The general theory of Dirichlet's series--Dirichlet级数的一般理论(英文原版进口) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:G.H. Hardy and Marcel Riesz.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-01-01

价格:271.20001

装帧:

isbn号码:9780486446578

丛书系列:

图书标签:

Dirichlet series
Analytic number theory
Complex analysis
Mathematics
Number theory
Functions
Mathematical analysis
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具体描述

《数论之美：解析狄利克雷级数的经典与现代应用》一部深入浅出、兼顾理论深度与应用广度的数论著作本书旨在为读者构建一个关于解析数论核心工具——狄利克雷级数（Dirichlet Series）的全面认知框架。它不仅仅是一本纯粹的理论教科书，更是一座连接经典数论思想与现代数学分支的桥梁。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在详尽阐述理论细节的同时，突出其在理解素数分布、代数数论以及L函数理论中的关键作用。第一部分：狄利克雷级数的基础构建 (Foundations of Dirichlet Series) 本部分着重于为读者打下坚实的分析基础，从级数的一般性质出发，逐步聚焦于狄利克雷级数的特殊结构。第一章：复变函数与收敛性原理的回顾与深化在深入狄利克雷级数之前，本书首先对复变函数论中与级数收敛密切相关的核心概念进行了系统的回顾与提升。重点讨论了局部收敛、一致收敛的精确定义，以及泊松求和公式（Poisson Summation Formula）的推导及其在处理狄利克雷级数零点附近的渐近行为中的初步应用。特别地，我们详细分析了阿贝尔求和公式（Abel Summation Formula）在确定狄利克雷级数解析延拓边界上的关键作用，为后续讨论解析延拓打下基础。第二章：狄利克雷级数的构造与初级性质本章正式引入狄利克雷级数的标准形式：$D(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$。我们详细探讨了系数序列 ${a_n}$ 的不同性质（如完全乘性、积性、增长率）如何决定级数的收敛区域、收敛区域的边界，以及其欧拉乘积（Euler Product）的构造。收敛区的确定是本章的核心。通过引入“狄利克雷级数的上界函数”（Upper Bound Function）的概念，精确地界定了复平面上使得级数绝对收敛的半平面 $operatorname{Re}(s) > sigma_a$ 的边界 $sigma_a$（绝对收敛性上界）。此外，本章也首次引入了“收敛性上界” $sigma_c$（收敛性上界）与 $sigma_a$ 之间的关系，并用实例（如黎曼$zeta$函数、狄利克雷L函数）加以说明。第三章：欧拉乘积的威力与算术函数狄利克雷级数的强大之处在于它能将乘性数论与复分析完美结合。本章专注于解析函数与其对应的算术函数之间的二元对应关系。我们深入分析了完全积性函数（如$mu(n)$、$phi(n)$）和乘性函数（如$sigma_k(n)$）如何通过欧拉乘积形式 $prod_p (1 + frac{a_p}{p^s} + frac{a_{p^2}}{p^{2s}} + dots)$ 来表示。通过对黎曼$zeta$函数与狄利克雷L函数欧拉乘积的分解，读者将直观理解这些函数在数论中的核心地位。本章还探讨了狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）在函数空间中的定义，以及它如何与狄利克雷级数的乘法运算相对应。第二部分：解析延拓与函数方程 (Analytic Continuation and Functional Equations) 狄利克雷级数真正的数学价值体现在其解析延拓的能力上，这使得我们可以研究级数在比初始收敛区域更广阔的复平面上的性质。第四章：函数方程的建立与对称性本章是本书理论上的关键飞跃。我们详细阐述了如何通过引入适当的伽马因子（Gamma Factors）来构造一个满足函数方程的狄利克雷级数。以黎曼$zeta$函数为例，我们完整推导了其著名的函数方程 $xi(s) = xi(1-s)$，并探讨了该方程所蕴含的关于零点分布的深刻对称性。对于一般的狄利克雷L函数，我们讨论了“广义函数方程”的结构，并阐明了狄利克雷特征（Dirichlet Characters）在保证函数方程存在性中的不可或缺的作用。第五章：解析延拓的路径与极点分析本章关注于利用积分变换和函数方程技术，将级数从其绝对收敛区域 $operatorname{Re}(s) > sigma_a$ 延拓至整个复平面（可能除有限个点外）。我们深入分析了极点（Poles）的性质，特别是主级数（如$zeta(s)$）在 $s=1$ 处的简单极点，并探讨了如何通过计算留数（Residues）来估算级数前有限项之和的渐近行为。对于一般狄利克雷级数，本章讨论了其在何处可能出现奇点，以及如何利用其欧拉乘积的因子来预测这些奇点的性质。第三部分：狄利克雷级数的数论应用 (Number Theoretic Applications) 本部分将理论工具应用于解决数论中的经典问题，展示狄利克雷级数作为解析数论基石的强大力量。第六章：素数计数与切比雪夫函数狄利克雷级数最著名的应用是关于素数分布的研究。本章详细分析了黎曼$zeta$函数与素数计数函数 $pi(x)$、切比雪夫 $psi(x)$ 函数之间的关系，重点在于莫比乌斯反演公式（Möbius Inversion Formula）在解析形式中的表达。我们将严格证明素数定理（The Prime Number Theorem）的解析证明框架，解释了函数方程和零点位置如何决定误差项的大小。本章特别强调了通过分析 $zeta(s)$ 在 $operatorname{Re}(s)=1$ 处不为零的性质，如何导出 $sum_{p le x} frac{1}{p} sim ln ln x$ 这样的重要结论。第七章：狄利克雷L函数与算术级数中的素数在扩展到黎曼$zeta$函数之后，本书自然过渡到更一般的狄利克雷L函数 $L(s, chi)$。我们详细介绍了狄利克雷特征 $chi$ 的构造、周期性及其与L函数的关系。核心应用在于证明狄利克雷算术级数定理（Dirichlet's Theorem on Arithmetic Progressions）：对于互素的整数 $a$ 和模 $m$，存在无穷多个形式为 $a + km$ 的素数。本书将此证明与L函数在 $s=1$ 处的性质紧密联系起来，展示了特征函数的正交性在消除“非特征项”中的关键作用。第八章：狄利克雷级数在代数数论中的初步投影本章旨在连接解析数论与代数数论。我们讨论了当系数 $a_n$ 来源于代数数域中的理想范数时，狄利克雷级数如何演化为“代数狄利克雷级数”或“Dedekind $zeta$ 函数”。我们探讨了这些级数如何携带关于数域的深刻信息，例如判别式（Discriminant）和类数（Class Number）。通过考察这些推广形式的函数方程，读者可以预见更高级理论（如Hasse-Weil L函数）的宏伟蓝图。结论：理论的展望本书最后总结了狄利克雷级数作为分析工具的普适性，并简要展望了其在椭圆曲线、模形式理论以及自守表示论中作为L函数核心结构的现代角色，强调了理解其基本结构对于深入研究现代数学前沿的必要性。本书特点：理论的严谨性：严格证明了关键定理，避免了对关键步骤的跳跃。应用的聚焦性：以素数定理和算术级数定理为核心应用案例，展现工具的实际效力。层次的递进性：从基础收敛性到函数方程，再到高级应用，逐步引导读者掌握复杂概念。清晰的结构：每一章都围绕一个核心数学目标展开，便于读者系统学习和回顾。