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出版者:Key Curriculum Pr

作者:Alper, Lynne/ Fendel, Daniel M./ Fraser, Sherry/ Resek, Diane

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:

價格:50.9

裝幀:HRD

isbn號碼:9781559536608

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 互動式學習
• 小學數學
• 初中數學
• STEM教育
• 教材
• 練習冊
• 趣味數學
• 教育
• 學習資源

探索高等代數與離散結構：嚴謹與應用的交匯點 圖書名稱： 現代數學基礎：代數、邏輯與計算 作者： 杜蘭·裏德（Dr. Eleanor Reid） 頁數： 約 780 頁 目標讀者： 計算機科學專業本科生、數學係高年級學生、對抽象代數和離散結構有深入學習需求的工程師和研究人員。 內容概述： 本書旨在為讀者構建一個堅實的現代數學基礎，重點聚焦於抽象代數的核心概念及其在離散結構中的應用。我們避免瞭微積分和分析學的傳統敘事綫，轉而深入探究那些支撐現代計算理論、密碼學和算法設計的底層代數框架。全書結構嚴謹，邏輯清晰，力求在保持數學純粹性的同時，展現這些抽象工具在解決實際問題中的強大威力。 第一部分：群論的基石與結構 本部分詳細闡述瞭群（Groups）的概念，將其視為研究對稱性和變換的基本框架。 第一章：基礎代數結構 我們從二元運算的性質齣發，定義瞭幺半群、獨異點和群。重點討論瞭子群、陪集和拉格朗日定理的深刻意義。這裏引入瞭循環群的完整分類，並以對稱群 $S_n$ 和二麵體群 $D_n$ 作為範例，展示瞭非交換群的復雜性。為瞭幫助讀者建立直觀理解，本章包含瞭大量的幾何和矩陣錶示例子。 第二章：群同態與商群 本章深入探討瞭群之間的結構保持映射——同態與同構。通過第一同構定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms），我們建立瞭群結構與其正規子群之間的橋梁，這是理解抽象結構分解的關鍵。商群（Factor Groups）的構造被細緻講解，並配以實例展示瞭如何通過“除以”一個正規子群來簡化群的結構分析。 第三章：作用與分類 本章聚焦於群在集閤上的作用（Group Actions），這是連接代數與組閤學的關鍵。我們詳細推導瞭軌道-穩定化子定理，並利用它來解決計數問題，例如Burnside引理的初步應用。此外，我們探討瞭 $p$-群和Sylow定理，它們為有限群的結構分析提供瞭不可或缺的工具，特彆是它們在分解非阿貝爾群時的應用。 第二部分：環、域與代數構造 從群的單操作世界過渡到更豐富的雙操作代數結構——環（Rings）。 第四章：環論導論 定義瞭環、交換環和整環。我們著重討論瞭單位、零因子以及環同態的概念。本章花費大量篇幅區分瞭理想（Ideals）與子環，並闡述瞭商環的構造。特彆關注瞭主理想域（PIDs）和唯一因子域（UFDs），如 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$。 第五章：域的擴展與構造 本章是代數結構中的一個關鍵飛躍，它專注於域（Fields）——那些允許除法的環。我們詳細研究瞭域的擴張（Field Extensions），包括代數擴張和超越擴張。介紹瞭有理數域 $mathbb{Q}$ 上擴張域的構造，並展示瞭如何使用極小多項式來構建新的域，為後續的伽羅瓦理論奠定基礎（盡管本書不深入伽羅瓦理論本身，但為理解其背景提供瞭必要的代數工具）。 第六章：多項式環與因式分解 專門深入研究多項式環 $F[x]$，證明其具有歐幾裏得域的性質，並最終證明其是唯一因子域。討論瞭多項式的最大公約式（GCD）的計算方法（如歐幾裏得算法在多項式上的應用）以及有理根定理。 第三部分：離散結構與計算聯係 本部分將前兩部分的代數思想應用於離散數學和計算科學的特定領域。 第七章：布爾代數與邏輯係統 我們將結構分析轉嚮非數值係統。本章詳細介紹瞭布爾代數（Boolean Algebras）的定義，它不僅僅是集閤論的工具，更是現代電子電路設計和命題邏輯的代數基礎。我們探討瞭代數結構（如格）與邏輯真值之間的精確對應關係，並簡要討論瞭如何用環論的觀點來重構布爾環。 第八章：有限域的應用 本章是理論與實踐結閤的典範。我們詳細研究瞭有限域（Galois Fields, $mathbb{F}_q$），它們的構造主要依賴於不可約多項式的根。重點分析瞭 $mathbb{F}_{2^k}$ 的性質，並展示瞭這些有限域如何在錯誤檢測和糾正碼（如漢明碼）以及有限域上的橢圓麯綫密碼學（作為基礎概念引入）中發揮作用。 第九章：組閤結構與代數計數 結閤群作用的成果，本章轉嚮組閤計數。我們重新審視瞭Burnside引理和Polya計數理論，並展示如何通過計算特定群作用下的軌道數量，來精確計數具有某種對稱性的對象集閤，例如特定結構的項鏈或圖的標記方式。 附錄：基礎集閤論迴顧 提供瞭一個關於集閤、映射、基數和關係的基礎迴顧，以確保讀者對抽象結構的討論有共同的語言基礎。 本書特色： 1. 概念的深度分離： 嚴格區分瞭群、環和域的層次結構，強調每種結構引入的新操作和新限製帶來的理論力量。 2. 計算的驅動： 每個抽象概念的引入都伴隨著一個明確的計算或應用動機，避免瞭純粹的定義堆砌。 3. 證明的完整性： 所有關鍵定理的證明都力求詳盡無遺，同時穿插瞭對證明思想的直覺性解釋。 本書的閱讀體驗是層層遞進的：從對稱性的基礎（群），到數字和多項式的結構（環與域），最後到這些結構在信息論和計算中的具體實現（有限域與布爾代數）。它要求讀者具備紮實的邏輯思維能力，並準備好迎接數學抽象的挑戰。

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