证明方法与理论

出版者:国防工业出版社

作者:张寅生

页数:319

出版时间:2015-11

价格:52.00

装帧:平装

isbn号码:9787118100792

具体描述

"本书阐述数学证明的基本原理，主要包括证明方法和证明理论，是探讨证明方法和证明理论内在联系和本质特征的数学专著。

“证明方法”集成了常见或具有重要影响并具有逻辑独立性和形式化特征的数学证明方法，分别给出了这些方法的表示公式、例题、相关的定理以及当前的研究前沿状况。

“证明理论”阐述了自希尔伯特倡导建立证明论以来该学科的主要理论，介绍了这些理论的发展脉络，分别给出了这些理论的公理、定理及其证明、例题、当前的研究前沿状况。

本书力图解决以下问题：什么是数学证明？数学证明的通用方法有哪些？关于数学证明取得了哪些重要认识？

作为跨学科研究的尝试，本书可作为证明论、逻辑、计算机科学与技术、数学哲学等相关领域专业工作者的教材或参考书。

"

目录信息

绪论 1
0.1　对证明论学科发展的一些看法 1
0.2　本书的一些尝试 9
参考文献 11
第1部分 预备知识
第1章　基本概念的定义和举例 14
参考文献 23
第2章　基础知识 24
2.1　集合论概述 24
2.2　逻辑学概述 29
参考文献 32
第2部分　证明方法
第3章　关系运算证明方法 38
参考文献 44
第4章　三段论证明方法 45
4.1　亚里士多德三段论简述 45
4.2 亚里士多德三段论的改进 51
4.3 量化扩展的三段论有效命题的确定方法 56
参考文献 63
第5章　数学归纳法 65
5.1　数学归纳法的发展概况 65
5.2　第一、第二数学归纳法 65
5.3　超穷（超限）归纳法（广义归纳法） 68
5.4　结构归纳法 72
参考文献 75
第6章　反证法 76
第7章　构造性证明方法 78
参考文献 80
第8章　同态证明方法和解释性证明方法 81
8.1　同态证明方法 81
8.2　解释性证明方法 82
参考文献 83
第9章　系统化证明方法（含截消方法） 84
9.1　系统化证明方法导论 84
9.2　亚里士多德的三段论自然演绎系统和形式系统 86
9.3　量化扩展的三段论自然推理系统 91
9.4　弗雷格的形式系统F 96
9.5　罗素的形式系统R 100
9.6　希尔伯特公理系统H 105
9.7　根岑的自然演绎系统G与截消证明方法 106
9.8　算术形式系统举例 113
9.9　几何证明公理系统举例 119
参考文献 122
第10章　归结证明方法 125
10.1　归结的基础理论 125
10.2　归结定理与归结方法 134
参考文献 137
第11章　自动化证明方法 138
11.1　自动化证明方法的思想渊源 138
11.2　自动证明机器原型之一：图灵机 139
11.3　自动证明机器原型之二：线性有界自动机 143
11.4　自动证明机器原型之三：下推自动机 146
11.5　自动证明机器原型之四：确定型有穷自动机 148
11.6　自动证明机器原型之五：不确定型有穷自动机 150
11.7　自动机接受的语言 153
11.8　自动机与数学证明的关系 155
11.9　定理证明器和推理机基本原理和证明实例 156
参考文献 161
第3部分　证明理论
第12章　可判定性理论 165
12.1　基本概念和历史背景 165
12.2　可计算性理论 166
12.3　一阶语言的可判定理论 181
12.4　不可判定理论 186
12.5　可判定性与可证明性的关系 189
参考文献 190
第13章　相容性理论 192
13.1　相容性问题产生的根源、过程和现状 192
13.2　悖论的结构和特征 196
13.3　解悖理论（1）—— 类型理论 201
13.4　解悖理论（2）—— 情境语义学理论 205
13.5　解悖理论（3）—— ZFC公理系统 208
13.6　解悖理论（4）—— 新基础公理系统 214
13.7　集合论公理系统概览 215
13.8　数学系统相容性的其他障碍及其解决 216
13.9　算术系统的相容性 221
13.10　几何系统的相容性 238
参考文献 239
第14章　不完全性理论 242
14.1　哥德尔第一不完全性定理 242
14.2　哥德尔第二不完全性定理 247
14.3　哥德尔第一不完全性定理的发展和争议 248
14.4　哥德尔第二不完全性定理的争议和某些应用 250
参考文献 252
第15章　可靠性理论与完全性理论 254
参考文献 258
第4部分　附　录
附录1　算术公理系统 260
附录2　On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica
and Related Systems（Ⅰ） 265
附录3　论《数学原理》及其相关系统的形式不可判定命题（Ⅰ） 286
附录4　人名索引 301
附录5　定义索引 308
附录6　核心命题索引 313
附录7　例题索引 316
· · · · · · (收起)

用户评价

这本书最大的特点，是它成功地将一种近乎艺术的审美融入了严密的逻辑构建之中。作者似乎不满足于仅仅“证明”一个结论，他更关注的是“如何以最优雅、最高效的方式”去抵达那个结论。我最欣赏的是，它探讨的不是具体学科的证明，而是证明本身的“艺术性”。比如，在比较几种不同的反证策略时，作者会细致地剖析每一种策略在逻辑美学上的优劣，哪一种更“干净利落”，哪一种虽然有效但略显“笨拙”。这种对过程的极致追求，让我开始重新审视我过去所做的所有论证工作。这本书对笔者的文字驾驭能力提出了极高的要求，因为它必须在保持绝对逻辑精确性的同时，还要营造出一种引人入胜的阅读体验。它不是一本可以快速翻阅的工具书，而是一部需要沉浸其中、细细品味的思维哲学著作，适合那些渴望在严谨的逻辑世界中发现诗意和美感的人。

这本书简直是知识的宝库，我花了整整一个周末才勉强啃完前三章，感觉自己的思维模式都被重塑了。作者的叙述风格非常独特，不像那种刻板的教科书，更像是经验丰富的大师在循循善诱，将那些原本晦涩难懂的概念，用清晰、甚至有些俏皮的比喻一一拆解开来。比如，他对“归谬法”的阐述，不再是冷冰冰的公式堆砌，而是通过一个引人入胜的侦探故事来构建逻辑链条，让你在不知不觉中领悟了其精髓。这本书的厉害之处在于，它不仅仅是告诉你“怎么做”，更深层次地揭示了“为什么这么做”背后的哲学思考。我尤其欣赏其中关于“反证法”的章节，作者深入探讨了人类认识世界的局限性，并巧妙地将这种局限性转化为一种强大的工具。阅读过程中，我好几次停下来，合上书本，对着天花板沉思良久，试图将书中的思想与我日常工作和学习中的具体问题联系起来。这本书对培养批判性思维的帮助，远超出了我对任何一本技术类书籍的预期，它提供的是一种看待世界的全新视角，一种严谨而又充满创造性的思维框架。

读完这本书，我最大的感受是，作者对细节的把控达到了令人发指的程度，简直就是一位文学大家在处理数学逻辑问题。这本书的排版和装帧都透露着一种古典的、沉静的美感，拿在手里就能感受到分量。不同于市面上那些追求快速入门的“速成手册”，这本书采取了一种非常缓慢而坚实地推进策略，每一步推导都经过了反复的打磨，仿佛是工匠精心雕琢的艺术品。我特别喜欢其中穿插的那些历史典故，作者没有生硬地罗列时间线，而是通过描述历史上几位伟大思想家在遭遇瓶颈时的心路历程，来映衬当前章节所要介绍的那个核心方法的诞生背景。这种叙事方式极大地增强了阅读的代入感，让人感觉自己不是在学习枯燥的规则，而是在参与一场跨越时空的思维探险。尤其是关于“构造性证明”那一块，作者用近乎诗意的语言描绘了从虚无中创造出实在的逻辑过程，那种震撼感，是任何公式都无法传达的。我强烈推荐给所有对知识深度有追求，不满足于表面化理解的人。

说实话，这本书的阅读体验是两极化的，它绝不是那种可以轻松放进咖啡馆背景里消遣的书籍。它的密度极高，常常需要我借助另外的工具书或者网络资源才能完全跟上作者的思路。作者的行文风格极其凝练，用词精准到每一个字都像是经过了千锤百炼，不容许丝毫的含糊。我感觉自己像是一个初学者，被一位身经百战的导师拽到了一个极其专业的领域深处。书中对某些经典悖论的剖析，简直是刀光剑影，逻辑的碰撞声仿佛都能听见。作者没有避开那些公认的难题，反而将它们当作展示自身逻辑力量的绝佳舞台。我花了整整一周的时间来消化其中关于“选择公理”的讨论部分，它不仅考验了我对基础的掌握程度，更挑战了我对“什么是真实”的固有观念。这本书的价值在于，它强迫你跳出舒适区，去面对那些最棘手的逻辑障碍，并在战胜它们的过程中获得真正的成长。

这本书给我带来的震撼，更多是来自其在结构上的巧妙布局。它不是简单地将不同的方法罗列在一起，而是在一个宏大的框架下，展现了各种论证工具之间的内在联系和相互转化。章节之间的过渡处理得极其自然流畅，仿佛一条河流的不同支流，最终都汇入一片广阔的逻辑海洋。我注意到作者非常擅长使用类比来搭建跨领域的桥梁，他会引入音乐、建筑甚至生物学的概念来解释抽象的逻辑结构，这极大地拓宽了我的理解边界。这本书的语言风格带着一种老派的严谨，用词考究，几乎没有现代网络语言的浮躁气。它更像是一部沉淀了数十年学术心血的结晶，每一个论断后面似乎都站着深厚的学术背景支撑。阅读它，就像是进行一次高强度的智力马拉松，虽然过程十分消耗体力，但到达终点后的那种成就感和对世界的清晰认知，是任何轻松读物都无法比拟的。

本书基于作者对大量文献的阅读和整理，根据希尔伯特的一个想法或者说几句话，对已有的数学证明方法进行了分类和回顾。有志于研究数理逻辑或者是数学哲学方法论的可作为参考书，但不能作为科普读物。将证明方法进行分类，我觉得更多是哲学上的意义，并不能很好地帮助解决数学问题。前些天看二阶算数那本书也是如此，可以找到一些问题的等价形式，但这并不能降低未解决的问题的难度。不过鉴于力迫法的出现本身就是解决连续统的独立性问题，这种哲学或者说方法论的倾向也就可以理解了。

本书基于作者对大量文献的阅读和整理，根据希尔伯特的一个想法或者说几句话，对已有的数学证明方法进行了分类和回顾。有志于研究数理逻辑或者是数学哲学方法论的可作为参考书，但不能作为科普读物。将证明方法进行分类，我觉得更多是哲学上的意义，并不能很好地帮助解决数学问题。前些天看二阶算数那本书也是如此，可以找到一些问题的等价形式，但这并不能降低未解决的问题的难度。不过鉴于力迫法的出现本身就是解决连续统的独立性问题，这种哲学或者说方法论的倾向也就可以理解了。

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本书基于作者对大量文献的阅读和整理，根据希尔伯特的一个想法或者说几句话，对已有的数学证明方法进行了分类和回顾。有志于研究数理逻辑或者是数学哲学方法论的可作为参考书，但不能作为科普读物。将证明方法进行分类，我觉得更多是哲学上的意义，并不能很好地帮助解决数学问题。前些天看二阶算数那本书也是如此，可以找到一些问题的等价形式，但这并不能降低未解决的问题的难度。不过鉴于力迫法的出现本身就是解决连续统的独立性问题，这种哲学或者说方法论的倾向也就可以理解了。

本书基于作者对大量文献的阅读和整理，根据希尔伯特的一个想法或者说几句话，对已有的数学证明方法进行了分类和回顾。有志于研究数理逻辑或者是数学哲学方法论的可作为参考书，但不能作为科普读物。将证明方法进行分类，我觉得更多是哲学上的意义，并不能很好地帮助解决数学问题。前些天看二阶算数那本书也是如此，可以找到一些问题的等价形式，但这并不能降低未解决的问题的难度。不过鉴于力迫法的出现本身就是解决连续统的独立性问题，这种哲学或者说方法论的倾向也就可以理解了。