《數學分析原理(第二捲)(第9版)》
《俄羅斯數學教材選譯》序
第十五章數項級數 1
x1. 導引 1
234. 基本概念 1
235. 簡單定理 3
x2. 正項級數的收斂性 5
236. 正項級數收斂性條件 5
237. 級數比較定理 7
238. 例 8
239. 柯西檢驗法及達朗貝爾檢驗法 10
240. 拉比檢驗法 12
241. 麥剋勞林{ 柯西積分檢驗法 14
x3. 任意級數的收斂性 16
242. 收斂性原理 16
243. 絕對收斂性 17
244. 交錯級數 19
x4. 收斂級數的性質 21
245. 可結閤性 21
246. 絕對收斂級數的可交換性 22
.247. 非絕對收斂級數的情形 23
248. 級數乘法 25
x5. 無窮乘積 28
249. 基本概念 28
250. 簡單定理 與級數的關係 29
251. 例 31
x6. 初等函數的冪級數展開式 33
252. 泰勒級數 33
253. 指數函數及主要三角函數的級數展開式 35
254. 歐拉公式 36
255. 反正切的展開式 38
256. 對數級數 38
257. 斯特林公式 40
258. 二項式級數 41
259. 關於餘項研究的一個箋注 42
x7. 用級數作近似計算 43
260. 問題的提齣 43
261. 的計算 44
262. 對數的計算 46
第十六章函數序列及函數級數 48
x1. 一緻收斂性 48
263. 導言 48
264. 一緻收斂性及非一緻收斂性 49
265. 一緻收斂性條件 52
x2. 級數和的函數性質 54
266. 級數和的連續性 54
267. 正項級數的情形 55
268. 逐項取極限 57
269. 級數的逐項積分 58
270. 級數的逐項微分 61
271. 不可導連續函數一例 62
x3. 冪級數及多項式級數 64
272. 冪級數收斂區間 64
273. 冪級數和的連續性 66
274. 收斂區間端點上的連續性 67
275. 冪級數的逐項積分 69
276. 冪級數的逐項微分 70
277. 冪級數作為泰勒級數 72
278. 連續函數展為多項式級數 72
x4. 級數簡史 75
279. 牛頓及萊布尼茨時期 75
280. 級數理論的形式發展時期 77
281. 嚴密理論的建立 79
第十七章反常積分 81
x1. 帶無限積分限的反常積分 81
282. 帶無限積分限的積分定義 81
283. 積分學基本公式的應用 82
284. 與級數的相似性 簡單定理 84
285. 正函數情形的積分收斂性 85
286. 一般情形的積分收斂性 86
287. 更精緻的檢驗法 87
x2. 無界函數的反常積分 90
288. 無界函數積分定義 90
289. 積分學基本公式的應用 91
290. 積分收斂性條件及檢驗法 92
x3. 反常積分的變換及計算 94
291. 反常積分的分部積分法 94
292. 反常積分中的變量替換 95
293. 積分的技巧計算法 96
第十八章帶參變量的積分 100
x1. 基本理論 100
294. 問題的提齣 100
295. 一緻趨於極限函數 100
296. 積分號下取極限 102
297. 積分號下的微分法 103
298. 積分號下的積分法 105
299. 積分限帶參變量的情形 106
300. 例 108
x2. 積分的一緻收斂性 108
301. 積分一緻收斂性定義 108
302. 一緻收斂性的條件及充分檢驗法 110
303. 帶有限積分限的積分 112
x3. 積分一緻收斂性的應用 113
304. 積分號下取極限 113
305. 積分依參變量的積分法 116
306. 積分依參變量的微分法 117
307. 關於帶有限積分限的積分的一個箋注 118
308. 一些反常積分的計算 118
x4. 歐拉積分 123
309. 第一類歐拉積分 123
310. 第二類歐拉積分 124
311. 函數的簡單性質 125
312. 例 129
313. 關於兩個極限運算次序對調的史話 130
第十九章隱函數 函數行列式 133
x1. 隱函數 133
314. 一元隱函數概念 133
315. 隱函數的存在及性質 135
316. 多元隱函數 138
317. 由方程組確定的隱函數 139
318. 隱函數導數的計算 143
x2. 隱函數理論的一些應用 147
319. 相對極值 147
320. 拉格朗日不定乘數法 149
321. 例及習題 150
322. 函數獨立性概念 152
323. 函數矩陣的秩 153
x3. 函數行列式及其形式的性質 156
324. 函數行列式 156
325. 函數行列式的乘法 157
326. 函數矩陣的乘法 159
第二十章綫積分 162
x1. 第一型綫積分 162
327. 第一型綫積分 162
328. 化為尋常定積分 164
329. 例 165
x2. 第二型綫積分 167
330. 第二型綫積分定義 167
331. 第二型綫積分的存在及其計算 169
332. 閉路的情形 平麵的定嚮法 171
333. 例 172
334. 兩種類型綫積分間的關係 174
335. 在物理問題上的應用 175
第二十一章二重積分 178
x1. 二重積分定義及簡單性質 178
336. 柱體體積問題 178
337. 化二重積分為纍次積分 179
338. 二重積分定義 181
339. 二重積分存在條件 182
340. 可積函數類 183
341. 可積函數及二重積分的性質 185
342. 積分作為可加性區域函數 對區域的微分法 187
x2. 二重積分的計算 189
343. 化矩形區域上的二重積分為纍次積分 189
344. 化麯綫區域上二重積分為纍次積分 192
345. 力學上的應用 197
x3. 格林公式 200
346. 格林公式的推導 200
347. 以綫積分錶示麵積 202
x4. 綫積分與積分道路無關的條件 203
348. 沿簡單閉界綫的積分 203
349. 沿聯結任意兩點的麯綫的積分 205
350. 與恰當微分問題的聯係 207
351. 在物理問題上的應用 209
x5. 二重積分的變量替換 211
352. 平麵區域的變換 211
353. 以麯綫坐標錶示麵積 214
354. 補充說明 217
355. 幾何的推導法 218
356. 二重積分中的變量替換 220
357. 與單積分的相似 定嚮區域上的積分 222
358. 例 222
359. 史話 225
第二十二章麯麵麵積 麵積分 227
x1. 雙側麯麵 227
360. 麯麵的參變錶示法 227
361. 麯麵的側 230
362. 麯麵的定嚮法及其側的選定 232
363. 逐段光滑麯麵的情形 234
x2. 麯麵麵積 235
364. 施瓦茨的例 235
365. 顯式方程所給麯麵的麵積 236
366. 一般情形的麯麵麵積 238
367. 例 240
x3. 第一型麵積分 242
368. 第一型麵積分定義 242
369. 化為尋常二重積分 242
370. 第一型麵積分在力學上的應用 244
x4. 第二型麵積分 247
371. 第二型麵積分定義 247
372. 化為尋常二重積分 248
373. 斯托剋斯公式 250
374. 斯托剋斯積分應用於空間綫積分的研究 253
第二十三章三重積分 256
x1. 三重積分及其計算 256
375. 立體質量計算問題 256
376. 三重積分及其存在條件 257
377. 可積分函數及三重積分的性質 258
378. 三重積分的計算 259
379. 力學上的應用 262
x2. 奧斯特羅格拉茨基公式 264
380. 奧斯特羅格拉茨基公式 264
381. 奧斯特羅格拉茨基公式的幾個應用實例 266
x3. 三重積分變量替換 269
382. 空間區域的變換 269
383. 體積錶示為麯綫坐標 271
384. 幾何的推導法 274
385. 三重積分的變量替換 275
386. 例 276
387. 史話 278
x4. 場論初步 278
388. 數量與嚮量 278
389. 數量場與嚮量場 279
390. 沿給定方嚮的導數 梯度 280
391. 通過麯麵的嚮量流量 282
392. 奧斯特羅格拉茨基公式 散度 283
393. 嚮量的循環量 斯托剋斯公式 鏇度 284
x5. 多重積分 286
394. m 維體的體積與m 重積分 286
395. 例 288
第二十四章傅裏葉級數 290
x1. 導言 290
396. 周期量與調和分析 290
397. 決定係數的歐拉{ 傅裏葉方法 292
398. 正交函數係 294
x2. 函數的傅裏葉級數展開式 296
399. 問題的提齣 狄利剋雷積分 296
400. 基本引理 298
401. 局部化原理 299
402. 函數的傅裏葉級數錶示法 300
403. 非周期函數的情形 301
404. 任意區間的情形 303
405. 隻含餘弦或隻含正弦的展開式 304
406. 例 306
407. 連續函數展開為三角多項式級數 310
x3. 傅裏葉積分 312
408. 傅裏葉積分作為傅裏葉級數的極限情形 312
409. 預備說明 313
410. 用傅裏葉積分錶示函數 314
411. 傅裏葉公式的種種形式 315
412. 傅裏葉變換 317
x4. 三角函數係的封閉性與完備性 319
413. 函數的平均近似 傅裏葉級數段的極值性質 319
414. 三角函數係的封閉性 321
415. 三角函數係的完備性 324
416. 廣義封閉性方程 325
417. 傅裏葉級數的逐項積分 326
418. 幾何的解釋 327
x5. 三角級數簡史 331
419. 弦振動問題 331
420. 達朗貝爾及歐拉的解法 332
421. 泰勒及丹尼爾 伯努利的解法 333
422. 關於弦振動問題的爭論 336
423. 函數的三角展開式 係數的決定 337
424. 傅裏葉級數收斂性證明及其他問題 338
425. 結尾語 339
附錄數學分析進一步發展概況 341
i. 微分方程 341
ii. 變分法 342
iii. 復變函數論 345
iv. 積分方程論 347
v. 實變函數論 349
vi. 泛函分析 352
索引 357
· · · · · · (收起)