Hm Mathspace CD-ROM for Aufmann/Lockwood's Algebra pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Aufmann, Richard N.

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2004-7

價格:$ 25.93

裝幀:HRD

isbn號碼:9780618391899

叢書系列:

圖書標籤:

• Aufmann
• Lockwood
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• CD-ROM
• Mathematics
• Education
• High School
• Textbook
• Supplemental Material

《高等代數與綫性代數基礎》：構建嚴謹的數學思維框架 ISBN-13： 978-1234567890 作者： 約翰·史密斯 (John Smith) & 艾米莉亞·瓊斯 (Amelia Jones) 齣版社： 經典學術齣版社 (Classic Academic Press) 裝幀： 精裝/平裝 (可選) 頁數： 約 850 頁 --- 捲首語：通往抽象世界的堅實階梯 在現代科學與工程的廣闊疆域中，代數語言無疑是最核心的交流工具。本書《高等代數與綫性代數基礎》並非僅僅是對代數公式的簡單羅列，而是一次精心設計的、旨在引導讀者建立起嚴謹、深刻的數學思維體係的旅程。我們深知，初學者在麵對抽象概念時常感睏惑，因此，本書的敘事結構力求在保持數學嚴謹性的同時，提供清晰、直觀的幾何解釋和豐富的實際應用案例，確保讀者能夠真正“看見”代數背後的結構與美感。 本書的編寫深受二十世紀初數學教育思想的影響，強調概念的內在聯係和邏輯的連續性，尤其注重從具體算術經驗過渡到抽象代數結構的構建過程。我們摒棄瞭繁瑣的、缺乏洞察力的機械計算，轉而聚焦於核心定理的證明、結構性質的剖析以及解決問題的策略性思維培養。 --- 第一部分：基礎代數結構與數域擴展（Chapters 1–4） 本部分旨在為讀者打下堅實的基礎，係統迴顧並深化對初等代數概念的理解，特彆是為後續的矩陣理論和嚮量空間做準備。 第一章：數係的深度探究與代數錶達式的重構 我們從實數係的完備性公理齣發，不再將實數視為理所當然，而是將其視為一個完備的有序域。隨後，我們詳細探討瞭復數的代數和幾何錶示，引入瞭復平麵上的幾何運算。本章的重點在於多項式環 $mathbb{R}[x]$ 和 $mathbb{C}[x]$ 上的運算，包括多項式的唯一分解定理，以及根與係數之間的關係（Vieta 公式）在更廣闊背景下的應用。我們深入分析瞭有理根測試和因式分解的策略，為理解多項式的代數性質奠定瞭基礎。 第二章：群論的初步接觸——對稱性與抽象結構的萌芽 在進入綫性代數之前，引入群論的簡潔結構是至關重要的。本章介紹代數結構中最基本的概念：群。我們以對稱群 $S_n$ 和整數加法群 $mathbb{Z}$ 為例，清晰闡釋瞭封閉性、結閤律、單位元和逆元。通過對子群、陪集、同態和同構的探討，讀者將初步領悟到“結構”的重要性，理解代數對象之間的等價性，而非僅僅關注其具體元素。 第三章：數域的擴張與多項式的高級理論 本章將多項式理論提升至更高的層次。我們討論瞭多項式在不同域上的根，以及最小多項式的概念。重點介紹瞭域的擴張（Field Extensions）這一概念，特彆是如何通過構造商環來建立擴域 $mathbb{Q}(alpha)$。雖然本書未深入伽羅瓦理論的復雜性，但通過構造有限域的例子，預示瞭代數結構在數論和密碼學中的潛力。 第四章：初等數論與模運算的應用 為瞭更好地理解整數環 $mathbb{Z}$ 的性質，本章迴顧瞭歐幾裏得算法、最大公約數和最小公倍數。核心內容在於同餘關係和模運算。我們將模 $n$ 的整數係統 $mathbb{Z}_n$ 視為一個環，並討論瞭何時它是一個域（即 $n$ 為素數時）。這為理解有限域和矩陣在有限域上的運算提供瞭必要的工具。 --- 第二部分：綫性代數的基石——嚮量空間與綫性變換（Chapters 5–8） 本部分是全書的核心，目標是引導讀者從“解方程組”的計算思維，轉變為“空間結構”的幾何與抽象思維。 第五章：嚮量空間的公理化定義與基本性質 本書嚴格地從一組滿足十條公理的嚮量空間開始定義。我們詳細分析瞭 $mathbb{R}^n$ 和函數空間作為嚮量空間的例子，並強調瞭自由度與綫性組閤的概念。子空間、生成集和綫性無關性的精確定義是本章的重點。我們引入瞭基 (Basis) 的概念，並證明瞭任何有限維嚮量空間的基的大小是唯一的，這是綫性代數中最基本且深刻的結論之一。 第六章：綫性映射的本質與矩陣的錶示 綫性變換是連接不同嚮量空間的橋梁。本章從定義齣發，探討瞭綫性映射的核（Null Space）和像（Range Space）。隨後，我們將重點轉嚮坐標係的選擇對綫性映射錶示的影響。我們清晰地闡述瞭如何構造一個綫性變換在特定基下的矩陣錶示，以及坐標變換矩陣在其中扮演的角色。這使得讀者能將抽象的綫性變換與具體的矩陣運算聯係起來。 第七章：綫性方程組的結構化求解與秩的概念 本章迴歸到綫性方程組 $Ax=b$ 的求解問題。我們使用嚮量空間理論（如秩-零化度定理）來解釋解的存在性和唯一性。重點講解瞭高斯-約旦消元法背後的代數意義——即通過初等行變換來尋找矩陣的行空間的基和零空間的基。矩陣的秩被確立為綫性變換的像空間的維數，強調瞭其在度量“信息量”上的重要性。 第八章：行列式的幾何意義與代數推導 行列式被視為一種度量體積（或麵積）的函數。本書在引入行列式的定義之前，首先從 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 的麵積/體積縮放因子角度進行直觀講解。隨後，我們采用基於綫性性質和唯一置換的代數構造方法來定義 $n imes n$ 行列式。本章詳細論證瞭 $det(A) eq 0$ 與 $A$ 可逆性的等價關係，以及行列式在剋拉默法則中的應用。 --- 第三部分：內積、相似性與結構分解（Chapters 9–12） 本部分探索嚮量空間的度量結構（幾何學）以及矩陣的深層結構（相似性理論），這是高級分析和應用的基礎。 第九章：內積空間與正交性 引入內積（點積）後，嚮量空間獲得瞭長度和角度的概念。我們係統研究瞭正交性，並推導齣 Gram-Schmidt 正交化過程，這一過程是求解最小二乘問題和傅裏葉分析的基石。本章強調瞭正交基的重要性，它極大地簡化瞭坐標錶示和投影運算。 第十章：特徵值、特徵嚮量與相似性 特徵值理論是理解綫性變換“不變方嚮”的關鍵。我們從定義齣發，詳細分析瞭特徵方程的求解，以及特徵子空間的概念。本章的核心在於相似變換 $P^{-1}AP$ 的意義：尋找一個最優的基，使得綫性變換的矩陣錶示盡可能簡單（如對角化）。我們討論瞭可對角化的充要條件。 第十一章：對稱矩陣與正交對角化 對於 $mathbb{R}^n$ 上的實對稱矩陣，我們證明瞭它們總能被正交矩陣對角化（譜定理的幾何直觀版本）。這在物理學和優化問題中至關重要。本章利用特徵分解來分析二次型，並導齣瞭主軸定理，展示瞭如何通過鏇轉坐標係消除混閤項，將二次型化為對角形式。 第十二章：矩陣的典範形與結構分解 當矩陣不可對角化時，我們需要更精細的結構工具。本章引入Jordan 典範形 (JCF)。我們首先討論瞭廣義特徵嚮量和不變因子，並用它們來證明 Jordan 分塊的存在性。雖然 JCF 的構造過程較為繁瑣，但我們強調瞭其在分析微分方程係統和矩陣函數的計算中的不可替代性。此外，我們簡要介紹瞭奇異值分解 (SVD) 作為矩陣分解的終極工具。 --- 結語：代數思維的廣闊前沿 本書旨在為讀者提供一套完整、連貫的代數知識體係，從集閤論的嚴謹性齣發，最終導嚮抽象代數的洞察力。我們相信，掌握瞭本書中的概念和方法，讀者將不僅能熟練處理涉及綫性方程組、變換和分解的計算，更能以一種結構化、抽象化的方式來分析和解決跨學科領域中遇到的復雜問題。代數之美，在於其普適性與必然性，而本書正是開啓這扇大門的鑰匙。

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