具体描述
This is a revised and expanded edition of a successful graduate and reference text. The book is designed for a standard graduate course on probability theory, including some important applications. The new edition offers a detailed treatment of the core area of probability, and both structural and limit results are presented in detail. Compared to the first edition, the material and presentation are better highlighted; each chapter is improved and updated.
好的，以下是一本名为《现代概率论与随机过程基础》的图书简介，其内容侧重于概率论的严格基础、现代统计推断的应用以及随机过程在实际问题中的建模： --- 现代概率论与随机过程基础 (Foundations of Modern Probability Theory and Stochastic Processes) 作者： [此处留空，模拟真实出版物风格] 出版社： [此处留空，模拟真实出版物风格] 图书概述 本书旨在为读者提供一个全面且严谨的概率论基础，并深入探讨随机过程的建模与分析。与侧重于经典概率计算或传统数理统计的教材不同，《现代概率论与随机过程基础》将视角聚焦于概率论的公理化结构、测度论在现代概率论中的核心地位，以及如何运用随机过程工具解决复杂的工程、金融、物理和生物学问题。 本书结构清晰，由浅入深，首先为读者打下坚实的测度论基础，这是理解现代概率论的先决条件。随后，内容将过渡到经典概率概念的测度论重构，包括随机变量、期望、条件期望以及大数定律和中心极限定理的现代证明。本书的后半部分则专注于随机过程，系统性地介绍马尔可夫链、泊松过程、布朗运动（维纳过程）及其在连续时间模型中的应用，尤其是伊藤积分的初步概念。 本书的特色在于其对理论深度与实际应用的平衡。每一章都包含大量精心设计的习题，旨在巩固理论理解，并引导读者思考概率论在解决实际问题中的潜力。 目标读者 本书主要面向以下读者群体： 1. 数学、统计学、物理学及工程学的高年级本科生和研究生： 需要建立起对现代概率论严格基础的深刻理解。 2. 金融工程与量化分析从业者： 需要掌握随机微积分和布朗运动等工具进行衍生品定价和风险管理。 3. 计算机科学与信息论研究人员： 需要理解随机过程在算法分析、排队论和信息传输中的应用。 4. 需要深化理论基础的精算师和数据科学家： 寻求超越描述性统计，深入理解随机现象背后的深层机制。 核心内容章节详解 第一部分：概率论的测度论基础 (Foundations in Measure Theory) 本部分为全书的理论基石，强调概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 的严格定义。 第1章：集合代数与 $sigma$-代数 本章详细介绍集合论的基本概念，并严格定义 $sigma$-代数（Borel $sigma$-代数）。讨论 $sigma$-代数的生成性、可测函数、以及可测集族的性质。引入生成元定理，为后续概率测度的构造奠定基础。 第2章：测度与外测度 从 Carathéodory 外测度构造出发，建立勒贝格测度（Lebesgue Measure）的严格定义。讨论测度的可加性、可数可加性以及单调类定理在测度扩展中的应用。 第3章：概率测度的构建 将测度的概念推广到概率空间。定义随机变量为可测函数，并详细讨论分布函数（CDF）的性质。引入概率测度的存在性与唯一性问题，为定义期望打下基础。 第二部分：随机变量、期望与极限定理 (Random Variables, Expectation, and Limit Theorems) 本部分将经典概率论的概念提升至测度论的框架下进行重新审视。 第4章：随机变量与积分 严格定义随机变量的分布、联合分布和条件分布。深入讲解勒贝格积分与黎曼积分的关系，并将其应用于定义随机变量的期望 $E[X]$。探讨期望的性质，包括 Fubini-Tonelli 定理在计算联合期望中的应用。 第5章：条件期望与鞅论的萌芽 这是本书的理论难点之一。本章详述条件期望 $E[X|mathcal{G}]$ 的测度论定义，强调其作为投影算子的角色。介绍鞅（Martingale）、子鞅（Submartingale）和超鞅（Supermartingale）的定义，并简要讨论其在最优停时问题中的初步应用。 第6章：大数定律与中心极限定理 本章集中于概率论的收敛性。详细介绍依概率收敛、几乎必然收敛以及 $L^p$ 收敛之间的关系。提供强大数定律（Strong Law of Large Numbers）的严格证明，并阐述中心极限定理（Central Limit Theorem）在一般概率空间下的推广形式。 第三部分：随机过程导论 (Introduction to Stochastic Processes) 本部分转向时间依赖的随机现象的建模，重点在于随机过程的分类与基本性质。 第7章：随机过程的定义与分类 定义随机过程 ${X_t}_{t in T}$，并根据参数集 $T$ 和状态空间进行分类。详细讨论样本路径的性质，包括连续性、可测性。引入有限维分布的概念。 第8章：马尔可夫链 (Markov Chains) 系统研究离散时间马尔可夫链（DTMC）。详细分析转移概率矩阵、分类（常返、暂留、瞬态）、不可约性以及平稳分布的存在性与唯一性。探讨状态空间的遍历性与极限行为。 第9章：连续时间马尔可夫过程与泊松过程 将马尔可夫性扩展到连续时间（CTMC）。着重分析生成元矩阵和 Kolmogorov 前向/后向方程。随后，本书聚焦于最基本的连续时间过程——泊松过程，研究其增量独立性与平稳性，并将其应用于初级排队论模型的构建。 第10章：布朗运动与随机微积分的初步 本章介绍布朗运动（Wiener Process）的严格构造和关键性质，包括独立增量、平稳增量和二次变分。这是连接经典概率论与现代金融数学的关键桥梁。初步探讨随机积分（Itô Integral）的概念，理解其与黎曼积分的根本区别，并介绍 Itô 公式在布朗运动函数上的应用。 本书的特色与优势 1. 严谨性与现代性并重： 本书基于测度论为概率论提供了一个坚实且现代的数学框架，避免了对“直觉”的过度依赖。 2. 理论与应用的深度融合： 每一部分在建立严格理论的同时，都配有至少一个应用实例，例如利用鞅论分析赌博策略，或利用布朗运动模拟资产价格波动。 3. 清晰的逻辑结构： 内容组织遵循从静态空间（概率测度）到动态演化（随机过程）的自然发展路径，确保读者能构建起完整的知识体系。 4. 强调证明技巧： 大量关键定理的证明过程被详细展示，帮助读者掌握高等数学分析中的核心证明技术。 通过学习本书，读者将不仅掌握描述和分析随机现象的强大工具，更能深刻理解概率论作为一门数学分支的内在美感和普适性。
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