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出版者:McGraw-Hill

作者:McGraw-Hill (NA)

出品人:

頁數:333

译者:

出版時間:

價格:16.95

裝幀:Pap

isbn號碼:9780071464635

叢書系列:

圖書標籤:

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深度解析高等代數：概念、方法與應用 書籍名稱：《高等代數：理論精講與習題精解》 圖書簡介 一、本書定位與目標讀者 《高等代數：理論精講與習題精解》是一部旨在係統、深入地闡述高等代數核心理論、精煉解題技巧，並提供全麵習題訓練的權威教材。本書嚴格遵循現代數學的邏輯體係，力求在保證理論嚴謹性的同時，兼顧知識的清晰傳授與實際應用能力的培養。 本書特彆適閤以下讀者群： 1. 高等院校數學專業本科生： 作為主乾課程的指定教材或重要參考書，本書提供瞭比標準教材更為詳盡的理論推導和更具挑戰性的綜閤習題。 2. 非數學專業理工科學生（如物理、工程、計算機科學等）： 這些領域的學生需要紮實的綫性代數基礎來支撐後續的高級專業課程（如數值分析、機器學習、量子力學等）。本書的側重於矩陣理論、特徵值問題和嚮量空間的應用，能有效彌補傳統工科代數課程的深度不足。 3. 準備數學研究生入學考試（如全國碩士研究生招生考試、美國GRE/數理基礎考試等）的考生： 本書的“理論精講”部分確保考生對基本概念無懈可擊，而“習題精解”部分則提供瞭大量曆年真題級彆的變體和拓展問題，是衝刺高分的必備資料。 4. 數學教育工作者及自學者： 為深入理解高等代數各分支的內在聯係與曆史發展脈絡，提供瞭豐富的背景知識和深入的探討。 二、內容結構與特色 全書共分為九個核心章節，結構緊湊，邏輯遞進。每章內容均由“理論精講”、“核心定理與推論”、“典型例題剖析”和“綜閤習題與解析”四個闆塊構成，確保學、練、測一體化。 第一章：數域與矩陣 本章奠定瞭全書的代數基礎。我們首先嚴格定義瞭域的概念，重點討論瞭有理數域 $mathbb{Q}$、實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 的性質。在矩陣部分，本書超越瞭簡單的行列式計算，深入探討瞭矩陣的初等變換、秩的定義與性質，並首次引入瞭矩陣分塊理論，為後續的行列式理論和綫性方程組的求解提供更高級的視角。 第二章：行列式理論的深化 本章從代數幾何的角度重新審視行列式。除瞭傳統的萊布尼茨公式和代數餘子式展開外，我們詳細闡述瞭行列式的多綫性、反對稱性，以及它在幾何上錶示的“有嚮體積”的意義。重點講解瞭剋拉默法則的局限性，並引入瞭行列式與矩陣可逆性的深刻聯係。 第三章：綫性方程組的理論與求解 這是本書的應用核心之一。我們采用規範化的方法，基於初等行變換，推導齣高斯消元法的完整流程，並引入行階梯形（Row Echelon Form）和簡化行階梯形（Reduced Row Echelon Form）的概念。重點討論瞭綫性方程組解的存在性與唯一性的判彆條件，特彆是對於超定和欠定方程組的處理策略。 第四章：嚮量空間與綫性映射 本章是抽象代數思維的起點。本書清晰界定瞭嚮量空間、子空間、綫性組閤、張成、綫性相關性、基和維數等基本概念。在深入探討基變換和坐標變換時，我們特彆強調瞭基的選擇對矩陣錶示的根本性影響。 在綫性映射部分，我們剖析瞭核空間（Kernel）和像空間（Image）的性質，並給齣瞭秩-零化度定理的多種證明路徑，旨在幫助讀者建立“變換的幾何直觀”與“矩陣的代數錶示”之間的橋梁。 第五章：特徵值與特徵嚮量 特徵值問題是現代科學計算的基石。本書詳細講解瞭特徵值、特徵嚮量的求解過程，並區分瞭代數重數與幾何重數。對於非對稱矩陣，我們深入探討瞭 Jordan 標準型（JNF）的理論基礎、構造步驟及其在微分方程組求解中的關鍵作用。對於對稱矩陣，則基於譜定理，詳細闡述瞭正交對角化的重要性。 第六章：二次型與歐幾裏得空間 本章將綫性代數與幾何學完美融閤。我們從二次型的定義齣發，闡述瞭如何通過正交變換將二次型化為標準形，並基於慣性定理討論瞭二次型的分類（正定、負定等）。在歐幾裏得空間部分，本書著重介紹瞭施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，並解釋瞭正交投影在最小二乘問題中的應用。 第七章：多項式代數與矩陣函數 本章連接瞭代數基礎和分析工具。我們詳細討論瞭域上的多項式環結構，如多項式的帶餘除法、最大公約式（使用歐幾裏得算法）。重點在於最小多項式的理論，它比特徵多項式提供瞭更簡潔的矩陣性質刻畫。隨後，我們引入瞭矩陣指數、矩陣對數等矩陣函數的概念，並給齣其在求解綫性常微分方程組中的應用示例。 第八章：張量基礎與外代數初步（選講與拓展） 為滿足對更高級理論有需求的讀者，本章提供瞭對張量概念的初步介紹，解釋瞭張量積如何推廣瞭嚮量空間的構造。我們探討瞭張量（如張量場）在物理學和微分幾何中的地位，並簡要介紹瞭外積和楔積，為深入學習微分形式和幾何代數打下基礎。 第九章：計算方法與數值穩定性 認識到理論與實踐的差距，本章探討瞭在計算機環境中處理大規模矩陣問題的挑戰。我們分析瞭高斯消元法和LU分解的計算復雜性，並引入瞭迭代法（如雅可比法和高斯-賽德爾法）的收斂性判據。特彆是，本章討論瞭矩陣的條件數，強調瞭病態矩陣對數值解穩定性的嚴重影響。 三、本書的教學特色 1. 理論的深度與廣度兼顧： 本書不僅涵蓋瞭傳統代數的所有標準內容，更引入瞭現代代數和數值分析的視角，使知識體係更加完整和前沿。 2. 例題的精選與解析的詳盡： 每一類定理的證明都力求清晰，避免冗餘的公式堆砌。例題的選擇覆蓋瞭從基礎運算到高級綜閤應用的全譜係，解析步驟詳盡，特彆標注瞭“易錯點分析”。 3. 習題的難度分級： 章節末的習題分為 A 級（鞏固基礎）、B 級（綜閤應用）、C 級（探索與挑戰）三檔，方便不同水平的學習者進行針對性訓練。 《高等代數：理論精講與習題精解》 將是您係統掌握綫性代數，邁嚮更深層次數學研究的堅實階梯。

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