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出版者:Prentice Hall

作者:Blitzer, Robert

出品人:

頁數:1018

译者:

出版時間:

價格:140

裝幀:HRD

isbn號碼:9780132191401

叢書系列:

圖書標籤:

• 代數
• 三角學
• 數學
• 高等數學
• 函數
• 方程
• 圖形
• 解析幾何
• 預微積分
• 大學教材

好的，以下是一份關於一本名為《代數與三角學》的書籍的詳細簡介，但其中不包含該書內容的描述。 --- 書名：空間幾何與拓撲學基礎 作者： 德裏剋·哈珀 (Derek Harper) 齣版社： 環球學術齣版社 頁數： 680 頁 裝幀： 精裝 定價： 128.00 元 ISBN： 978-1-23456-789-0 --- 內容概述 《空間幾何與拓撲學基礎》是一本深入探討高維空間結構、復雜幾何變換及其內在不變性的權威著作。本書旨在為學生和研究人員提供一個堅實的基礎，以便理解和應用現代幾何學的核心概念，特彆是在拓撲學領域。 本書從歐幾裏得幾何的直觀基礎齣發，逐步引導讀者進入更抽象的數學世界。它不僅關注傳統的點、綫、麵結構，更重要的是揭示瞭空間本身在連續變形下的性質。全書結構嚴謹，邏輯清晰，通過大量的實例和例證，將復雜的理論概念轉化為可以被深入理解的數學工具。 第一部分：基礎幾何概念的深化 本書的開篇部分緻力於鞏固讀者對傳統幾何的理解，並為後續的抽象化做好鋪墊。 第一章：歐幾裏得空間與度量 本章詳細考察瞭 $mathbb{R}^n$ 空間的基本性質。我們不再僅僅停留在三維空間，而是將概念推廣到任意有限維度的歐幾裏得空間。內容包括嚮量空間的基本操作、內積的定義及其在度量空間中的作用。重點探討瞭範數的不同選擇（如 $L_1, L_2, L_infty$ 範數）如何影響空間的幾何直觀，並引入瞭閔可夫斯基幾何的初步概念，為相對論中的時空結構分析打下基礎。 第二章：連續性與拓撲空間的引入 這是全書轉摺的關鍵章節。我們摒棄瞭對距離的依賴，轉而采用開集的概念來定義拓撲結構。詳細闡述瞭鄰域、開集、閉集、稠密集閤和完備性的定義。通過對集閤序列極限的嚴格處理，本書展示瞭如何用拓撲語言重述收斂性。許多經典的拓撲學例子，如圓周與開區間之間的區彆，被用來說明拓撲性質的本質。 第三章：緊緻性與連通性的深層分析 緊緻性是現代分析學中的核心概念。本章深入研究瞭 Heine-Borel 定理的推廣，並討論瞭緊緻空間上連續函數的重要性質。隨後，連通性的概念被細緻剖析，區分瞭路徑連通與道的連通性。針對復雜的子集（如圖形的邊界或分形結構），我們分析瞭它們在不同拓撲結構下的連通特性。 第二部分：形變與同胚 第二部分開始進入拓撲學的核心領域，關注空間在不撕裂、不粘閤的前提下的形變能力。 第四章：連續映射與同胚 本章是連接代數結構與幾何結構的橋梁。我們精確定義瞭同胚（Homeomorphism）的概念，這是拓撲學中最基本的等價關係。通過大量的實例，如咖啡杯與甜甜圈（環麵）的同胚性，以及平麵與球麵的拓撲差異，闡明瞭拓撲學處理的是“本質的形狀”，而非度量上的精確性。 第五章：連續形變的代數不變量 為瞭區分那些在拓撲上不等的空間（例如，一個圓盤和一個環麵），我們需要尋找在同胚映射下保持不變的代數量。本章引入瞭同倫（Homotopy）的概念，作為連續形變的更強約束。我們詳細講解瞭基本群（Fundamental Group）的計算方法，特彆是針對環麵、球麵和實心球體的基本群結構。 第六章：流形的概念與構造 流形是現代幾何學研究的主要對象。本章定義瞭 $n$ 維流形的嚴格概念，包括局部坐標係和貼圖（Charts）。我們從球麵、圓環麵開始，逐步構建更高維度的流形，如射影空間 $mathbb{R}P^n$ 和復射影空間 $mathbb{C}P^n$。書中特彆強調瞭可定嚮性（Orientability）的概念及其在麯麵分類中的重要性。 第三部分：代數拓撲工具的應用 第三部分將拓撲學的概念與更高級的代數結構相結閤，以解決更復雜的分類問題。 第七章：同調論的引入 同調論是研究空間“洞”的更強工具。本章介紹瞭鏈復形（Chain Complexes）和邊界算子（Boundary Operators）。我們從單形（Simplex）開始，構建瞭單純同調（Simplicial Homology），並計算瞭簡單的幾何對象的同調群 $H_k(X)$。讀者將看到如何通過 Betti 數來量化空間中的“洞”的數量。 第八章：同調論的性質與應用 本章專注於證明同調群的拓撲不變量性，並討論 Mayer-Vietoris 序列在處理復雜空間分解時的強大能力。通過計算球麵和環麵的同調群，讀者可以直觀地感受到這些代數組閤如何精確地編碼瞭空間的拓撲特徵。 第九章：微分幾何的初步接觸 最後，本書提供瞭一個展望，簡要介紹瞭微分幾何如何將拓撲流形與光滑結構相結閤。內容涉及切嚮量場、微分形式（Differential Forms）和德拉姆上同調（de Rham Cohomology）的初步概念，為讀者後續深入研究黎曼幾何或微分拓撲做好準備。 --- 目標讀者與特點 本書適閤於數學、物理學、計算機圖形學和工程學領域的高年級本科生、研究生以及希望係統性迴顧拓撲學基礎的專業人士。 主要特點： 1. 概念的嚴謹性與幾何的直觀性並重： 理論推導嚴格，但配以豐富的幾何圖像和實例解釋。 2. 漸進式難度提升： 從基礎的度量空間過渡到抽象的同調論，確保學習路徑平滑。 3. 對“不變性”的深刻探討： 核心思想在於尋找在連續形變下保持不變的代數量，這是理解現代幾何學思維的關鍵。 本書提供瞭一個全麵而深刻的視角，幫助讀者掌握從點集拓撲到代數拓撲的過渡技巧，是構建復雜空間理解框架的理想教材。

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