高等数理统计

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出版者:北京大学
作者:苏良军
出品人:
页数:309
译者:
出版时间:2007-9
价格:38.00元
装帧:
isbn号码:9787301123119
丛书系列:21世纪经济学研究生规划教材
图书标签:
  • 统计
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具体描述

本书是为国内众多商学院与经济管理学院的统计学、经济、金融、管理等专业的研究生与统计工作者精心编写的统计教科书。本书结合国内外统计系、经济系与商学院研究生数理统计教育的现状,系统性地介绍现代统计的基础理论与基本方法,充分反映当代统计的发展,力求做到理论与实际的结合。本书既可作为统计、计量经济及相关专业的教科书,又可作为统计与计量经济工作者必备的理论参考书。

本书包括十五章与一个附录。前三章重点介绍现代统计所需的概率理论、分布理论与渐进理论,第4章介绍现代统计的数据降维思想。第5章到第8章介绍现代统计的各种估计理论,依次包括极大似然估计、准极大似然估计、矩估计与广义矩估计、贝叶斯估计。第9章到第11章介绍现代统计的假设检验理论,依次包括假设检验的基本理论、参数模型检验、非参数模型检验。第12章介绍区间估计的基本理论,第13章介绍方差分析,第14章介绍回归分析的基本理论,第15章介绍回归分析的高级理论与应用(包括结构突变的检验、分块回归、多重共线性、广义最小二乘估计、异方差、工具变量估计等)。我们在附录里简单介绍了本书所需要的矩阵知识。

《概率论与数理统计基础》:探寻数据背后的规律 第一章:概率论的基本概念与公理化体系 本章旨在为读者构建一个严谨、系统的概率论基础框架。我们将从描述随机现象的本质入手,介绍随机事件的概念、样本空间及其代数结构。核心内容将聚焦于概率的公理化定义,即柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)的三大公理,这是理解和计算概率的理论基石。在此基础上,我们将深入探讨条件概率和独立性,并通过贝叶斯公式(Bayes' Theorem)展示如何根据新信息修正先验概率,理解其在推理中的重要作用。此外,我们还会详细阐述计数原理(排列与组合),为计算复杂事件的概率提供实用的工具。本章的讲解力求清晰,将抽象的概率概念与实际的例子相结合,确保读者能够扎实掌握概率论的思维方式。 第二章:随机变量及其重要的分布 概率论的核心对象是随机变量。本章将分类介绍离散型随机变量和连续型随机变量,并分别阐述其概率分布函数(PMF)和概率密度函数(PDF)。我们将详尽分析一系列在统计学和工程领域中扮演关键角色的重要分布: 离散分布: 伯努利(Bernoulli)分布、二项(Binomial)分布、泊松(Poisson)分布,以及几何分布和超几何分布。我们将探究这些分布的参数意义、期望值和方差的计算方法。 连续分布: 均匀(Uniform)分布、指数(Exponential)分布,以及至关重要的正态(Normal/Gaussian)分布。正态分布因其在中心极限定理中的核心地位,将获得最详细的论述,包括标准正态分布表的查阅与应用。 本章的难点在于多维随机变量。我们将引入联合分布、边际分布的概念,并深入分析随机变量的相互独立性与协方差(Covariance),用相关系数来衡量变量间的线性关系强度。同时,也将探讨随机变量函数的分布——矩生成函数(Moment Generating Function, MGF)和特征函数(Characteristic Function)作为分析工具的优越性。 第三章:大数定律与中心极限定理 这是连接理论概率与实际统计推断的桥梁。本章首先介绍依概率收敛(Convergence in Probability)和几乎必然收敛(Almost Sure Convergence)等不同的收敛概念。随后,我们将严格证明并深入探讨大数定律(Law of Large Numbers, LLN),包括弱大数定律和强大数定律,阐明了样本均值为何能稳定地趋近于总体期望这一基本统计学原理。 随后,我们将进入统计学理论的“圣杯”——中心极限定理(Central Limit Theorem, CLT)。CLT说明了无论原始总体分布如何,只要样本量足够大,样本均值的分布将近似于正态分布。本章将详细分析CLT的应用范围、收敛速度,并解释其为何是进行统计推断(如置信区间和假设检验)的理论基础。 第四章:数理统计学基础——统计量与抽样分布 从概率论过渡到数理统计,我们开始关注如何从样本数据中提取信息。本章首先定义了统计量(Statistic)的概念,它是关于样本的函数,本身不依赖于未知参数。我们将重点分析几个核心的经验统计量,例如样本均值 ($ar{X}$) 和样本方差 ($S^2$)。 接下来是数理统计的核心内容之一:抽样分布。我们将详细推导并分析基于正态分布的几个关键抽样分布:卡方 ($chi^2$) 分布、Student's t 分布、F 分布(Fisher-Snedecor 分布)及其相互关系。理解这些分布的来源和特性,是后续进行参数估计和假设检验的先决条件。本章将通过严格的数学推导,确保读者理解这些分布的生成机制。 第五章:参数估计的原理与方法 参数估计是数理统计学的核心任务之一,目标是用样本信息来估计未知的总体参数 $ heta$。本章将系统介绍估计量的良好性质:无偏性(Unbiasedness)、有效性(Efficiency,通常通过最小方差无偏估计 MVUE 来衡量)以及一致性(Consistency)。 随后,我们将深入探讨两大主流估计方法: 1. 矩估计法(Method of Moments, MOM): 基于样本矩与总体矩相等的基本思想,提供了一种构造估计量的直观方法。 2. 极大似然估计法(Maximum Likelihood Estimation, MLE): 这是应用最广泛的方法。本章将详细解释似然函数(Likelihood Function)的构建、如何通过求导找到最大似然估计量,并探讨MLE的渐近性质,如渐近正态性和渐近有效性。 最后,本章将引入估计的优劣评价标准,特别是Cramér-Rao下界(Cramér-Rao Lower Bound, CRLB),用以衡量估计量的精度极限。 第六章:区间估计与假设检验的理论基础 区间估计(置信区间): 估计不应仅仅是一个点值。本章讲解如何根据估计量(如样本均值)的抽样分布,构建一个包含真实参数的可信区间,并深入解释置信水平(Confidence Level)的统计学含义。我们将针对总体均值、总体比例和总体方差,推导出在不同假设条件下(总体方差已知/未知)的精确置信区间。 假设检验的框架: 假设检验提供了一种形式化的决策流程。本章将界定原假设(Null Hypothesis, $H_0$)和备择假设(Alternative Hypothesis, $H_1$),定义检验统计量、显著性水平(Significance Level, $alpha$)、I 类错误和 II 类错误。我们将阐述最重要且最强大的工具——似然比检验(Likelihood Ratio Test, LRT)的构造原理,并说明其在检验中的理论地位。同时,也会引入检验的功效(Power of the Test)概念,它是衡量检验优劣的关键指标。本章强调的是决策的数学逻辑,而非简单的公式套用。 第七章:线性模型与方差分析导论 本章将视角转向多变量数据分析,介绍方差分析(Analysis of Variance, ANOVA)的基本思想。ANOVA 的核心在于将总变异分解为可归因于不同因素(因子)的组内变异和组间变异。 我们将首先分析单因素方差分析(One-way ANOVA),推导出其检验统计量服从 F 分布的理论依据。随后扩展至双因素方差分析(Two-way ANOVA),讨论因子间的交互作用(Interaction Effect)。本章将严格证明 ANOVA 的基础模型——线性回归模型中的误差项分布假设,并展示如何利用 F 检验来判断因子效应的显著性。这部分内容为后续学习更复杂的回归分析打下坚实的数理基础。 第八章:非参数统计学的初步探讨 在某些情况下,总体分布形式未知,或样本量过小,使得基于正态分布的参数检验不再适用。本章将介绍非参数统计学的应用场景和基本方法。我们将重点讨论基于秩次(Rank)的检验方法,例如: 符号检验(Sign Test) 与 Wilcoxon 符号秩检验(Signed-Rank Test):用于检验单个或两个相关样本的中心位置。 Mann-Whitney U 检验(秩和检验):用于检验两个独立样本的分布是否相同。 本章将分析这些非参数检验的统计功效与参数检验的功效进行比较,阐明其在适用性上的权衡,并展示如何评估这些基于分布的自由度(Distribution-free)方法的有效性。

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我曾经借阅过几本国外引进的统计学教材,那些书在排版和内容上往往追求极致的图文并茂,但总觉得在数学的“内功”上稍显不足。这本《高等数理统计》则完全是另一种风格——朴素、内敛,却力量十足。它的插图极少,几乎完全依赖于文字和公式来构建世界,这迫使读者必须集中注意力去理解符号背后的深层含义。这种“沉浸式”的学习体验,虽然初期略显吃力,但一旦适应,你就会发现自己的数学直觉得到了极大的锻炼。书中对指数分布族(Exponential Family)的介绍,是许多普通教材会一笔带过的地方,但它在这里却做了细致的铺陈,解释了为什么许多常见的分布都能归入这一族,这对于理解广义线性模型的统一性至关重要。读到后面关于非参数统计的部分,我感受到了作者的广博视野,他没有固步自封于经典的参数模型,而是将目光投向了更具适应性的现代统计方法,这让这本书的适用性和前瞻性大大增强。

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这本书给我带来的最大的震撼,在于它对“信息的衡量与利用”这一核心思想的贯穿。从信息熵的概念引入,到Fisher信息量的定义与性质,再到Cramér-Rao下界对估计精度的限制,整个逻辑链条是如此自然且扣人心弦。它告诉你,统计学的目标不仅仅是拟合数据,更是要以最有效的方式从有限的样本中榨取出关于母体的全部可能信息。书中的很多证明,特别是关于信息量与估计方差的联系,被阐述得极为清晰,它揭示了为什么在统计推断中我们会对“有效估计量”趋之若鹜。对于那些希望未来从事数据科学或量化金融研究的读者来说,这本书的理论深度是不可或缺的基石。它不仅仅是一本教科书,更像是一份严谨的学术宣言,宣告了数理统计在现代科学体系中不可动摇的地位。读完它,我不再惧怕那些复杂的公式,因为我已经理解了它们背后的“为什么”,这是任何“速成”资料都无法替代的宝贵财富。

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坦白讲,我是在一个比较迷茫的阶段接触到这本书的,当时我对那些混杂的检验方法和估计量早就头大如斗,总觉得它们是孤立的知识点,缺乏一个统一的框架来统摄。这本书的出现,就像一束强光打进了迷雾之中。它最令人称道之处,在于其对统计推断思想的贯彻——贝叶斯与频率学派的交锋与融合,在书中得到了非常克制而深刻的探讨。作者似乎并不急于让你记住一堆检验的名称,而是让你去思考“为什么我们需要这个检验?”以及“这个检验背后的假设是什么?”。在讲解假设检验那一节时,作者没有止步于P值的计算,而是花了大量篇幅去阐释I型错误和II型错误的权衡艺术,这才是统计思维的核心所在。书中对充分性、完备性这些抽象概念的阐述,也摆脱了纯粹的数学证明堆砌,而是结合了信息论的视角,让人豁然开朗。我甚至觉得,这本书更像是一部关于“科学决策”的哲学导论,只不过它的语言体系是数学的。对于那些希望不仅仅是“会用”工具,而是想“理解工具原理”的人来说,这本书的价值简直无法估量,它培养的是一种批判性的统计分析能力。

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这本《高等数理统计》初捧在手,厚重得让人心头一紧。我本以为是那种枯燥乏味,只在公式和定理中打转的教科书,毕竟“高等”二字自带一种劝退光环。然而,翻开目录,那种扑面而来的系统性和逻辑性,却让我这个初学者感到了一种别样的踏实。它并非简单地堆砌知识点,而是像一位经验老到的老师傅,耐心地为你铺陈起整个统计学的宏伟蓝图。第一章对概率论基础的回顾,简直是精雕细琢,每一个定义、每一个定理的引入都恰到好处,绝不含糊其辞,让人感觉仿佛回到了最严谨的数学课堂,但又少了些许束缚感。书中的例题设计得尤为巧妙,它们不仅仅是公式的代入练习,更多的是对理论深刻理解的引导。我特别喜欢作者在讲解大数定律和中心极限定理时所用的那种深入浅出的笔法,它没有直接抛出那些拗口的数学表达,而是通过对实际场景的描绘,让你在不知不觉中领悟到这些看似高深的理论在现实世界中的巨大威力。读完前几章,我最大的感受是,这本书成功地架设了一条从基础概率论到现代统计推断的坚实桥梁,每一个环节的衔接都如丝般顺滑,让人不由自主地想继续往下探索,去看看那更复杂的统计模型究竟是如何搭建起来的。

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如果让我必须挑一个“缺点”,那可能就是这本书的阅读难度曲线设计得稍微陡峭了一些。它对读者的先备知识要求是相当高的,如果你对线性代数和多元微积分没有一个扎实的理解,那么在阅读到涉及正态分布的联合密度函数推导、或者最小二乘估计的矩阵形式时,可能会感到步履维艰。但这反过来看,恰恰是它“高等”二字的体现。这本书的深度是毋庸置疑的,它没有为了迎合初学者而降低理论的严谨性。尤其是关于估计量性质(无偏性、一致性、有效性)的论证部分,作者展示了教科书应有的学术风范——每一步推导都清晰可见,每一步结论都有据可循。我尤其欣赏它对各种矩估计、极大似然估计的对比分析,通过具体的例子展示了它们在效率上的差异,这比简单地罗列公式要有效得多。对于研究生阶段的学习者而言,这本书提供了足够的“干货”去支撑后续的专业研究,它提供的不是快餐式的知识,而是一套可以让你终身受益的思维框架和证明工具箱。

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看论文必备的扫盲书,全书背诵

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看论文必备的扫盲书,全书背诵

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参考过前面一部分内容,三分之一的篇幅,那个指示函数I印刷成1看的真是很不爽。

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