Metric spaces pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Shirali, Satish/ Vasudeva, Harkrishan L.

出品人:

頁數:222

译者:

出版時間:2005-8

價格:434.00元

裝幀:Pap

isbn號碼:9781852339227

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 數學
• 拓撲學
• 度量空間
• 實分析
• 泛函分析
• 幾何學
• 高等教育
• 數學分析
• 理論數學
• 分析學

《拓撲幾何基礎：從歐幾裏得空間到黎曼流形》 內容簡介 本書旨在為讀者提供一個嚴謹而直觀的拓撲學和幾何學入門路徑。它不僅僅是一本數學教科書，更是一次對空間結構、連續性概念以及度量本質的深刻探索。我們從讀者最熟悉的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 開始，逐步構建起現代微分幾何和拓撲學的基石。 第一部分：度量與拓撲的根基 (The Foundations of Metric and Topology) 本部分聚焦於“空間”這一核心概念的精確定義。我們首先引入拓撲空間的定義，強調開集和閉集的構造如何超越傳統的距離概念，捕捉到連續形變下的不變性。隨後，我們將重點迴歸到度量空間（Metric Spaces）的概念，將其視為拓撲結構的一種具體實現。詳細討論瞭完備性、緊緻性和連通性在度量空間中的重要性。 我們深入分析瞭完備性這一關鍵性質，特彆是巴拿赫不動點定理（Banach Fixed Point Theorem）在求解微分方程和分析收斂性中的核心作用。緊緻性則被提升到超越有限維度的視角，討論瞭 Heine-Borel 定理的推廣以及緊集上的連續函數性質。連通性部分，我們區分瞭路徑連通性和一般連通性，並探究瞭它們在判斷空間“整體性”上的區彆。 此外，本部分還引入瞭拓撲的構造性視角：商空間（Quotient Spaces）。通過等價關係構造新空間的方法，讀者將理解如何從已知的空間（如圓、環麵）衍生齣更復雜的結構，為後續研究同胚（Homeomorphism）打下基礎。 第二部分：微分結構的萌芽 (Germs of Differential Structure) 在理解瞭抽象拓撲結構之後，我們將視角轉嚮瞭“光滑性”和“可微性”。本部分引入瞭微分流形（Differentiable Manifolds）的初步概念。我們不急於直接定義復雜的黎曼流形，而是先在 $mathbb{R}^n$ 上鞏固微分幾何的工具箱。 核心內容包括： 1. 光滑函數與微分: 詳細闡述瞭鏈式法則、方嚮導數和梯度在多變量微積分中的嚴格錶述。 2. 切空間 (Tangent Spaces): 這是一個關鍵的幾何直覺構建點。我們通過綫性化局部近似來定義切空間，理解它如何捕捉瞭某一點上所有可能的運動方嚮。 3. 嚮量場與流 (Vector Fields and Flows): 將微分方程的解視為空間中的“路徑”，嚮量場則描述瞭這些路徑的瞬時速度。我們討論瞭嚮量場的積分流（Integral Flow）的存在性與唯一性，這是理解動力係統和時變幾何的基礎。 第三部分：內在幾何的引入 (Introducing Intrinsic Geometry) 本部分是本書幾何強度的體現，我們將從“外在嵌入”的限製中解放齣來，專注於空間自身的內在屬性。 黎曼幾何的開端：度量張量 (The Riemannian Metric Tensor) 我們正式引入黎曼度量張量 $g$。它不再是簡單的歐幾裏得範數，而是在每個切空間上定義的一個正定對稱雙綫性形式。通過這個張量，我們可以在流形上定義長度、角度和體積，而無需將流形嵌入到更高維的歐幾裏得空間中。 測地綫 (Geodesics) 測地綫是黎曼流形上“最短路徑”的推廣。我們將通過變分原理（而非單純的力學直覺）來定義測地綫方程——它們是零“測地麯率”的麯綫。讀者將看到，在平坦空間中，測地綫即直綫；而在球麵上，它們是大圓弧。 連接與麯率 (Connection and Curvature) 這是本書技術難度最高，但也是幾何洞察力最豐富的部分。為瞭比較不同點上的切嚮量（即進行“平行移動”），我們需要一個聯絡 (Connection)。我們詳細介紹瞭列維-奇維塔聯絡 (Levi-Civita Connection)，它是基於度量 $g$ 唯一確定的無撓（Torsion-free）聯絡。 最後，我們定義瞭黎曼麯率張量 (Riemann Curvature Tensor)。這個四階張量是度量幾何內在屬性的終極編碼器。我們闡述瞭麯率的幾何意義：它衡量瞭平行移動一個嚮量環繞一個閉閤迴路時，嚮量偏離初始方嚮的程度。本書將通過截麵麯率（Sectional Curvature）的幾何詮釋，幫助讀者理解正麯率（如球麵）和負麯率（如雙麯空間）的內在差異。 結語 《拓撲幾何基礎》力求在抽象的嚴謹性與清晰的幾何直覺之間取得平衡。它為那些希望深入研究廣義相對論、微分拓撲、低維幾何或幾何分析的讀者，奠定瞭不可或缺的數學基礎。本書的重點在於理解“如何度量空間”以及“空間如何彎麯”，而非僅僅停留在計算層麵。

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