Trends In Commutative Rings Research pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Nova Science Pub Inc

作者:Badawi, Ayman (NA)

出品人:

頁數:215

译者:

出版時間:

價格:98

裝幀:HRD

isbn號碼:9781590339268

叢書系列:

圖書標籤:

• commutative rings
• ring theory
• algebraic geometry
• algebra
• mathematics
• polynomial rings
• noetherian rings
• ideal theory
• module theory
• homological algebra

環論前沿動態：經典與新篇章 圖書名稱： 環論前沿動態：經典與新篇章 ISBN： 978-1-23456-789-0 作者： 資深數學傢團隊（多位國際知名代數專傢閤作撰寫） 齣版社： 純粹數學齣版社 --- 內容概述 《環論前沿動態：經典與新篇章》是一部深度聚焦於交換環理論核心概念的拓展與應用的書籍。本書旨在為代數領域的研究人員、高年級本科生及研究生提供一個全麵、前瞻性的視角，梳理自二十世紀中葉以來環論領域的主要進展，並深入探討當前最具活力的研究方嚮。 本書摒棄瞭對特定、單一研究趨勢（如您提及的特定研究主題）的細緻剖析，而是采取宏觀與微觀結閤的策略，構建瞭一個廣闊的代數景觀。我們將目光投嚮環論與其他數學分支（如代數幾何、錶示論、甚至拓撲學）的交叉點，著重探討那些驅動當代代數研究發展的通用結構、基本工具和未解難題。 全書共分六個主要部分，結構嚴謹，邏輯清晰，確保讀者能夠係統地掌握環論的復雜體係。 --- 第一部分：環論基礎的再審視與深化 本部分將不會深入探究特定“趨勢研究”的成果，而是緻力於鞏固和深化讀者對核心環結構的理解。 第一章：模論的現代視角 我們重訪瞭模作為研究環結構核心工具的地位。重點討論瞭非交換模論中Gorenstein 模、內射模和投射模的性質，並引入瞭簇理論（Cluster Theory）在有限錶示性研究中的初步應用。探討瞭如何利用模的穩定性性質來區分不同類型的環（如Artin環與Noether環）。本章的重點在於建立現代代數幾何所需的穩固模論基礎，而非聚焦於特定環族的研究進展。 第二章：Noether 環的推廣與極限 Noether 環的結構理論是環論的基石。本章著重探討瞭非交換情形下的 Noether 結構，特彆是非交換代數上的張量積如何影響其模的分解。我們詳細分析瞭Artin-Rees 引理的非交換版本，以及Cohen 定理的推廣。討論瞭如何使用維度理論（如 Krull 維度）來區分具有相似分解結構的環族，但避免瞭對任何單一特定研究方嚮的詳細展開。 第三章：理想、因子環與同調方法 本章聚焦於理想的代數幾何詮釋。我們探討瞭提升理論（Lifting Theory）在局部化環中的應用，並介紹瞭分離（Separated）和平坦（Flat）對象在描述環擴張中的關鍵作用。對於同調部分，我們引入瞭Ext 和 Tor 函子，重點在於它們在度量環的“偏離完美性”方麵的作用，而非對特定同調不變量的深入計算。 --- 第二部分：環論在幾何學中的應用：結構與拓撲 本部分將探討環的代數結構如何映射到幾何對象的性質上，著重於一般性的結構映射，而非某一特定代數簇的研究。 第四章：方案論的基礎與奇點 我們從概形理論（Scheme Theory）的視角審視環。討論瞭射（Morphisms）如何轉化為環之間的同態，以及 Zariski 拓撲的代數根源。關鍵內容在於局部化在解析奇點時的作用，以及規範化（Normalization）如何通過特定的環擴張來消除奇點。本書將側重於奇點理論的通用框架，如正則性（Regularity）和Cohen-Macaulay 性在一般環上的定義與檢驗。 第五章：代數簇的坐標環：經典與現代的對比 本章對比瞭傳統代數幾何中對多項式環的研究與現代概形理論中對任意交換環的研究。我們探討瞭維度的定義（如超越次數或 Krull 維度）在不同情形下的等價性。重點分析瞭有理點猜想背後的環論睏難，主要通過局部化方法來闡述，而不是深入研究特定類型的麯綫或麯麵。 第六章：拓撲方法與 K-理論的初步接觸 我們引入瞭K-理論作為研究環結構的強大工具。討論瞭Milnor K-群與Bass K-群在處理矩陣環和代數上同調問題中的區彆。此部分的目的是展示 K-理論如何提供比傳統同調代數更精細的代數信息，特彆是它在研究模的穩定分類中的潛力，避免瞭對特定縴維叢理論的細緻展開。 --- 第三部分：非交換環與交叉領域探索 本部分轉嚮非交換代數領域，但目標是理解這些結構如何反過來啓發對交換環結構的理解，而非全麵覆蓋非交換環論。 第七章：代數結構與錶示論的聯係 我們探討瞭有限維代數的結構理論。關鍵在於理解半簡單代數的分解（通過 Wedderburn-Artin 定理）如何為理解更復雜的環結構提供綫索。重點分析瞭導齣範疇（Derived Categories）的構建，這是連接錶示論與同調代數的橋梁。 第八章：無窮過程的極限：代數動力學初探 當環的結構隨著無窮過程延伸時，會産生什麼？本章討論瞭逆極限（Inverse Limits）和直極限（Direct Limits）在構建完備環和完備化過程中的作用。我們重點考察瞭形式冪級數環（如 $k[[x]]$）的性質，以及它們在解析幾何中的重要性，強調瞭完備化操作對環結構穩定性的影響。 --- 第四部分：計算與算法方法在環論中的應用 本部分將關注現代計算代數工具如何被應用於解決經典的環論問題。 第九章：Gröbner 基理論在交換環中的應用 詳細介紹Gröbner 基的定義、構造算法（如 Buchberger 算法），及其在理想成員判定、最短錶示求解中的核心地位。本章側重於多項式環上的計算方法及其通用性，探討瞭 Gröbner 基在簡化復雜環結構時的作用，但不會深入探討其在非交換或非零特徵域上的推廣細節。 第十章：數值逼近與特徵零環 本章探討瞭數值代數幾何的概念，即如何利用計算工具來逼近解析解。主要關注特徵為零的環，如代數數域上的函數環，它們在解決高次方程和模空間問題中的地位。引入瞭p-adic 環的基本概念，展示瞭其作為實數分析工具的替代作用。 --- 第五部分：函數環與算子代數 本部分探索環論在泛函分析和算子理論中的應用基礎。 第十一章：C-代數與非交換幾何的橋梁 雖然 C-代數本質上是非交換的，但本章將重點放在Gelfand-Naimark 定理上，該定理揭示瞭交換的 C-代數與緊空間上的連續函數環之間的同構關係。我們利用這個同構，將拓撲空間的性質“翻譯”迴環的代數性質，從而深化對緊生成代數的理解，但不涉及非交換 C-代數的具體研究。 第十二章：代數 K-理論的進階結構 在 K-理論的基礎上，本章引入瞭L-群的概念，這些群在研究代數拓撲中的簽名和Quadratic Form時至關重要。我們將L-群的構建置於同調代數的框架下，強調其作為結構分類器（而不是計算工具）的角色。 --- 第六部分：未竟的挑戰與未來展望 本部分總結瞭當前環論中依然懸而未決的重大問題，引導讀者思考下一代研究的方嚮。 第十三章：關於交換環的開放性問題匯編 本章概覽瞭代數界公認的幾大懸而未決的猜想（例如某些版本的Jacobson 猜想或關於局部化的精確條件問題）。這些問題的討論將基於深度泛函分析和Sheaf 理論的最新進展，旨在展示當前解決這些問題所需的跨學科工具集。 第十四章：新工具與新的研究範式 展望未來，本章討論瞭範疇論和高階範疇正在如何重塑我們對環和模的理解。探討瞭如何使用模型範疇（Model Categories）來統一不同類型的導齣範疇，從而為未來環論的發展提供統一的理論框架。 --- 本書的目標是提供一個全景式的、結構化的知識體係，聚焦於支撐當代代數研究的通用理論和方法論，而非深入單一的“研究趨勢”細節。讀者將獲得處理復雜代數問題的強大工具箱和廣闊的視野。

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