Riemannian Geometry (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Peter Petersen

出品人:

页数:424

译者:

出版时间:2006-08-09

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387292465

丛书系列:

图书标签:

Riemannian Geometry
Differential Geometry
Mathematics
Graduate Level
Topology
Manifolds
Curvature
Metric Geometry
Einstein Manifolds
General Relativity

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具体描述

Intended for a one year course, this volume serves as a single source, introducing students to the important techniques and theorems, while also containing enough background on advanced topics to appeal to those students wishing to specialize in Riemannian geometry. This is one of the few works to combine both the geometric parts of Riemannian geometry and the analytic aspects of the theory, while also presenting the most up-to-date research. This book will appeal to readers with a knowledge of standard manifold theory, including such topics as tensors and Stokes theorem. Various exercises are scattered throughout the text, helping motivate readers to deepen their understanding of the subject.

Important additions to this new edition include:

* A completely new coordinate free formula that is easily remembered, and is, in fact, the Koszul formula in disguise;

* An increased number of coordinate calculations of connection and curvature;

* General fomulas for curvature on Lie Groups and submersions;

* Variational calculus has been integrated into the text, which allows for an early treatment of the Sphere theorem using a forgottten proof by Berger;

* Several recent results about manifolds with positive curvature.

From reviews of the first edition:

"The book can be highly recommended to all mathematicians who want to get a more profound idea about the most interesting

achievements in Riemannian geometry. It is one of the few comprehensive sources of this type."

- Bernd Wegner, Zentralblatt

好的，以下是一本与《黎曼几何（Graduate Texts in Mathematics）》主题相关，但内容上完全独立、详尽的数学著作的简介。 --- 《微分流形上的局部与整体几何：从欧几里得空间到抽象结构》著作概述本书旨在为读者提供一个深入、严谨且全面的微分流形理论基础，并在此基础上探索丰富的几何结构。不同于侧重于黎曼度量张量和曲率计算的传统教科书，《微分流形上的局部与整体几何》将重点放在几何结构的内在构建、拓扑约束与分析工具的结合上。本书的结构旨在引导读者从熟悉的欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）出发，逐步抽象到光滑流形、张量代数以及联络的概念，最终探索更广阔的几何世界。本书的深度适合于研究生阶段的数学学生，以及希望对现代几何学有扎实理解的数学物理学家。它强调清晰的定义、严密的证明以及丰富的例子，力求在概念的抽象性与几何直觉之间搭建坚实的桥梁。第一部分：流形的分析基础与拓扑背景本部分是后续所有几何构建的基石。我们首先回顾现代拓扑学中的关键概念，包括度量空间、完备性、紧致性和连通性，为理解流形作为一个局部欧几里得空间的特性打下基础。 1.1 拓扑学回顾与预备知识：详细讨论了拓扑空间、连续映射、开闭集、紧致性和分离公理。重点分析了子空间拓扑和商拓扑的构造，特别关注它们在定义流形结构中的作用。 1.2 抽象微分流形：严格定义了光滑微分流形（Differentiable Manifolds），包括坐标卡、转移映射（Transition Maps）的平滑性要求。我们深入探讨了例子，如球面、$n$ 维环面，以及李群的初步介绍。 1.3 向量场与张量代数：引入了切空间（Tangent Space）作为流形上点的线性近似结构。这是理解微分几何中“方向”和“变化率”的关键。切向量与方向导数：定义切向量在坐标系下的分量表示，以及它们如何通过导数算子自然产生。张量场（Tensor Fields）：详细构建了 $(k, l)$ 型张量的定义，它们是流形上多线性函数在切空间之间的推广。我们专注于张量代数的构造，包括张量积、收缩和对偶空间（余切空间）的建立。微分形式（Differential Forms）：作为余切空间的楔积（Wedge Product）的推广，微分形式（$k$-forms）是微分几何中进行积分和拓扑研究的核心工具。本节详述了楔积的定义、反对称性及其与外导数（Exterior Derivative）的关系。 1.4 微分算子与积分理论：阐述了微分几何中分析操作的推广。外导数（The Exterior Derivative）：这一结构是德拉姆上同调（De Rham Cohomology）的基础。我们证明了 $d^2 = 0$ 的关键性质，并探讨了流形上 $k$-形式的积分（Stokes' Theorem 的推广形式）。向量场与流（Flows）：分析了向量场定义的常微分方程组，并证明了光滑向量场在局部存在唯一的积分流（Flow），这为流形上的动力学分析奠定了基础。第二部分：联络、连接与几何结构的建立在掌握了流形和张量的基本框架后，本部分转向如何赋予流形“结构”——即如何定义“平行移动”和“曲率”的概念，而无需预设一个嵌入空间。 2.1 联络的引入与平移概念：切丛（Tangent Bundle）：将流形上的所有切空间集合起来，形成一个主丛结构，这是定义联络的必要空间。仿射联络（Affine Connection）：严格定义了联络，作为一种允许我们在流形上“比较”不同点切向量的规则。我们详细分析了黎曼几何中“度量兼容”和“挠率（Torsion）”的概念，并首次介绍了经典（如Levi-Civita）联络的唯一性。 2.2 协变导数与平行移动：协变导数（Covariant Derivative）：基于联络，我们定义了沿向量场方向的协变导数，它替代了传统微积分中的偏导数。平行移动（Parallel Transport）：解释了在联络的作用下，切向量如何沿着曲线“保持方向不变”。我们分析了曲线的测地线（Geodesics）作为平行移动的特殊情况——即自身平行（$ abla_{dot{gamma}}dot{gamma} = 0$）的曲线。 2.3 曲率的代数与几何解释：本节是几何深入研究的核心。曲率不再是关于一个外部嵌入空间的弯曲，而是联络自身非对易性的直接体现。黎曼张量（Riemann Curvature Tensor）：通过计算两个方向的平行移动顺序对结果的影响，我们定义了黎曼曲率张量 $R(X, Y)Z$。谢尔宾斯基公式（The Bianchi Identities）：详细推导并分析第一、第二比安基恒等式，它们是曲率张量必须满足的基本约束，揭示了曲率的内在几何意义。里奇张量与标量曲率：通过对黎曼曲率的收缩，我们定义了里奇张量（Ricci Tensor）和标量曲率（Scalar Curvature）。我们探讨了这些低阶曲率不变量在特定几何结构中的重要性。第三部分：流形上的几何分析与全局拓扑约束本部分将前两部分的代数和微分工具应用于解决更宏观的几何问题，重点关注积分几何和拓扑的影响。 3.1 德拉姆上同调与拓扑不变量：上链复形：利用外导数构造了德拉姆复形 $Omega^0 xrightarrow{d} Omega^1 xrightarrow{d} Omega^2 o cdots$。上同调群：严格定义了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$，并证明了 Poincaré引理（在 $mathbb{R}^n$ 上）和 De Rham 定理（将微分形式的上同调与奇异上同调联系起来）。这使得我们可以用微分工具研究流形的拓扑性质，例如亏格（Genus）。 3.2 测地线几何与动力学：测地线完备性（Geodesic Completeness）：讨论了当流形的所有测地线都可以无限延伸时，该流形被称为测地完备的。我们探讨了何哲夫定理（Hopf-Rinow Theorem）的初步版本，该定理将全局几何属性（如连通性）与局部分析（如测地线完备性）联系起来。 3.3 嵌入理论的初步考察：虽然本书主要聚焦于抽象流形，但为了理解这些结构如何“嵌入”到欧几里得空间中，我们引入了嵌入理论的基础概念。浸入（Immersion）与嵌入（Embedding）：区分这两种映射的数学定义。第一、第二基本形式：介绍了当流形被视为某个高维空间的子流形时，如何使用嵌入空间中的经典微分几何工具（如法向量场），并利用它们重新理解协变导数和曲率的定义。总结与展望本书为读者提供了一个坚实的框架，使他们能够从基础的拓扑概念出发，构建出光滑流形的结构，定义切空间、张量、联络，并最终计算出曲率。通过对德拉姆上同调的系统介绍，本书也清晰地展示了微分几何如何成为连接局部分析与整体拓扑的强大桥梁。本书的视角侧重于结构、内在定义与代数一致性，而非仅仅是度量空间的弯曲度量。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的优点在于它对某些高级主题的覆盖深度是无可匹敌的，特别是关于辛几何和卡拉比-丘流形的某些处理，这些内容在其他主流教材中常常被一笔带过或者仅作为附录出现。作者对于这些尖端领域的论述，其精确性和广度，无疑使它成为了一本顶级的参考书。然而，正是因为这种面面俱到的追求，导致全书的节奏显得有些失衡。早期的基础铺垫相对平缓，但一旦进入到中后期的核心内容，信息的密度瞬间呈指数级增长，让读者感到措手不及。我发现自己不得不频繁地查阅脚注和参考文献，因为书中对很多重要引理的证明都采取了“请参考XX”的简洁处理方式。这本书像一位沉稳的老教授，他已经掌握了所有需要知道的东西，现在他只是按照他认为最有效率的方式将其记录下来，而没有过多地顾及到听众（读者）的接受能力和学习习惯。对于那些已经具备坚实基础，力图在黎曼几何领域进行深入研究的人来说，这本书是不可或缺的宝藏；但对于初次接触这个领域的探索者，它更像是一场艰苦卓绝的智力马拉松。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事风格，坦白讲，更像是一位饱经风霜的数学家在整理他的毕生心血，而不是一个旨在取悦大众的教学指南。它更像是一部精密的工具书，要求读者带着明确的目的和深厚的背景知识前来“朝圣”。我尤其喜欢它对正比线丛和联络理论的论述，那种将抽象的微分形式与具体的几何直观紧密结合的处理方式，极具启发性。例如，作者在讲解魏尔斯特拉斯紧致性定理在完备空间上的推广时，那种论证的滴水不漏，让人不得不对作者深厚的数学功底肃然起敬。然而，这种深入骨髓的严谨性也带来了阅读上的疏离感。书中例题的稀缺程度令人咋舌，许多关键性的概念似乎都是一笔带过，期待读者自己去“填补空白”。这对于希望通过大量实例来巩固理解的学习者来说，无疑是一种折磨。我常常需要在其他辅助读物中寻找那些被省略的“中间步骤”，才能真正领会作者想表达的深层含义。它更适合作为研究生阶段的参考手册，而不是本科高年级入门的教材。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验方面，这本书的排版虽然工整，但内容密度实在太大了，几乎没有留白给读者的思考空间。每一个段落都塞满了定义、定理和证明，仿佛生怕浪费了哪怕一个字母。当我第一次尝试去啃“霍奇理论在黎曼流形上的初步应用”那几章时，我感觉自己像是在一片茂密的数学丛林中迷失了方向，缺乏清晰的导航箭头。书中的插图少得可怜，对于理解曲率如何扭曲空间这样的视觉化概念，这种缺失显得尤为致命。我不得不依赖我自己的想象力，或者干脆用笔在草稿纸上画出那些扭曲的二维切片，才能勉强跟上作者抽象的论述。作者似乎坚信，一个真正的几何学家应该能够仅凭符号的演绎就重构出完整的几何图景。虽然从学术的纯粹性来看这无可厚非，但从教学法和知识的传播效率来看，这无疑是一种效率低下的方式。总而言之，这是一本需要“硬啃”的书，对读者的专注度和毅力提出了极高的要求。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计实在称得上是教科书里的“极简主义”典范，黑白分明，字体古朴得让人不禁联想到那些泛黄的年代。初次翻开时，那种厚重感和严谨的排版立刻给人一种“这不是闹着玩的”的信号。里头的数学符号密集得像是某种古老的密码，每一个希腊字母和上下标的排列组合都仿佛在无声地诉说着宇宙间深刻的几何法则。我特别欣赏作者在引言部分对测地线概念的阐述，那种从欧几里得空间到抽象流形空间的平滑过渡，虽然对初学者而言依然是巨大的挑战，但那种逻辑上的层层递进感，就像是攀登一座知识的险峰，每一步都踏得非常扎实。不过，说实话，如果你没有扎实的微分几何基础，直接面对这些内容可能会感到头晕目眩，书中对背景知识的假设似乎默认读者已经对张量分析和拓扑学有着深刻的理解，这对于自学者来说，无疑是一道不小的门槛。那些复杂的黎曼曲率张量的计算部分，需要极大的耐心和细致入微的笔算才能跟上作者的思路，光是梳理清楚指标的升降和爱因斯坦求和约定，就已经耗费了我不少时间。

评分☆☆☆☆☆

这本书的特点在于其对“整体性”几何结构的强调，它不像某些侧重于局部计算的教材，而是试图构建一个统一的框架来描述流形上的所有几何性质。例如，对爱因斯坦场方程的几何诠释部分，作者展示了如何将复杂的物理方程融入到纯粹的数学结构中，这种跨学科的视野令人印象深刻。然而，这种高度的抽象也使得初学者在建立直观感受上感到困难重重。很多时候，我需要反复阅读同一段落，才能从那些看似无关的符号串中提炼出几何直觉。这本书的难度梯度不是线性的，而是阶梯式的，某些章节（比如关于规范不变性和整体性的讨论）简直像是一堵垂直的墙，需要我停下来，花费数周时间去学习相关的代数拓扑知识才能勉强攀爬上去。它很少提供“为什么”的动机性描述，更多的是“如何”的精确构造。对于渴望理解数学家是如何思考的读者来说，这或许是财富，但对于只是想掌握计算技巧的学生来说，这可能就是负担了。

评分☆☆☆☆☆