数学(高2第2学期用配合上海2期课改)/新教材辅导与训练 (平装)

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出版者:上海科学技术出版公司
作者:黄汉禹
出品人:
页数:165 页
译者:
出版时间:2005年02月
价格:13.9
装帧:平装
isbn号码:9787532379163
丛书系列:
图书标签:
  • 高中数学
  • 上海课改
  • 第二学期
  • 高二数学
  • 同步辅导
  • 训练
  • 新教材
  • 习题集
  • 教辅
  • 平装
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具体描述

深入探索数之奥秘:一部面向未来的高等数学学习指南 本书旨在为对高等数学抱有浓厚兴趣,并渴望系统、深入理解其核心概念与应用的学生提供一套全面、严谨的学习资源。它不仅仅是一本知识的简单罗列,更是一部引导读者跨越基础,直抵数学前沿思想的阶梯。 第一部分:基础重塑与概念深化 本书的开篇着力于夯实读者在微积分、线性代数等基础学科中可能存在的薄弱环节。我们深知,高等数学的学习如同建筑高楼,地基的稳固性决定了上层结构的宏伟程度。 第一章:极限、连续性与微积分的哲学基石 本章深入探讨了极限的 $epsilon-delta$ 定义的严谨性,并将其作为理解函数连续性、可微性的出发点。我们不仅仅停留在计算层面,更着重剖析了“无限小”和“无限大”在现代数学中的精确含义。针对实际应用中常见的病态函数(如狄利克雷函数),我们进行了详尽的分析,展示了传统直觉在面对数学严谨性时的局限性。此外,还引入了广义函数(Schwartz分布)的初步概念,作为理解傅里叶分析等高级主题的铺垫,尽管其完整的理论体系将在后续章节展开。 第二章:多变量微积分的几何直觉 从单变量函数过渡到多变量函数,难度和复杂度骤增。本章的核心在于建立强大的空间想象力。我们详细阐述了偏导数、全微分与梯度向量之间的内在联系。梯度不仅被定义为变化率最大的方向,更被赋予了场论中的物理意义——例如电磁场中的势能梯度。曲面积分与通量的计算,通过高斯散度定理和斯托克斯定理的几何直观阐释,避免了纯粹的符号运算迷宫。我们特别引入了微分形式(Differential Forms)的初步思想,将曲面积分转化为对特定微分形式的积分,展现了数学语言的统一性。 第二部分:抽象结构的建立——线性代数的现代视角 本书对线性代数的处理,摒弃了传统的仅关注矩阵运算的机械化方法,而是聚焦于向量空间、线性变换的抽象结构。 第三章:向量空间与基的意义 我们从集合论的角度定义了向量空间,强调其满足的八条基本公理。本章的核心议题是“基”与“维数”。通过研究同构(Isomorphism)的概念,读者将理解,无论一个向量空间看起来多么复杂(例如由多项式、矩阵或函数构成的空间),只要其维数相同,它们在代数结构上是等价的。我们将重点讨论无限维向量空间(如希尔伯特空间)的初步概念,为泛函分析的理解打下基础。 第四章:特征值、对角化与动力系统的稳定性 特征值问题被置于线性动力系统的背景下进行深入探讨。我们不仅教授如何计算特征值和特征向量,更侧重于分析它们对系统演化的长期行为的影响。例如,在二阶常微分方程组中,鞍点、结点、中心点等相图的拓扑结构,直接由矩阵的特征值决定。对于非对称矩阵,我们将引入奇异值分解(SVD),强调其在数据降维(如主成分分析PCA)中的核心地位,这比简单的对角化更具普适性。 第三部分:序列、级数与收敛性的严谨检验 本部分是高等数学的“精度控制中心”,处理无穷过程的有效性问题。 第五章:函数序列与一致收敛 逐点收敛(Pointwise Convergence)的局限性在本章被充分暴露。我们花费大量篇幅解释一致收敛(Uniform Convergence)的重要性,特别是在交换极限与积分、极限与导数运算时。巴拿赫不动点定理(Banach Fixed-Point Theorem)作为一致收敛性的重要应用实例,被用来证明常微分方程解的存在性与唯一性。 第六章:幂级数、泰勒展开与函数逼近 幂级数不仅是求和工具,更是函数表示的“万能语言”。本章详细剖析了收敛半径的确定,以及如何利用拉格朗日余项来精确估计泰勒展开的误差。傅里叶级数作为三角函数的完备正交基展开,被视为广义傅里叶变换的起点,我们从狄利克雷条件的角度探讨了其收敛性,特别是勒贝格积分背景下的收敛性质。 第四部分:从积分到积分——测度论的萌芽 为了真正理解高等数学中的积分概念,必须超越黎曼积分的局限。 第七章:黎曼积分的缺陷与勒贝格积分的引入 本章首先通过构造一个黎曼积分不存在的函数(如狄利克雷函数在$mathbb{R}$上的推广),引出对积分理论的深刻反思。随后,我们引入测度(Measure)的概念,从“长度”到“面积”,再到更高维度的推广。勒贝格积分通过“值域分割”而非“定义域分割”的创新思路,极大地拓宽了可积函数的范围,并保证了积分运算在极限操作下的良好性质(如单调收敛定理和有界收敛定理)。虽然不涉及测度论的全部复杂性,但本章提供了理解现代分析学框架的必要视角。 结论:数学思想的融会贯通 全书的最终目标是培养读者将不同数学分支融会贯通的能力。从线性代数中对空间的抽象描述,到微积分中对变化的精确捕捉,再到分析学中对无穷过程的严格控制,本书力求展示数学作为一个有机整体的内在美感和强大的解决问题的能力。学习者在完成本书的学习后,将能以更深刻的洞察力面对更复杂的数学和科学挑战。

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读后感

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用户评价

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说句实在话,市面上很多所谓的“新教材辅导”读物,其实只是简单地给课本内容做了换汤不换药的解释,或者仅仅是堆砌了大量近几年的模拟题,缺乏系统性和针对性。然而,这本书给我的感觉完全不同,它似乎是紧密贴合了上海新课改的精神在组织内容。比如,在概率与统计这一章,它对随机性、数据分析的理解和应用层面的考察,明显比传统的教材要深入和贴近实际生活。它没有把这些内容当成孤立的计算题来处理,而是引导学生去思考如何用数学工具解决实际问题。这种注重“素养”的培养,而非单纯的“刷题”导向,是这本书最让我欣赏的地方。它让我明白,高中的数学学习,不仅仅是为了应付考试,更是为了培养一种严谨的逻辑思维模式,为未来学习更深层次的科学知识打下坚实的基础。这本书无疑是实现这一目标的有力助手。

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我是一名数学爱好者,对高等数学的一些概念也有所涉猎,但这本高二下册的辅导书,依然给我带来了不少启发。它对一些看似简单的定理的阐述,却蕴含着深刻的数学思想。比如在解析几何那一块,它没有停留在公式的简单套用上,而是深入探讨了向量法、参数方程法在解决轨迹问题时的优势与局限性,这种横向和纵向的对比分析,极大地拓宽了读者的解题视野。很多时候,我们学习数学是被动地记住公式,但这本书却在引导我们去“理解”公式是如何被构造出来的。它的文字表述风格非常严谨,但又不失清晰流畅,阅读起来并不枯燥。我尤其欣赏它在章节末尾设置的“思维导图”或“知识网络图”,能让人在短时间内快速回顾和梳理本章的知识结构,对于考前复习效率的提升有显著作用。总体来说,它更像是一位耐心细致的数学导师,而不是冷冰冰的题库。

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这本书的封面设计得相当朴实,没有太多花哨的装饰,给人的第一感觉就是“专业”和“务实”。我拿到手的时候,特意翻了翻目录,发现它的章节编排逻辑非常清晰,从基础概念的引入到复杂问题的剖析,循序渐进,完全符合高中阶段学生的学习认知规律。特别是对于那些基础相对薄弱的同学来说,这本书的例题解析部分简直就是雪中送炭。它不仅仅给出了最终答案,更重要的是,它详细拆解了每一步的思考路径,每一步的依据,甚至连一些容易出错的“陷阱”都用不同的颜色或符号做了标记,这一点非常人性化。我感觉作者在编写时,确实是站在一线教师的角度去考虑如何才能真正帮助学生扫清学习障碍。那些习题的难度梯度也设置得恰到好处,从基础巩固到拔高提升,覆盖面很广,足以应对期中、期末乃至更重要的选拔性考试。说实话,很多教辅资料堆砌了很多难题,反而让人抓不住重点,但这本书的重点非常明确,就是围绕课本核心知识点进行深度拓展和强化训练。

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对于我们这些常年和教辅资料打交道的人来说,一本好的辅导书,试题的质量是决定成败的关键。这本书在这方面做得非常出色。它的题目来源似乎经过了精心的筛选和优化,避免了大量重复和低效的练习。我注意到,很多题目都巧妙地融合了不同模块的知识点,比如将立体几何中的空间关系与向量运算结合起来,或者将数列与函数性质进行综合考察。这种跨章节的整合性题目,正是当前高考命题改革所侧重的方向。更重要的是,书中的例题和课后练习,它的“迷惑性”处理得非常好。很多题目乍一看似乎有多种解法,但深入分析后会发现,只有某一种方法才是最快捷、最符合逻辑的,这本书就在潜移默化中训练我们选择最优路径的能力。如果说课本是基础的砖瓦,那么这本辅导书就是精妙的建筑蓝图,指导我们如何搭建出坚固且美观的数学知识大厦。

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坦白讲,我刚开始对这本平装书的耐用性有点担忧,毕竟高中的学习强度很大,书本翻阅频率非常高。但拿到实物后发现,装订质量比预想中要好很多,纸张的选择也比较适中,不至于反光过度影响阅读,而且墨水浓淡均匀,长时间阅读下来眼睛不容易疲劳。从使用的体验感上来说,这本书是加分的。另外,这本书在对“错题分析”这方面的设计也值得称赞。它不是简单地提供一个“标准答案”,而是会用不同的笔迹或标注方式,去模拟学生可能犯的典型错误,然后针对性地给出纠错建议。这种“预判式”的指导,比事后弥补要有效得多。它让我意识到,学习数学,有时比做对一道题更重要的是,知道自己错在哪里,并且知道如何避免下一次犯同样的错误。这本书成功地将理论学习和实践应用紧密地结合了起来。

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