现代Finsler几何初步 (英文版)

出版者:高等教育出版社

作者:沈一兵

页数:393

出版时间:2016-2-18

价格:98元

装帧:平装

isbn号码:9787040444247

具体描述

近二十多年来，芬斯勒几何的研究取得了全新的实质性进展。芬斯勒几何的观点和方法，不仅与数学的其他分支，如微分方程、李群、代数学、拓扑学、非线性分析等密切相关，而且在数学物理、理论物理、生物数学、控制论、信息论等其它学科中得到越来越广泛的应用。因此，无论在理论研究上还是在实际应用上，芬斯勒几何都日益显示出它的勃勃生机和巨大价值。

为了满足国内大学高年级学生和研究生的教学需求，在多年教学实践的基础上，作者编写了本书。全书共分8章，包括微分流形、芬斯勒度量、联络和结构方程等。本书的特点是以张量分析为主要工具，系统介绍芬斯勒几何的基本概念和基本方法，尽可能兼顾到经典理论和最新进展的内容，使读者在学完本教程后能独立从事芬斯勒几何的研究。

作者简介

沈一兵，浙江大学数学系教授，研究方向：现代微分几何与几何分析。著有《解析几何》、《微分几何》、《整体微分几何》、《黎曼几何》等。

沈忠民，知名华人学者，美国Indiana University-Purdue University数学系主任，曾任美国国家自然科学基金委几何与分析学科主管。著有Riemann-Finsler Geometry, Differential Geometry of Spray and Finsler Spaces等。

用户评价

总而言之，这是一部需要静心研读的著作，它需要读者投入足够的时间和专注力，但回报是极其丰厚的。书中对“正则性条件”（regularity conditions）的探讨细致入微，这对于任何想要进行具体计算或数值模拟的读者来说，都是不可或缺的知识点。我尤其欣赏作者在书中后半部分对“ Finsler 群”和相关对称性问题的处理，这部分内容展现了现代代数工具如何被有效应用于非线性几何问题中。不同于市面上许多追求简洁的现代教材，这本书选择了一种更全面、更“百科全书式”的方法来介绍这个领域，这意味着读者在查阅特定公式或定义时，总能找到最权威、最详尽的解释。对于希望将 Finsler 几何应用于理论物理（比如特定场论模型）的研究人员来说，这本书提供了必要的数学工具箱，使得从抽象概念到具体物理模型的桥梁搭建变得更为坚实和可靠。这是一部值得在书架上常备、并反复翻阅的经典之作。

初次翻开这本书，立刻感受到了一种扑面而来的严谨与深度。作者在引言部分就明确了现代Finsler几何学的核心思想和发展脉络，对于那些已经在微分几何领域耕耘多年，希望向这一前沿领域迈进的读者来说，无疑是一张详尽的路线图。书中对基本概念的阐述极其细致，从张量分析到切丛的构造，每一步都经过了精心的铺垫。我尤其欣赏作者在引入新的几何结构时，总是能巧妙地结合一些直观的物理图像或经典的数学例子，这极大地帮助我理解那些抽象的代数结构在几何空间中的具体表现。例如，在讨论非对称度量（non-symmetric metric）时，作者并没有停留在纯粹的形式推导，而是深入探讨了这些结构在运动学和变分原理中的潜在应用。整本书的行文风格就像一位经验丰富的导师，耐心而又不失挑战性，不断引导你深入思考，而不是仅仅被动地接受知识。对于有志于从事相关研究的学者，这本书无疑是打开Finsler几何大门的钥匙，它构建了一个坚实的基础，让后续的探索不再是空中楼阁。

这本书的结构设计堪称一流，每一章节的逻辑衔接都如同精密的机械装置，层层递进，浑然一体。我花了大量时间沉浸在其中关于“ Finsler 空间中的测地线”这一章节。作者对欧拉-拉格朗日方程的推导，展示了如何将经典的变分原理推广到更一般的非度量结构下。令我印象深刻的是，书中对“标量性”（scalarness）和“规范不变性”（gauge invariance）的讨论，这些抽象的概念被赋予了具体的数学形式，使得理解难度大大降低。此外，书中穿插的各种脚注和参考资料极其丰富，它们不仅仅是简单的引用，更像是作者在与读者的私下交流，提供了深入探究特定主题的额外线索。我尝试着跟随书中的提示，去查阅了几个早期的拓扑学文献，确实从中获得了更广阔的视野。这本书的排版也十分清晰，数学公式的呈现干净利落，即使是复杂的积分和微分符号，也丝毫不会造成阅读障碍，这对于长时间的阅读是至关重要的体验优化。

这本书的叙事方式非常具有个人色彩，带着一种老派数学家的沉稳和对真理的敬畏感。它不是那种追求快速结论的教材，更像是一部详尽的数学史诗。其中关于 Finsler 空间与仿射几何之间关系的论述，尤其让我着迷。作者没有将两者割裂开来，而是细致地展示了它们之间错综复杂的相互影响和相互转化。我特别喜欢其中对一些历史性争议点的回顾，例如早期数学家们对“非对称性”的接纳过程，这使得冰冷的数学概念带上了一丝人文学科的温度。在处理一些证明时，作者倾向于提供多种不同的路径，并点评每种路径的优劣和适用范围，这对于培养读者的数学直觉是极有帮助的。它鼓励我们不仅要“知道”定理是什么，更要“理解”为什么是这样，以及“如何”以最优雅的方式去证明它。这本书的价值，远超出了简单的知识传递，它更像是一种对数学思维方式的训练。

对于一个数学背景相对扎实，但首次接触Finsler几何的读者而言，这本书的难度曲线把握得非常得当。它没有刻意回避那些技术性的细节，但总能提供足够的背景知识来支撑起复杂的理论框架。我个人觉得，本书最宝贵的一点在于，它成功地平衡了理论的深度与广度。它不仅深入挖掘了基础的定义和定理，还触及了一些最新的研究方向，比如 Finsler 结构在信息几何和广义相对论中的类比应用。在讲解“ Finsler 结构下的曲率张量”时，作者似乎是用了好几章的篇幅来反复打磨这个概念，从标量曲率到张量曲率，再到各种不同的分解形式，每一种曲率的几何意义都被阐述得淋漓尽致。这让我意识到，Finsler几何的魅力正在于这种对“长度”和“方向”的精妙耦合。读完后，我感觉自己对传统黎曼几何的认识也被重新审视和深化了，仿佛打开了一扇通往更高维、更复杂空间结构的大门。