Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Morgan & Claypool

作者:Joshi, M. C.

出品人:

頁數:276

译者:

出版時間:

價格:59.95

裝幀:HRD

isbn號碼:9781842653067

叢書系列:

圖書標籤:

• 常微分方程
• 微分方程
• 數學
• 高等數學
• 工程數學
• 數值分析
• 數學分析
• 應用數學
• 科學計算
• 數學建模

深入解析復雜係統的動力學行為：一本專注於偏微分方程的專著 圖書名稱： Advanced Partial Differential Equations: Modeling and Analysis 內容簡介： 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的視角，探討偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）在描述和分析各種復雜物理、工程和生物係統中的核心作用。與關注一元時間演化的常微分方程不同，本書的焦點完全集中在涉及多變量、多維度空間的偏微分方程理論、求解方法與實際應用上。我們堅信，隻有掌握瞭描述空間和時間共同作用的PDE，纔能真正理解諸如流體運動、熱量傳導、波的傳播、場論以及復雜結構形變等現象的本質。 本書的結構設計旨在平衡嚴格的數學理論與廣泛的實際應用，確保讀者在建立嚴謹的分析能力的同時，也能感受到PDE在現代科學前沿中的強大驅動力。全書共分為六大部分，涵蓋瞭從經典方程到前沿研究領域的關鍵主題。 第一部分：基礎理論與經典方程的重審 本部分首先迴顧瞭建立PDE理論的必備數學基礎，包括泛函分析中的Sobolev空間、分布理論（特彆是測度論在弱解概念建立中的作用）以及必要的分數階微積分概念迴顧。隨後，我們將重點深入分析三大經典方程組——橢圓型、拋物綫型和雙麯型方程。 對於橢圓型方程（如拉普拉斯方程和泊鬆方程），我們不僅僅討論經典解的存在性和唯一性，更側重於通過變分原理（Variational Principles）來構造弱解，並探討Dirichlet問題和Neumann問題的解的正則性（Regularity Theory），包括Schwartz的梯度估計和Holder連續性結果。 拋物綫型方程部分，我們將聚焦於熱傳導和擴散過程。重點分析拋物方程的初邊值問題，探討諸如半群理論（Semigroup Theory）在無限維動力學係統中的應用，以及解的穩定性和漸近行為的分析方法，特彆是Kolmogorov-Fokker-Planck方程在統計物理中的意義。 雙麯型方程，如波動方程和輸運方程，是理解波現象和因果律的關鍵。本部分將深入探討特徵綫方法（Method of Characteristics）在綫性雙麯方程中的應用，並針對擬綫性雙麯方程（如Burgers方程），引入Lax-Friedrichs格式等數值方法，以處理衝擊波和不連續解的齣現。 第二部分：非綫性PDE的挑戰與現代工具 非綫性方程是描述自然界復雜性的主要語言。本部分將集中精力介紹分析非綫性PDE所依賴的關鍵現代數學工具。我們詳細闡述變分方法在非綫性橢圓方程中的應用，特彆是處理非凸能量泛函時需要采用的Minimax原理和山路定理（Mountain Pass Theorem）。 對於高度非綫性的方程，例如Navier-Stokes方程組（描述不可壓縮牛頓流體），我們將探討其解的平滑性問題（Smoothness Issues），迴顧Leray-Hopf的弱解存在性結果，並深入討論韆禧年難題之一——3D Navier-Stokes方程解的全局存在性與光滑性的懸而未決的挑戰。 第三部分：演化係統與動力學 本部分轉嚮處理隨時間演化的偏微分係統。我們將分析反應-擴散係統（Reaction-Diffusion Systems），例如Fisher-KPP方程和Turing斑圖理論，探討模式形成（Pattern Formation）的機製。核心內容包括行波解（Traveling Wave Solutions）的穩定性分析，以及利用不動點定理（Fixed Point Theorems）來保證這些動態解的存在性。 此外，我們將探討半綫性和擬綫性方程的解的穩定性分析。例如，使用能量方法和Lyapunov函數來證明受迫或耗散係統的漸近穩定狀態。 第四部分：幾何PDE與微分幾何的交匯 本部分探索PDE在幾何學中的深刻應用。我們將深入研究Mean Curvature Flow（平均麯率流），它在錶麵演化、細化和收縮中的作用，並討論其在麯麵平均化中的應用。重點內容包括麯麵上的橢圓算子（如Laplace-Beltrami算子）的譜理論，以及關於Yamabe問題和高維空間中穩定極小麯麵的存在性研究。 第五部分：隨機性與隨機偏微分方程（SPDEs） 現代科學對不確定性的處理要求我們引入隨機性。本部分將介紹隨機場、Wiener過程和隨機積分（Itô積分）的基本概念，並將其應用於隨機偏微分方程（SPDEs）的構建。我們將分析具有加性噪聲或乘性噪聲的隨機熱方程和隨機波動方程，探討其解的遍曆性、矩估計，以及如何利用抽象的隨機半群理論來處理此類係統。 第六部分：數值方法與計算建模 理論分析必須輔以有效的數值實現。本部分將聚焦於求解復雜PDE的計算技術，而不是處理簡單的離散化。我們將詳細分析有限元方法（Finite Element Method, FEM）的理論基礎，包括插值誤差估計和離散拉普拉斯算子的最優收斂率。此外，還將介紹有限差分方法（FDM）的高階格式設計，以及用於處理大規模非綫性問題的迭代求解器，如預處理技術和多網格方法（Multigrid Methods）。 本書的目標讀者是具有紮實微積分和綫性代數基礎的研究生、博士後研究人員以及需要深入瞭解偏微分方程理論和應用的研究工程師。通過對這些核心概念和前沿問題的係統梳理，讀者將能夠獨立構建、分析和求解描述復雜物理世界的數學模型。

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