具体描述
《计算的本质：从图灵机到量子霸权》 内容简介 这是一部深入探讨计算理论基石与前沿疆域的权威著作。本书旨在为读者构建一个清晰、系统且富有洞察力的计算思维框架，从最基础的逻辑结构出发，逐步攀登至当代科学与技术领域最激动人心的挑战。 本书摒弃了仅仅罗列技术名词的浮夸倾向，而是聚焦于“计算”这一核心概念的内在逻辑与哲学意义。我们首先从计算的数学基础——形式化语言与自动机理论——展开叙述。我们将详细剖析有限自动机、下推自动机以及图灵机模型。对于图灵机，本书不仅仅将其视为一个抽象模型，更会深入探讨其在可计算性理论中的核心地位，论证停机问题的不可解性，并阐释柯尔莫哥洛夫复杂性如何量化信息与随机性。这部分内容将为后续对更复杂计算范式的理解奠定坚实的逻辑地基。 随后，我们将转向计算的复杂性理论——这是衡量问题“难度”的科学。本书将全面覆盖经典复杂度类，如P、NP、NP-完全问题。我们不仅会详细解释Cook-Levin定理的精妙之处，还会对P与NP是否相等这一世纪难题进行多角度的审视，探讨其对密码学、优化理论乃至人工智能的深远影响。此外，书中会引入随机化计算复杂性类（如BPP、RP），以及交互式证明系统（IP），揭示信息不完全情况下的计算能力边界。我们不会止步于理论，而是会结合实例，阐释如何通过复杂性分析来指导算法设计与资源分配。 在算法设计与分析部分，本书将超越基础的数据结构介绍，重点探讨应对极端挑战的算法范式。我们会深入研究贪心算法、分治策略、动态规划的深层结构，并用具体案例（如网络流、匹配问题）来展示这些范式的强大威力。更关键的是，本书将探讨近似算法的设计哲学，尤其是在处理NP-难优化问题时，如何通过保证误差界限（如PTAS、FPTAS）来获得工程上的可行解。我们还会详细剖析几何算法的复杂性，包括计算拓扑学与空间分割技术，为计算机图形学和地理信息系统提供理论支撑。 本书的后半部分将目光投向计算的前沿：并行性、分布式计算与量子计算。在并行计算的章节中，我们不再局限于简单的多核模型，而是深入探讨大规模并行架构（如GPU、集群）下的编程模型、同步与通信开销的理论建模，以及如何利用PRAM模型来分析并行算法的效率和局限性。我们还会探讨可扩展性理论，研究系统性能随规模增长的规律。 量子计算部分是本书的亮点之一。我们将从量子力学的基础公设（如希尔伯特空间、酉变换）切入，精确阐述量子比特的概念。随后，我们将详细分析关键的量子算法，如Shor算法在因子分解中的指数加速，Grover算法在搜索问题中的二次加速，以及量子模拟的潜力。本书对量子纠错码的介绍将力求严谨，解释它们如何在噪声环境中维持计算的可靠性，并探讨拓扑量子计算的未来图景。我们强调量子计算的理论优势并非普适的，而是依赖于特定计算结构的特性。 最后，本书将触及一些新兴且具有哲学深度的领域，如生物计算（DNA计算）的理论模型、可逆计算的能耗限制，以及对计算的哲学探讨——什么是真正的“智能”，计算的极限在哪里。 本书的编写风格追求清晰、严谨，同时避免不必要的术语堆砌。每一个理论的提出都伴随着清晰的数学证明或直观的论证，力求让具有一定数学基础的读者能够深入理解计算科学的“为什么”，而不仅仅是“怎么做”。它适合于高年级本科生、研究生以及希望系统性深化理论素养的专业工程师和研究人员。本书旨在成为计算理论学习者案头常备的参考工具书。
作者简介
John Hopcroft为图灵奖获得者。
Ravindran Kannan is a principal researcher with Microsoft Research Labs located in India
目录信息
Contents
1 Introduction 6
2 High-Dimensional Space 7
2.1 Properties of High-Dimensional Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 The High-Dimensional Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 The Sphere and the Cube in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Volume and Surface Area of the Unit Sphere . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 The Volume is Near the Equator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 The Volume is in a Narrow Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.5 The Surface Area is Near the Equator . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 The High-Dimensional Cube and Chernoff Bounds . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Volumes of Other Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Generating Points Uniformly at Random on the surface of a Sphere . . . . 24
2.6 Gaussians in High Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Random Projection and the Johnson-Lindenstrauss Theorem . . . . . . . . 31
2.8 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Random Graphs 46
3.1 The G(n; p) Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Degree Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Existence of Triangles in G(n; d=n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.4 Phase Transitions for Monotone Properties . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.5 Phase Transitions for CNF-sat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.6 The Emerging Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.7 The Giant Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Branching Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Nonuniform and Growth Models of Random Graphs . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.1 Nonuniform Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.2 Giant Component in Random Graphs with Given Degree Distribution 86
3.4 Growth Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.1 Growth Model Without Preferential Attachment . . . . . . . . . . . 87
3.4.2 A Growth Model With Preferential Attachment . . . . . . . . . . . 94
3.5 Small World Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Singular Value Decomposition (SVD) 110
4.1 Singular Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Singular Value Decomposition (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Best Rank k Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1
4.4 Power Method for Computing the Singular Value Decomposition . . . . . . 118
4.5 Applications of Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.2 Clustering a Mixture of Spherical Gaussians . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.3 An Application of SVD to a Discrete Optimization Problem . . . . 127
4.5.4 SVD as a Compression Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5.5 Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5.6 Singular Vectors and ranking documents . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Markov Chains 142
5.1 Stationary Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Electrical Networks and Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 Random Walks on Undirected Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Random Walks in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5 Random Walks on Directed Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 Finite Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.7 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.7.1 Time Reversibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.7.2 Metropolis-Hasting Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.7.3 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.8 Convergence to Steady State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.8.1 Using Minimum Escape Probability to Prove Convergence . . . . . 173
5.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6 Learning and VC-dimension 183
6.1 Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2 Linear Separators, the Perceptron Algorithm, and Margins . . . . . . . . . 184
6.3 Nonlinear Separators, Support Vector Machines, and Kernels . . . . . . . . 189
6.4 Strong and Weak Learning - Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.5 Number of Examples Needed for Prediction: VC-Dimension . . . . . . . . 196
6.6 Vapnik-Chervonenkis or VC-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.6.1 Examples of Set Systems and Their VC-Dimension . . . . . . . . . 199
6.6.2 The Shatter Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.6.3 Shatter Function for Set Systems of Bounded VC-Dimension . . . 204
6.6.4 Intersection Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.7 The VC Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.8 Priors and Bayesian Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2
7 Algorithms for Massive Data Problems 217
7.1 Frequency Moments of Data Streams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.1 Number of Distinct Elements in a Data Stream . . . . . . . . . . . 218
7.1.2 Counting the Number of Occurrences of a Given Element. . . . . . 221
7.1.3 Counting Frequent Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.1.4 The Second Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.2 Sketch of a Large Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.2.1 Matrix Multiplication Using Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.2.2 Approximating a Matrix with a Sample of Rows and Columns . . . 231
7.3 Sketches of Documents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8 Clustering 240
8.1 Some Clustering Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.2 A Simple Greedy Algorithm for k-clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3 Lloyd's Algorithm for k-means Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.4 Meaningful Clustering via Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . 245
8.5 Recursive Clustering based on Sparse Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.6 Kernel Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.7 Agglomerative Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.8 Communities, Dense Submatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.9 Flow Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.10 Linear Programming Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.11 Finding a Local Cluster Without Examining the Whole graph . . . . . . . 264
8.12 Statistical Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.13 Axioms for Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.13.1 An Impossibility Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.13.2 A Satisfiable Set of Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9 Graphical Models and Belief Propagation 283
9.1 Bayesian Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.2 Markov Random Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.3 Factor Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.4 Tree Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.5 Message Passing Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.6 Graphs with a Single Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.7 Belief Update in Networks with a Single Loop . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.8 Graphs with Multiple Loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.9 Clustering by Message Passing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.10 Maximum Weight Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.11 Warning Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.12 Correlation Between Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3
9.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10 Other Topics 307
10.1 Rankings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.2 Hare System for Voting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.3 Compressed Sensing and Sparse Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3.1 Unique Reconstruction of a Sparse Vector . . . . . . . . . . . . . . 311
10.3.2 The Exact Reconstruction Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.3.3 Restricted Isometry Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.4.1 Sparse Vector in Some Coordinate Basis . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.4.2 A Representation Cannot be Sparse in Both Time and Frequency
Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.4.3 Biological . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.4.4 Finding Overlapping Cliques or Communities . . . . . . . . . . . . 320
10.4.5 Low Rank Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11 Appendix 325
11.1 Asymptotic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.2 Useful Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.3 Sums of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.4 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.4.1 Sample Space, Events, Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
11.4.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.4.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.4.4 Variance of Sum of Independent Random Variables . . . . . . . . . 341
11.4.5 Sum of independent random variables, Central Limit Theorem . . . 341
11.4.6 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.4.7 Unbiased estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.4.8 Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.4.9 Tail Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
11.4.10 Chernf Bounds: Bounding of Large Deviations . . . . . . . . . . . 354
11.4.11Holding's Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
11.5 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.5.1 Generating Functions for Sequences Depened by Recurrence Relationships
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
11.5.2 Exponential Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.6 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.6.1 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.6.2 Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
11.6.3 Extremal Properties of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
11.6.4 Eigenvalues of the Sum of Two Symmetric Matrices . . . . . . . . . 374
4
11.6.5 Separator Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.6.6 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.6.7 Important Norms and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11.6.8 Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.7 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
11.7.1 Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
11.7.2 Hash Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.7.3 Sperner's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Index 391
5
· · · · · · (收起)
1 Introduction 6
2 High-Dimensional Space 7
2.1 Properties of High-Dimensional Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 The High-Dimensional Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 The Sphere and the Cube in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Volume and Surface Area of the Unit Sphere . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 The Volume is Near the Equator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 The Volume is in a Narrow Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.5 The Surface Area is Near the Equator . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 The High-Dimensional Cube and Chernoff Bounds . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Volumes of Other Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Generating Points Uniformly at Random on the surface of a Sphere . . . . 24
2.6 Gaussians in High Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Random Projection and the Johnson-Lindenstrauss Theorem . . . . . . . . 31
2.8 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Random Graphs 46
3.1 The G(n; p) Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Degree Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Existence of Triangles in G(n; d=n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.4 Phase Transitions for Monotone Properties . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.5 Phase Transitions for CNF-sat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.6 The Emerging Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.7 The Giant Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Branching Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Nonuniform and Growth Models of Random Graphs . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.1 Nonuniform Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.2 Giant Component in Random Graphs with Given Degree Distribution 86
3.4 Growth Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.1 Growth Model Without Preferential Attachment . . . . . . . . . . . 87
3.4.2 A Growth Model With Preferential Attachment . . . . . . . . . . . 94
3.5 Small World Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Singular Value Decomposition (SVD) 110
4.1 Singular Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Singular Value Decomposition (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Best Rank k Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1
4.4 Power Method for Computing the Singular Value Decomposition . . . . . . 118
4.5 Applications of Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.2 Clustering a Mixture of Spherical Gaussians . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.3 An Application of SVD to a Discrete Optimization Problem . . . . 127
4.5.4 SVD as a Compression Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5.5 Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5.6 Singular Vectors and ranking documents . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Markov Chains 142
5.1 Stationary Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Electrical Networks and Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 Random Walks on Undirected Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Random Walks in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5 Random Walks on Directed Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 Finite Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.7 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.7.1 Time Reversibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.7.2 Metropolis-Hasting Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.7.3 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.8 Convergence to Steady State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.8.1 Using Minimum Escape Probability to Prove Convergence . . . . . 173
5.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6 Learning and VC-dimension 183
6.1 Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2 Linear Separators, the Perceptron Algorithm, and Margins . . . . . . . . . 184
6.3 Nonlinear Separators, Support Vector Machines, and Kernels . . . . . . . . 189
6.4 Strong and Weak Learning - Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.5 Number of Examples Needed for Prediction: VC-Dimension . . . . . . . . 196
6.6 Vapnik-Chervonenkis or VC-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.6.1 Examples of Set Systems and Their VC-Dimension . . . . . . . . . 199
6.6.2 The Shatter Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.6.3 Shatter Function for Set Systems of Bounded VC-Dimension . . . 204
6.6.4 Intersection Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.7 The VC Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.8 Priors and Bayesian Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2
7 Algorithms for Massive Data Problems 217
7.1 Frequency Moments of Data Streams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.1 Number of Distinct Elements in a Data Stream . . . . . . . . . . . 218
7.1.2 Counting the Number of Occurrences of a Given Element. . . . . . 221
7.1.3 Counting Frequent Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.1.4 The Second Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.2 Sketch of a Large Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.2.1 Matrix Multiplication Using Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.2.2 Approximating a Matrix with a Sample of Rows and Columns . . . 231
7.3 Sketches of Documents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8 Clustering 240
8.1 Some Clustering Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.2 A Simple Greedy Algorithm for k-clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3 Lloyd's Algorithm for k-means Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.4 Meaningful Clustering via Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . 245
8.5 Recursive Clustering based on Sparse Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.6 Kernel Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.7 Agglomerative Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.8 Communities, Dense Submatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.9 Flow Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.10 Linear Programming Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.11 Finding a Local Cluster Without Examining the Whole graph . . . . . . . 264
8.12 Statistical Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.13 Axioms for Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.13.1 An Impossibility Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.13.2 A Satisfiable Set of Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9 Graphical Models and Belief Propagation 283
9.1 Bayesian Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.2 Markov Random Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.3 Factor Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.4 Tree Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.5 Message Passing Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.6 Graphs with a Single Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.7 Belief Update in Networks with a Single Loop . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.8 Graphs with Multiple Loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.9 Clustering by Message Passing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.10 Maximum Weight Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.11 Warning Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.12 Correlation Between Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3
9.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10 Other Topics 307
10.1 Rankings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.2 Hare System for Voting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.3 Compressed Sensing and Sparse Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3.1 Unique Reconstruction of a Sparse Vector . . . . . . . . . . . . . . 311
10.3.2 The Exact Reconstruction Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.3.3 Restricted Isometry Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.4.1 Sparse Vector in Some Coordinate Basis . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.4.2 A Representation Cannot be Sparse in Both Time and Frequency
Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.4.3 Biological . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.4.4 Finding Overlapping Cliques or Communities . . . . . . . . . . . . 320
10.4.5 Low Rank Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11 Appendix 325
11.1 Asymptotic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.2 Useful Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.3 Sums of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.4 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.4.1 Sample Space, Events, Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
11.4.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.4.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.4.4 Variance of Sum of Independent Random Variables . . . . . . . . . 341
11.4.5 Sum of independent random variables, Central Limit Theorem . . . 341
11.4.6 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.4.7 Unbiased estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.4.8 Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.4.9 Tail Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
11.4.10 Chernf Bounds: Bounding of Large Deviations . . . . . . . . . . . 354
11.4.11Holding's Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
11.5 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.5.1 Generating Functions for Sequences Depened by Recurrence Relationships
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
11.5.2 Exponential Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.6 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.6.1 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.6.2 Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
11.6.3 Extremal Properties of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
11.6.4 Eigenvalues of the Sum of Two Symmetric Matrices . . . . . . . . . 374
4
11.6.5 Separator Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.6.6 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.6.7 Important Norms and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11.6.8 Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.7 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
11.7.1 Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
11.7.2 Hash Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.7.3 Sperner's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Index 391
5
· · · · · · (收起)
读后感
评分
这本书描述了CS中一些非常重要而且基础的topic，两位作者都是大牛，书中对topic的描述往往涉及坚实的数学基础。 作者公开了免费的电子版，书名不太一样 Foudations of Data Science
评分这本书描述了CS中一些非常重要而且基础的topic，两位作者都是大牛，书中对topic的描述往往涉及坚实的数学基础。 作者公开了免费的电子版，书名不太一样 Foudations of Data Science
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用户评价
评分
我注意到本书的章节标题，似乎涵盖了计算模型、算法分析、可计算性理论等关键领域。这让我对接下来的内容充满了期待。我尤其对“计算模型”这一概念感到好奇。我们日常接触的计算机，是如何被抽象成各种数学模型来分析和理解的？图灵机、λ演算这些概念，听起来既古老又充满神秘感，我希望这本书能以一种生动有趣的方式解释它们，让我明白它们是如何为我们现代计算打下理论基石的。同时，“算法分析”也是我一直想要深入了解的部分。我们知道算法很重要，但究竟如何衡量一个算法的好坏？时间复杂度和空间复杂度这些术语，是否能在这本书中得到清晰的解释？我希望作者能够提供一些实际的例子，让我能够直观地理解这些理论概念的应用，而不仅仅是停留在数学公式层面。这本书能否帮助我建立起一种“计算思维”，让我能够用更严谨、更高效的方式来解决问题？
评分我一直对计算机科学的“理论”部分感到有些疏远，觉得它离实际应用太远。然而，随着人工智能、大数据等技术的飞速发展，我越来越意识到，这些技术的背后，离不开坚实的理论基础。这本书的书名《信息时代的计算机科学理论》，恰好点明了这一核心。我希望它能够打破理论与实践之间的壁垒，用更接地气的方式，解释那些支撑起我们信息时代的理论。例如，关于人工智能，它背后有哪些核心的计算理论？关于网络安全，又有哪些理论在保护我们的信息？我更希望这本书能提供一些实际的案例分析，让我能够看到这些理论是如何被应用于解决实际问题的，而不仅仅是停留在抽象的定义和证明上。它是否能帮助我建立一种“理论应用”的视角，让我能够将所学的理论知识，转化为解决实际问题的能力，成为一名更具洞察力和创新能力的从业者。
评分这本书的封面设计让我印象深刻，一种深邃的蓝色背景，点缀着抽象的二进制代码和闪烁的星辰，仿佛预示着它将带领我进入一个神秘而广阔的知识领域。我一直对计算机科学的底层逻辑和理论基础充满好奇，但市面上很多书籍要么过于晦涩难懂，要么流于表面，缺乏深度。我期待这本书能够填补这一空白，用清晰易懂的语言，深入浅出地剖析那些构成我们信息时代基石的理论。想象一下，能够理解算法的优雅，证明程序的正确性，甚至洞察计算的极限，这将是多么令人振奋的体验。我希望这本书能够激发我更深层次的思考，不仅仅是掌握现有的技术，更是能够理解技术背后的原理，为未来的创新打下坚实的基础。它是否能像一盏明灯，照亮我通往理论之巅的道路，让我不再畏惧那些抽象的数学公式和复杂的逻辑推演，而是能够享受其中，感受智慧的火花。我非常希望这本书能提供一个系统的框架，帮助我理清计算机科学理论的脉络，从最基础的概念讲起，循序渐进地引导我理解更复杂的理论体系。
评分翻开这本书，最先吸引我注意的是作者在序言中描绘的计算机科学理论在现代社会中的重要性。它并非只是学术界的象牙塔，而是驱动着我们生活方方面面的核心动力。从搜索引擎的智能排序，到人工智能的飞速发展，再到如今的区块链技术，无一不建立在深厚的理论之上。我一直对“理论”这个词有些望而却步，总觉得它与现实世界相距甚远，但序言让我意识到，这些看似抽象的理论，恰恰是塑造我们所处信息时代的最根本的力量。我迫切地想了解，那些我们每天都在使用的互联网服务，那些改变世界的科技创新，究竟是如何从这些理论中萌芽、生长并最终开花结果的。这本书是否能揭示其中的奥秘，让我窥见那些隐藏在技术表象下的智慧结晶？它是否能帮助我建立一种“理论思维”，让我能够跳脱出具体的工具和应用，去理解更普适的原理，从而在面对层出不穷的新技术时，能够迅速抓住其本质，而不至于迷失在瞬息万变的潮流中。
评分我正在寻找一本能够帮助我系统性地理解“信息时代”这一概念背后理论支撑的书籍。我们生活在一个信息爆炸的时代，但究竟是什么样的理论，让信息的产生、传播、存储和处理成为可能，并且变得如此高效？这本书的题目《信息时代的计算机科学理论》让我觉得它可能正是我的目标。我希望它能解释诸如信息论、编码理论等基础理论，让我理解信息是如何被度量、压缩和保护的。同时，我也对分布式系统、并行计算等与现代信息处理密切相关的理论感兴趣。我希望这本书能提供一个宏观的视角，将这些不同的理论领域串联起来，让我看到它们是如何共同构建起我们如今的信息化社会。它是否能帮助我理解，为什么有些系统能够处理海量数据，而有些则会不堪重负？它是否能让我对未来的信息技术发展趋势有一个更清晰的预判？
评分这本书竟然有hopcroft参与，而且有官方pdf，最新一版完成于20140814.
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