Geometric Function Theory in Several Complex Variables pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Fitzgerald, Carl H. (EDT)/ Gong, Sheng (EDT)

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:

价格:1483.00元

装帧:HRD

isbn号码:9789812560230

丛书系列:

图书标签:

复分析
几何函数论
多复变量
解析几何
复几何
边界值问题
柯西积分公式
留数定理
调和分析
复流形

下载链接在页面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 复制链接

想要找书就要到本本书屋

onlinetoolsland.com

立刻按 ctrl+D收藏本页

你会得到大惊喜!!

具体描述

《微分几何与拓扑学中的现代分析方法》内容简介本书旨在系统、深入地探讨微分几何和拓扑学领域中，现代分析工具，特别是泛函分析、偏微分方程（PDEs）与调和分析，是如何被应用于解决深刻的几何和拓扑问题的。它并非一本专注于经典复变函数论或经典李群理论的著作，而是聚焦于解析方法在更高维度、更抽象的几何结构上的强大拓展与应用。全书结构严谨，层次递进，从基础的微分流形理论出发，逐步引入必要的分析框架，最终导向前沿的研究课题。我们力求在保持数学严谨性的同时，清晰地阐述核心思想和关键论证步骤，使有志于深入研究的读者能够建立起坚实的分析几何基础。第一部分：基础解析工具与流形上的分析（Foundation Analysis and Analysis on Manifolds）本部分为后续深入研究奠定必要的分析基础，并将其自然地移植到微分流形这一核心几何对象上。第一章：微分流形与张量分析的复习与深化本章首先回顾微分流形的定义、光滑结构、切丛与余切丛。随后，重点深化对张量场、联络（Connections）以及黎曼度量（Riemannian Metric）的理解。不同于侧重于复结构的讨论，本章着重于实数域上的黎曼几何基础，特别是提及其与辛几何（Symplectic Geometry）的初步交叉点，例如李导数和外微分的应用。第二章：流形上的微积分与基本算子本章的核心在于将欧几里得空间中的微分算子推广到抽象流形上。我们详细讨论外微分算子 $d$ 及其伴随算子 $delta$，并构建拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta = ddelta + delta d$。本书将这一算子视为几何分析的基石，详细分析其在光滑函数和微分形式空间上的作用。我们引入Hodge分解理论的实数版本，探讨 $Delta$ 的谱性质，以及 Hodge 定理在证明存在性问题中的核心作用。第三章：椭圆型偏微分方程基础（Elliptic PDEs on Manifolds）几何问题往往转化为流形上的椭圆型方程。本章介绍关于流形上二阶线性椭圆型算子的基本理论，包括最大值原理、先验估计（如Sobolev不等式在流形上的推广）以及解的存在性。重点讨论诸如极小曲面方程、杨-米尔斯方程（不涉及复杂的规范理论，而是侧重其作为椭圆型系统的分析特性）的变分原理。第二部分：调和分析与几何算子的谱理论（Harmonic Analysis and Spectral Theory）本部分深入探讨调和分析方法在几何中的应用，特别是通过分析几何算子的谱来揭示流形的全局拓扑和几何性质。第四章：流形上的傅里叶分析与伪微分算子鉴于经典复分析中傅里叶变换的强大作用，本章探讨其在非紧流形上的推广——伪微分算子（Pseudodifferential Operators）。详细介绍其符号理论（Symbol Calculus），以及如何利用这些工具来处理微分方程的奇性和局部正则性问题。伪微分算子作为微分算子在某些意义下的“松弛化”，是现代几何分析中不可或缺的工具。第五章：几何拉普拉斯算子的谱几何本章聚焦于黎曼流形上的拉普拉斯-贝特密算子（Laplace-Beltrami Operator）。我们深入研究该算子的特征值谱，探讨谱与流形几何特征（如体积、曲率、测地线分布）之间的关系。重点讨论Weyl律的推广、热核展开的渐近分析，以及谱几何中“听出形状”（Can one hear the shape of a drum?）这一经典问题的现代分析视角。第六章：热流与演化方程本章考察与时间演化相关的几何方程，主要是热方程（Heat Equation）和波方程（Wave Equation）在黎曼流形上的行为。通过分析热核在流形上的传播，可以获得关于流形连通性、截面曲率的全局信息。我们将讨论 Ricci 流（Ricci Flow）的初步分析，着重于其光滑性和奇点形成前的局部解的存在性，避免深入到涉及复杂复结构下的共形变换。第三部分：拓扑学的分析视角与指数理论（Analytical Viewpoints on Topology）本部分将分析工具应用于经典拓扑不变量的计算与证明，侧重于指标理论及其在低维流形中的应用。第七章：向量丛、联络与陈省身示性类本章从分析角度重新审视向量丛的几何。重点关注曲率如何定义示性类。详细介绍曲率形式、Chern-Weil 理论的实数版本（如Pontryagin类），以及它们与流形上微分形式的关联。本书将强调示性类作为微分算子（如Dirac算子）指标的拓扑解释。第八章：阿蒂亚-辛格指标定理的黎曼几何基础这是本书分析几何部分的顶点。我们详细阐述椭圆型算子（特别是流形上的Dirac算子）的指标理论。虽然完整的证明需要深刻的 K-理论知识，但本章将侧重于分析框架的建立：如何利用谱对称性、热迹公式（Heat Trace Formula）和渐近展开来推导出指标的拓扑表达式。我们将聚焦于 $S^1$ 上的例子或简单流形的推广，阐明分析指标（算子核空间的维数差）如何精确地等于拓扑指标（示性类）。第九章：流形上的变分方法与极值问题本章探讨利用泛函极小化来构造几何对象，如极小曲面、极值截面。引入能量泛函、流体动力学模型（如杨-米尔斯流、爱因斯坦流）的变分原理。重点在于证明这些泛函的临界点的存在性（通过极小化序列的紧致性论证，如 Caccioppoli/Ladyzhenskaya-Uraltseva 估计）以及解的正则性。结论与展望本书旨在为读者提供一个从分析视角理解现代微分几何和拓扑学的坚实框架。它强调了偏微分方程、调和分析和谱理论作为几何学中不可替代的强大工具的地位。全书的叙述重点在于构造、估计与存在性理论，而不是复解析函数特有的性质。所采用的方法论是普适的，适用于各种具有良好结构的几何空间，并为读者后续探索更高级的分析拓扑学分支（如几何群论、非交换几何中的分析工具）铺平道路。目标读者：具有扎实泛函分析、基础偏微分方程和微分流形知识的研究生和研究人员。