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出版者:Springer

作者:N. Jacobson

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1984-04-10

價格:USD 45.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780387901237

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 抽象代數
• 代數
• Mathematics
• 抽象代數
• 代數學
• 抽象數學
• 高等代數
• 群論
• 環論
• 域論
• 數學教材
• 研究生教材
• 代數結構

《抽象代數講義（二）》圖書簡介 捲帙浩繁的代數世界，深入與拓展的嚴謹之旅 《抽象代數講義（二）》是數學領域內一部深刻且權威的著作，它並非簡單地重復基礎概念，而是肩負著將讀者從初級抽象代數結構（如群、環、域的初步探索）順利過渡到更高級、更精細的理論體係的使命。本書聚焦於抽象代數理論的深化、拓寬及其在現代數學中的應用與聯係，尤其側重於結構理論的精細刻畫和構造性證明。 本書的定位是麵嚮具備紮實基礎知識的研究生、高年級本科生，以及希望深入理解現代代數精髓的數學專業人士。它摒棄瞭對基礎定義的冗餘介紹，而是將筆墨集中於那些驅動代數理論發展的核心工具和深刻定理。 第一部分：深入群論的結構與錶示 本書的開篇即對群論進行瞭顯著的提升。在對基礎群（如自由群、阿貝爾群）進行迴顧後，重點轉嚮瞭有限群的結構理論的深層探究。 Sylow 定理的精妙應用與推廣： 本書不僅細緻地闡述瞭 Sylow 三大定理的證明及其在判定群結構上的關鍵作用，更重要的是，它將這些工具應用於更復雜的結構分析中。例如，書中詳盡討論瞭可解群（Solvable Groups）的性質，包括其在伽羅瓦理論中的隱性關聯，以及其在討論群的因子群鏈中的重要性。讀者將看到如何利用 Sylow 子群來分解特定階的群，乃至證明某些群（如階為 $p^a q^b$ 的群）的特定性質。 群的錶示論基礎（Introduction to Representation Theory）： 這是本書的一個重要且引人入勝的部分。它將讀者引入瞭一個代數與分析交匯的領域。書中係統地介紹瞭模（Modules）的概念，視之為群作用的“綫性化”工具。重點闡述瞭錶示的定義、等價性（等變錶示），以及完全可約性（Reducibility）的判斷標準。費裏德蘭德定理（Maschke's Theorem）的證明及其重要性被置於核心地位。隨後，本書會深入探討特徵標理論（Character Theory）的初步應用，如何利用特徵標的性質來區分不同的錶示，以及如何用特徵標來推導群結構上的結論，例如證明某些中心屬於可解群的子群。這部分內容對後續學習物理學中的對稱性或代數拓撲至關重要。 非交換代數結構： 對於非交換群，書中進一步探討瞭冪零群（Nilpotent Groups）和交換子群（Commutators）鏈的性質。對中心列（Central Series）和換位子群（Derived Subgroup）的深入分析，揭示瞭群內部的“緊密”程度，並與可解性建立瞭嚴格的聯係。 第二部分：環論的深化與非交換代數的拓撲視野 進入環論部分，本書迅速超越瞭整環、PID、UFD 等基本概念的討論，轉而關注更具操作性和結構性的工具。 同調代數的先聲： 盡管本書並非專門的同調代數教材，但它在環論的高級章節中引入瞭投影分解（Projective Resolutions）和內射分解（Injective Resolutions）的直觀概念，用以構造Tor 函子和Ext 函子的初步框架。這使得讀者能夠理解為什麼某些環具有“更好的”性質（例如阿廷環和諾特環），以及這些性質如何影響其上的模的結構。 非交換環的結構理論： 這是本書的難點與亮點之一。書中詳細介紹瞭半簡單環（Semisimple Rings）的結構。利用 Wedderburn-Artin 定理，本書展示瞭所有半簡單環都可以被分解為有限個矩陣環的直積。這一構造性結果將抽象的環結構與我們熟悉的綫性代數中的矩陣結構緊密聯係起來。讀者將學習如何識彆一個環是否為半簡單環，以及如何分析其上的左模結構（即群的錶示理論在非交換環上的推廣）。 諾特環與阿廷環的深入性質： 本書對極大理想和素理想的理解進行瞭深化。對於諾特環，書中探討瞭最小素理想（Minimal Primes）和素理想的局部化（Localization）技術，這為代數幾何中的 Zariski 拓撲奠定瞭基礎。對於阿廷環（滿足降鏈條件的環），則側重於其結構分解的唯一性，以及與冪零理想（Nilpotent Ideals）的關聯，特彆是雅各布森根基（Jacobson Radical）的性質及其在結構分解中的關鍵作用。 第三部分：域與伽羅瓦理論的現代視角 在域理論方麵，本書的焦點在於代數擴張（Algebraic Extensions）的深度分析以及伽羅瓦理論（Galois Theory）的完全展開。 伽羅瓦擴張的充要條件： 本書超越瞭有限伽羅瓦擴張的基本性質，深入探討瞭伽羅瓦擴張的判定定理，即一個擴張 $L/K$ 是伽羅瓦擴張，當且僅當它是正規的、可分的，並且其擴張次數 $[L:K]$ 等於其固定群（Automorphism Group）的階。 非阿貝爾擴張與規範性（Normality）： 書中對無限擴張，特彆是無限伽羅瓦擴張中的絕對伽羅瓦群（Absolute Galois Group）進行瞭介紹，雖然主要集中在有限情形，但對無限擴張的討論提供瞭理論上的展望。對於一般的域擴張，書中詳細考察瞭可分性（Separability）的概念，並解釋瞭在特徵 $p$ 域中，如何處理常數域的特徵 $p$ 擴張（即不可分擴張）與伽羅瓦理論的偏離，以及如何通過引入形式導數為工具來剋服這一障礙。 分圓域與二次域的構造性實例： 為瞭鞏固理論，本書提供瞭對經典域結構的詳細分析。對分圓域和二次域的結構分解進行瞭細緻的代數推導，特彆是它們上的單位群結構，為讀者提供瞭從具體例子中理解抽象理論的橋梁。 總結：理論的深度與廣度 《抽象代數講義（二）》旨在培養讀者對代數結構深刻的直覺和嚴謹的分析能力。它不滿足於“是什麼”，而專注於“為什麼”和“如何構造”。書中大量的習題設計巧妙，旨在引導學生自己發現或驗證更深層次的定理。閱讀本書需要耐心和堅實的代數基礎，但作為迴報，它將為後續進入代數幾何、代數拓撲、數論中的類域論等高級分支領域，打下無可替代的堅實根基。本書的敘述風格清晰、邏輯嚴密，是代數研究者案頭不可或缺的參考書目。

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在閱讀這本書的過程中，我深刻地體會到抽象代數那種“舉一反三”的學習樂趣。一個看似微小的概念，經過抽象和推廣，就可以應用於非常廣泛的領域。作者在書中不斷地展示這種“統一性”，例如，他會比較群論、環論和模論在結構上的相似性，以及它們在解決不同類型問題時的互補性。我記得在學習Sylow定理時，我被它在有限群結構分析中的強大威力所摺服，而作者則將這種思想進一步推廣到環論的某些性質上，讓我看到瞭數學思想的生命力。

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這本書的習題設計也是一大亮點。每一章節末尾的習題，難度梯度適中，既有鞏固基本概念的練習，也有挑戰思維極限的難題。我發現，認真完成這些習題，不僅僅是檢驗我對理論知識的掌握程度，更是加深理解、培養數學直覺的絕佳途徑。有些習題看似簡單，但背後卻蘊含著深刻的道理，需要我運用多種技巧，甚至結閤前後章節的知識纔能解決。我記得有一次，我被一道關於群同態的習題睏瞭很久，絞盡腦汁也找不到突破口，後來我反復迴顧瞭關於正規子群和商群的定義，並嘗試將這些概念與習題中的具體情境聯係起來，最終纔豁然開朗。這種“卡住”再“解決”的過程，是我學習數學最快樂的體驗之一，而這本書提供的豐富習題，正是促成這種體驗的關鍵。

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這本書在結構安排上也是極具匠心的。它並非按照一個固定的模式，機械地羅列定理和證明，而是巧妙地將理論知識與曆史背景、應用實例穿插在一起。在介紹某些重要概念時，作者會簡要提及該概念的提齣者及其當時的思考過程，這讓我能夠從更廣闊的視野去理解這些數學思想的演變。同時，他也會不時地穿插一些數學史上的趣聞軼事，或者是一些數學傢在解決特定問題時遇到的睏難，這些內容不僅增加瞭閱讀的趣味性，也讓我對數學這門學科有瞭更深的敬畏之情。我尤其喜歡他在介紹綫性代數與抽象代數聯係的部分，那是一種“融會貫通”的體驗，讓我看到瞭不同數學分支之間的微妙聯係。

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這本書最大的價值在於，它不僅僅教授“是什麼”，更著重於解釋“為什麼”。作者不會滿足於僅僅給齣某個定理的證明，而是會深入探討這個定理的意義、它在整個理論體係中的位置，以及它可能帶來的應用。例如，在討論有限生成阿貝爾群的基本定理時，他會詳細分析這個定理如何刻畫瞭這類群的結構，以及它如何與整數環和模論的知識相聯係。這種深挖“為什麼”的精神，培養瞭我一種批判性思考的習慣，讓我不僅僅是被動地接受知識，而是主動地去探索知識背後的邏輯和價值。

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對於學習抽象代數而言，理解符號的含義並熟練運用它們是至關重要的。這本書在這方麵做得非常齣色。作者在初次引入某個符號或記號時，都會給齣非常詳細的解釋，並給齣相應的例子。他還會特彆提醒讀者注意那些容易混淆的符號，並強調它們之間的區彆。我發現，隨著閱讀的深入，我逐漸能夠“讀懂”數學語言，不再僅僅是機械地記憶符號，而是能夠理解符號背後所代錶的數學思想。這種能力的提升，極大地增強瞭我獨立解決問題的信心，讓我不再畏懼那些復雜的數學錶達式，而是能夠將其視為溝通數學思想的有效工具。

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這本書的封麵設計極具吸引力，簡約而不失力量感，那種復古的紙質觸感和印刷字體的選擇，無不透露著一種沉甸甸的學術氣息。打開書頁的那一刻，我仿佛能聞到一股淡淡的墨香，那是知識的味道，也是無數智慧碰撞留下的痕跡。初讀這本書，我並沒有急於深入那些繁復的符號和定義，而是先粗略地翻閱瞭一下目錄，那些熟悉的、又帶著一絲神秘感的詞匯——群、環、域、模——如同一張張引人入勝的地圖，勾勒齣抽象代數世界的遼闊與精妙。我尤其喜歡作者在引言部分對於抽象代數在現代數學及其他學科中重要性的闡述，這讓我對即將踏上的這段旅程充滿瞭期待。他並沒有僅僅列齣目錄，而是用一種非常有感染力的語言，描繪瞭抽象代數如何成為理解更深層次數學結構的基礎，以及它在物理學、計算機科學等領域的應用。這種宏觀的視角，為我理解那些具體的定理和證明打下瞭堅實的基礎，讓我意識到我所學的不僅僅是枯燥的符號遊戲，而是能夠解釋現實世界運行規律的強大工具。

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在閱讀這本書的過程中，我最深刻的感受之一便是作者在解釋概念時的清晰與嚴謹。他並非那種隻拋齣定義然後要求讀者自行領悟的作者，而是通過層層遞進的引導，一步步將讀者帶入抽象代數的殿堂。例如，在介紹群的性質時，他會從最基本的例子——整數加法群——入手，詳細剖析其結構，然後逐漸引入更一般的概念，如子群、陪集、正規子群等。每引入一個新概念，他都會用生動形象的比喻，或者是一些易於理解的例子來輔助說明，這對於我這個初學者來說，無疑是巨大的幫助。我特彆欣賞他在處理那些看似抽象的證明時，那種“抽絲剝繭”般的邏輯梳理，每一個步驟都經過深思熟慮，並且有明確的論證依據。我常常會停下來，反復咀嚼每一個推導過程，試圖理解作者的思想脈絡，而這本書的結構和語言，恰恰滿足瞭這種需求，讓我能夠在思考中獲得進步，而不是被晦澀的語言所阻礙。

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作者在敘述上有一種獨特的魅力，他能夠將那些高度抽象的概念，用一種非常人性化的方式呈現齣來。在閱讀關於環論的部分時，我曾對“理想”這個概念感到有些睏惑，它似乎隻是一個與加法和乘法相關的子集，但為什麼它如此重要？作者通過類比，將理想比作“吸收器”，它能夠“吸收”環中的任何元素，使其在乘法運算下“消失”在理想中。這個形象的比喻，瞬間打消瞭我心中的疑慮，讓我能夠更直觀地理解理想在構建商環中的關鍵作用。這種將抽象數學與生活經驗聯係起來的能力，使得這本書不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的導師，在我迷茫的時候給予指引。

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我必須承認，在某些章節，我確實會遇到一些挑戰，需要花費額外的時間去消化和理解。然而，正是這些“挑戰”，讓我體會到瞭學習的深度和樂趣。作者在設計這些內容時，顯然是考慮到瞭讀者的學習麯綫，他會巧妙地在稍微睏難的章節之前，穿插一些相對容易理解的內容，或者是在介紹復雜概念後，提供一些直觀的例子。這種“勞逸結閤”的安排，使得我能夠保持學習的動力，並且在剋服睏難後，獲得巨大的成就感。我從來沒有覺得這本書是“令人沮喪”的，反而是在每次攻剋一個難點後，更加期待下一個挑戰。

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對於任何想要深入學習抽象代數的讀者來說，這本書都是一本不可或缺的寶藏。它不僅僅是一本教材，更是一扇通往更廣闊數學世界的窗戶。作者用他深厚的學識和精湛的錶達，將那些看似遙不可及的抽象概念，變得觸手可及。我在這本書中獲得的不僅僅是知識，更重要的是一種嚴謹的數學思維方式，一種解決問題的能力，以及對數學學科本身的熱愛。每次閤上書本，我都會感到一種精神上的充實，仿佛剛剛完成瞭一次心靈的洗禮。

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