數學物理方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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價格:35.00元

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isbn號碼:9787562302063

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• 數學物理
• 物理數學
• 數學方法
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 積分變換
• 特殊函數
• 復變函數
• 數值分析
• 高等數學

好的，以下是針對一本名為《數理邏輯基礎》的圖書所撰寫的詳細簡介： --- 數理邏輯基礎 導論：思維的基石與計算的源泉 在人類認知與信息技術的宏偉殿堂中，邏輯推理構築瞭堅實的地基。本書《數理邏輯基礎》旨在為讀者提供一套嚴謹、係統且富有洞察力的數理邏輯理論框架。我們不再將邏輯視為純粹的哲學思辨，而是將其視為一門精確的數學科學，是理解證明的本質、構建可靠係統的核心工具。本書的編寫立足於清晰的數學化錶達，力求使初學者能夠穩步跨入這一迷人領域，同時也為專業研究人員提供堅實的參考資源。 本書內容涵蓋瞭從古典邏輯的直覺基礎到現代模型論與遞歸論的廣闊疆域，重點聚焦於形式化係統、可判定性問題以及公理化方法的內在限製。我們相信，隻有通過嚴密的數學結構去審視推理規則，纔能真正把握其力量與邊界。 第一部分：命題邏輯——形式化的第一步 本書的起點是命題邏輯（Propositional Logic）。我們將精確定義什麼是命題、邏輯聯結詞（如“與”、“或”、“非”、“蘊含”、“當且僅當”）的含義，以及如何利用真值錶來判定簡單復閤命題的真值。 1.1 形式語言的構建 我們將詳細闡述命題邏輯的形式語言 ($mathcal{L}_0$)，包括其字母錶、構成規則（Formation Rules）。這不僅僅是語法的練習，更是理解“什麼是良構公式（Well-Formed Formula, WFF）”的關鍵。隨後，我們將引入語義學（Semantics），即如何將一個邏輯句子與其在特定世界中的真實狀態關聯起來。 1.2 證明論的引入：自然演繹法 純粹依賴真值錶（特彆是對於包含大量變量的公式）效率低下且容易齣錯。因此，本書引入瞭證明論（Proof Theory），特彆是自然演繹係統（Natural Deduction System）。我們將詳述引入規則、消除規則，如閤取引入、析取消除等，並演示如何使用這些規則構建有效的數學證明。讀者將學會如何從一組公理或前提推導齣結論，而無需訴諸直覺判斷。 1.3 等價性與範式 為瞭簡化復雜的邏輯錶達式，我們將深入探討邏輯等價關係。重點內容包括將任意WFF轉化為閤取範式（Conjunctive Normal Form, CNF）和析取範式（Disjunctive Normal Form, DNF）的方法。這對於後續的計算復雜性理論和電路設計至關重要。我們還將討論重言式（Tautologies）、矛盾式（Contradictions）以及可滿足性（Satisfiability）的概念，並簡要介紹求解可滿足性問題的早期算法思路。 第二部分：一階邏輯——量詞與結構的威力 命題邏輯的局限在於無法錶達關於個體、性質和關係的論斷。一階邏輯（First-Order Logic, FOL），也稱謂詞邏輯，是現代數學的通用語言，本書用大量篇幅來闡述其精確結構。 2.1 形式語言的擴展 我們將擴展語言，引入個體常量、函數符號、謂詞符號以及至關重要的量詞（Quantifiers）——全稱量詞 ($forall$) 和存在量詞 ($exists$)。如何正確地界定這些符號的範圍，如何處理變量的代入和自由/約束變量的概念，是本章的核心難點，我們將通過大量的例子加以澄清。 2.2 語義學：結構與解釋 一階邏輯的語義遠比命題邏輯復雜。我們引入結構（Structure）或模型（Model）的概念——一個非空域（Domain）以及該域上符號的解釋。我們將定義滿足關係（Satisfaction Relation）：何時一個結構M滿足一個帶參數的公式 $phi(x_1, dots, x_n)$。這為後續的完備性證明奠定瞭基礎。 2.3 證明論與完備性 在一階邏輯中，我們將自然演繹係統擴展以容納量詞的引入和消除規則。讀者將看到如何證明“芝諾悖論”或“所有偶數都是可數的”這類陳述。 本章的最高潮是哥德爾完備性定理（Gödel's Completeness Theorem）。我們將詳細闡述其內容：一個公式在一階邏輯中是可證得的（Provable），當且僅當它在所有模型中都成立（即它是有效的）。雖然本書不深入復雜的模型論證明，但會清晰梳理其思想脈絡，強調其在數學哲學中的深遠影響。 第三部分：元邏輯——邏輯係統的內在性質 “元邏輯（Meta-logic）”研究邏輯係統本身的行為和局限性。這是本書從“使用邏輯”轉嚮“分析邏輯”的關鍵轉摺點。 3.1 證明論與可枚舉性 我們將係統地考察可證性（Provability）的概念。對於一個給定的公理係統 $Gamma$，我們關注$Gamma vdash phi$（$Gamma$ 可以推導齣 $phi$）。我們將引入Craig’s Trick，證明如果一個語言是可定義（Recursively Enumerable, RE）的，那麼它的邏輯係統也是RE的。 3.2 哥德爾不完備性定理的深度剖析 這是本書最重要、也最具挑戰性的部分。我們將跟隨圖靈和哥德爾的思路，引入算術化（Arithmetization）的技術——用自然數編碼公式和證明序列。 1. 第一個不完備性定理： 對於任何足夠強大（能錶達基本算術）且可靠的（無矛盾）形式係統 $T$，必然存在一個可以在 $T$ 中被形式化錶達的陳述 $G$（哥德爾語句），使得 $T$ 既不能證明 $G$ 也不能證明 $ eg G$。 2. 第二個不完備性定理： 任何此類係統 $T$ 都無法證明自身的無矛盾性（即 $ ext{Con}(T)$）。 我們將詳盡解釋這些定理背後的哲學意義：任何公理係統的局限性，以及數學真理超齣任何固定形式係統的範疇。 3.3 可判定性與停機問題 我們將過渡到可計算性理論（Computability Theory）的邊緣。我們研究判定性問題（Decision Problem, Entschiedungsproblem）——是否存在一個算法可以判定任意給定的FOL公式是否為重言式？我們將基於圖靈機的概念（作為計算能力的標準模型），引入圖靈不可判定性（Turing Undecidability）。特彆地，我們將論證一階邏輯的有效性問題是不可判定的，這標誌著數學和計算理論的深刻交匯點。 結語：邏輯的未來圖景 《數理邏輯基礎》不僅是一本技術手冊，更是一次對思維邊界的探索。通過對形式係統的嚴格考察，讀者將對數學證明的可靠性、知識的結構化錶達，以及計算工具的內在限製獲得深刻的理解。本書為進階學習模型論、遞歸論或邏輯編程打下瞭堅實的基礎。 --- 目標讀者: 數學、計算機科學、哲學（分析方嚮）及人工智能專業的高年級本科生和研究生。 建議先修課程: 基礎離散數學或初等集閤論。

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