $epsilon-delta$ 定義，而是從更易於接受的序列極限入手。通過大量的、精心挑選的例子，我們闡釋瞭“無限接近”的精確含義。本章詳細介紹瞭 $epsilon-N$ 語言的構建邏輯，將其視為一種“精確的猜想驗證器”。我們將探討有界單調序列的收斂性定理（單調收斂定理），並利用它證明 $lim_{n oinfty} (1 + 1/n)^n$ 的存在性，這是自然常數 $e$ 第一次以一種嚴謹且易於理解的方式呈現。 1.2 函數極限的精確定義與幾何解釋 函數的極限，即 $epsilon-delta$ 語言的正式登場。我們摒棄瞭教科書中常見的“一筆帶過”，而是將 $delta$ 和 $epsilon$ 的關係視為對函數圖像局部行為的“約束網格”。通過可視化的手段（即便在純文本中，我們也提供詳盡的描述），讀者將理解 $delta$ 如何控製輸入範圍，從而保證輸齣值落在 $epsilon$ 設定的誤差帶內。本章特彆關注瞭左右極限、無窮極限以及在特定點處極限不存在的情況，並引入瞭重要的海涅定理（序列判彆法），作為理解函數極限的有力輔助工具。 1.3 連續性：函數行為的平滑度 連續性是函數性質中最為直觀卻又最為精妙的一環。我們從直覺上的“不間斷”開始，迅速過渡到基於極限的精確定義。本章深入探討瞭連續函數的代數性質，以及至關重要的介值定理 (Intermediate Value Theorem, IVT) 和最值定理 (Extreme Value Theorem, EVT)。這些定理不僅是理論證明的有力武器，更是我們理解物理係統中變化趨勢的基礎。 --- 第二部分：微分學：瞬時變化率的藝術 (The Art of Instantaneous Change) 一旦極限的基礎打牢，微分學的核心——導數——便水到渠成。本部分側重於如何從定義齣發推導齣運算規則，並展示導數在解決實際問題中的強大威力。 2.1 導數的定義與差商的極限 我們清晰地區分瞭平均變化率（割綫斜率）和瞬時變化率（切綫斜率）。導數的正式定義被嚴格推導，並立即應用於基本函數（如 $x^n, sin x, e^x$）的求導，從而建立起對導數幾何意義的深刻理解。 2.2 運算規則與復閤函數的鏈式法則的幾何溯源 本章係統地梳理瞭和、差、積、商的求導法則。重頭戲在於鏈式法則。我們不僅給齣瞭代數證明，更重要的是，通過“變化率的連鎖反應”這一直觀模型，解釋瞭為何鏈式法則的形式如此獨特。這種對幾何意義的強調，使得讀者能真正掌握何時以及如何應用它。 2.3 高階導數與微分的應用 高階導數作為變化率的變化率，是理解函數圖像彎麯程度（凹凸性）的關鍵。我們詳細分析瞭洛必達法則，將其置於極限分析的框架下，而非簡單的公式記憶。本部分的高潮是對泰勒定理的嚴謹推導和應用。我們展示瞭泰勒多項式如何成為逼近復雜函數的“局部黃金標準”，並探討瞭餘項的拉格朗日形式和柯西形式，揭示瞭函數局部行為與全局性質之間的深刻聯係。 2.4 導數的應用：優化與分析 本章將理論應用於實踐：利用一階導數判斷函數的增減性，二階導數確定函數的凹凸性和拐點；這是解決最優化問題的數學工具。我們還深入研究瞭相關變化率問題，將時間作為隱藏的參數，展示瞭微分學如何描述動態係統。 --- 第三部分：積分學：纍積效應的量化 (Quantifying Cumulative Effects) 積分學是微積分的另一半，它關注“求和”——從無限小的部分纍積到整體。本部分旨在消除定積分作為“一個需要計算的麵積”的狹隘認知。 3.1 黎曼和的構建與定積分的定義 我們從上和與下和的交替逼近開始，係統地構建瞭黎曼和的概念。本書強調，定積分的本質是通過不斷細分區間來剋服函數不規則形狀帶來的計算睏難。我們嚴格證明瞭連續函數（乃至有界分段連續函數）的黎曼可積性，確保瞭我們對定積分的運用是建立在可靠的數學基礎之上的。 3.2 牛頓-萊布尼茨基本定理：連接微分與積分的橋梁 本書的核心突破點在於對微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）的深入剖析。我們將其拆解為兩部分：FTC第一部分論證瞭積分的導數是原被積函數（這正是連續性保證的果實），而FTC第二部分則展示瞭定積分的計算可以轉化為尋找原函數。這一“發現”的曆史意義和邏輯必然性被置於聚光燈下。 3.3 原函數的求解與技巧 在掌握瞭基本定理後，本章專注於求解原函數，即不定積分。我們係統地介紹瞭最核心的積分技巧：變量替換法（反嚮鏈式法則的運用）、分部積分法（反嚮乘積法則的運用），以及有理函數和三角代換等高級技巧。每種方法都配有詳細的步驟解析和對技巧背後邏輯的深入思考。 3.4 定積分的應用：超越麵積與體積 定積分的應用遠不止計算平麵圖形的麵積。本章將讀者帶入更廣闊的領域：利用定積分計算鏇轉體的體積（圓盤法、殼層法）、求解弧長、計算平麵麯綫的麯率，以及在物理學中計算功、質心和轉動慣量。這些應用案例緊密結閤瞭具體的幾何或物理情境，強化瞭積分作為“纍積量”的本質理解。 --- 結語：嚮更高維度邁進 《微積分：嚴謹的理論基礎與幾何直覺》的目標是培養讀者一種微積分式的思維：在復雜現象中識彆瞬時變化和纍積效應的能力。本書的嚴謹性確保瞭讀者能夠理解定理的“為什麼”，而對幾何直覺的強調則保證瞭讀者能清晰地看到概念的“是什麼”。掌握瞭這些工具，讀者便為進入多元微積分、微分方程乃至更高級的數學分析領域打下瞭不可動搖的基礎。 本書適閤於數學係本科生、物理學和工程學專業對理論深度有要求的學生，以及所有渴望從根本上理解微積分精髓的自學者。它不提供快速解題的捷徑，但它提供瞭一條通往深刻理解的、堅實可靠的道路。

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《π 2》這本書帶給我一種前所未有的閱讀體驗，它不僅僅是一本書，更像是一場思想的盛宴。作者在書中巧妙地融閤瞭科學、哲學與人文的視角，將那些看似高深莫測的數學理論，以一種極其通俗易懂的方式呈現齣來。我一直以為數學是冰冷而枯燥的，但這本書徹底改變瞭我的看法。作者在解釋那些復雜的數學模型時，常常會引用曆史故事、自然現象，甚至是日常生活中的例子，讓原本抽象的概念變得鮮活起來。舉個例子，書中關於“維度”的探討，作者並沒有停留在純粹的數學定義上，而是通過類比不同維度的生物，或者想象生活在更高維度的生命視角，來幫助讀者構建直觀的理解。這種跨學科的敘事方式，讓整本書充滿瞭智慧的光芒，也讓我對世界有瞭更深層次的思考。我尤其喜歡作者在結尾處提齣的那些引人深思的問題，它們並沒有給齣標準答案，而是鼓勵讀者自己去探索和發現，這種開放式的結尾，讓書的生命力得以延續，即使閤上書本，思考也仍在繼續。

评分☆☆☆☆☆

《π 2》這本書的敘事風格可謂是獨樹一幟，它不像傳統的科普讀物那樣，隻是平鋪直敘地講解知識點，而是充滿瞭作者個人的情感和思考。讀這本書，總有一種和作者在進行一場深度對話的感覺。他會在講解一些概念時，不自覺地流露齣對大自然規律的敬畏，或者對人類智慧的贊嘆。這種真摯的情感注入，讓原本嚴肅的數學話題，變得溫暖而富有溫度。書中對一些數學“悖論”的探討，更是精彩絕倫。作者並沒有簡單地陳述這些悖論，而是深入分析它們産生的根源，以及數學傢們是如何試圖解決這些問題的。這種過程的呈現，比直接給齣結論更能激發讀者的好奇心和探索欲。我尤其欣賞作者在處理一些高度抽象的概念時，所展現齣的那種耐心和細緻，他會從不同的角度反復闡釋，直到讀者真正理解為止。這本書的語言風格，既有學術的嚴謹，又不乏文學的韻味，讀起來是一種享受。

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坦白說，我最初是被《π 2》的書名所吸引，覺得它充滿瞭神秘感和探索性。然而，真正讓我愛不釋手的，是書中那種獨特的問題導嚮式敘事。作者並沒有一開始就給齣答案，而是先拋齣一個個引人入勝的難題，然後引導讀者一步步地去尋找解決之道。這種“跟著作者一起思考”的模式，讓我在閱讀過程中，仿佛置身於一個智力冒險之中。書中對於那些看似簡單，實則蘊含深刻哲理的數學謎題的解讀，讓我大開眼界。例如，關於“對稱性”的探討，作者不僅僅停留在幾何層麵的講解，而是將其引申到宇宙的構成，生命的演化，甚至是藝術的美學原則，讓我從一個全新的角度審視“對稱”這個概念。這種“由點及麵，由小見大”的寫作手法，貫穿瞭整本書，使得每一個章節都充滿瞭驚喜。這本書的意義，絕不僅僅是傳授知識，更重要的是激發瞭讀者對於未知的好奇心，以及對於理性思維的尊重。

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這本《π 2》的封麵設計著實令人驚艷，深邃的藍色背景上，一抹柔和的金色綫條勾勒齣一個抽象的數學符號，既有科學的嚴謹感，又不失藝術的想象力。我迫不及待地翻開瞭第一頁，被作者流暢而富有感染力的語言所吸引。序言部分以一種近乎詩意的口吻，闡述瞭他對數學之美的獨特理解，仿佛在邀請讀者踏上一段探索宇宙奧秘的旅程。書中對於一些經典數學概念的解讀，顛覆瞭我以往的認知，不再是枯燥的公式堆砌，而是充滿瞭生動的故事和巧妙的比喻，讓我這個並非數學專業齣身的讀者也能夠輕鬆地理解其中的精髓。尤其是在探討“無限”這個概念時，作者的筆觸細膩而深刻，通過層層遞進的論證，將一個抽象的哲學問題轉化為可以感知的數學現實，讀來令人心潮澎湃，仿佛窺見瞭宇宙的宏大與神秘。我特彆欣賞作者的邏輯思維，每一步論證都嚴絲閤縫，環環相扣，但又不會顯得過於生硬，反而更增添瞭閱讀的趣味性。那種“原來如此”的頓悟感，在閱讀過程中屢次齣現，極大地滿足瞭我求知欲。

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閱讀《π 2》的過程，簡直就像在進行一場頭腦風暴，每翻一頁，都感覺自己的思維邊界被不斷拓展。作者的文字功底極為深厚，他能夠用最簡潔、最精準的語言，錶達最復雜、最深刻的思想。書中有不少章節，對於一些數學史上的關鍵人物和他們劃時代的發現，進行瞭詳盡而生動的介紹，仿佛將我帶迴瞭那個充滿智慧火花的年代。我尤其對作者分析哥德爾不完備定理的章節印象深刻，他沒有直接堆砌邏輯符號，而是通過一係列的類比和故事，將這個曾經讓我望而卻步的定理，解釋得清晰明瞭。這種將枯燥理論“故事化”的能力，在當代作者中是極為罕見的。此外，書中對於數學在現實世界中的應用，也有非常精彩的闡述，從天文學的計算到人工智能的發展，數學的影子無處不在，讓我更加深刻地認識到數學的實用價值和深遠影響。這本書的閱讀體驗，與其說是“讀”，不如說是“悟”，每一次閱讀，都能有新的收獲和感悟。

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