具体描述
This volume includes papers by leading mathematicians in the fields of stochastic analysis, white noise theory and quantum information, together with their applications. The papers selected were presented at the International Conference on Stochastic Analysis: Classical and Quantum held at Meijo University, Nagoya, Japan from 1 to 5 November 2004. The large range of subjects covers the latest research in probability theory.
现代数学与应用前沿系列丛书：非线性动力学与混沌系统导论 本书聚焦于复杂系统的核心研究领域——非线性动力学与混沌系统，为读者提供一套严谨而富有洞察力的理论框架与实用的分析工具。 本书旨在弥合纯粹数学理论与复杂物理、工程、生物现象之间的鸿沟，深入探讨那些对初始条件极端敏感的系统的演化规律、内在结构及其不可预测性。 第一部分：动力系统的基础几何与拓扑 本书的开篇将奠定扎实的数学基础。我们首先从相空间（Phase Space）的概念出发，详细阐述一流形（Manifold）的结构如何描述系统的所有可能状态。重点介绍微分方程在描述连续时间演化中的核心作用，特别是自治系统（Autonomous Systems）的相图分析。 随后，我们将深入探讨拓扑动力学的基本工具。这包括对流（Flow）的性质研究，如何利用不变集（Invariant Sets）——如平衡点、周期轨道（极限环）——来刻画系统的长期行为。特别地，我们将详细解析稳定性理论，从李雅普诺夫意义上的稳定性（Lyapunov Stability）到渐近稳定性（Asymptotic Stability），并引入线性化方法来分析临界点附近的局部行为，为后续的非线性分析做准备。 第二部分：分岔理论与定性变化 非线性系统的最迷人之处在于其定性行为的突变性，这正是分岔理论（Bifurcation Theory）所关注的核心。本书系统梳理了不同类型的经典分岔： 1. 鞍结分岔（Saddle-Node Bifurcation）：分析平衡点如何出现或消失。 2. 超临界与次临界霍普夫分岔（Supercritical and Subcritical Hopf Bifurcation）：研究周期振荡（极限环）的产生与消失机制，这是理解振荡器和生物节律的关键。 3. 间歇分岔（Saddle-Node on an Invariant Circle）：探讨系统如何从稳定状态过渡到周期振荡，再到更复杂的行为。 我们不仅停留在理论描述，更会结合范式图（Normal Forms）和中心流形理论（Center Manifold Theory），展示如何将高维复杂系统降维到决定其动力学本质的低维子空间进行有效分析。 第三部分：混沌的几何与测度 本书的重头戏在于对混沌（Chaos）现象的深入剖析。我们将区分确定性混沌（Deterministic Chaos）与随机性，强调确定性系统如何产生看似随机的行为。 几何视角： 混沌系统的关键特征——对初始条件的敏感依赖性——通过庞加莱截面（Poincaré Sections）得到了直观的展现。我们将详细分析庞加莱截面如何揭示吸引子的内在结构，特别是奇异吸引子（Strange Attractors）的几何特性。 测度视角： 我们引入了现代动力学中衡量混沌强度的核心工具： 1. 李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）：定义和计算正的李雅普诺夫指数如何表征系统的指数级分离速度。 2. 庞加莱测度（Poincaré Measure）与分维（Fractal Dimension）：介绍豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension）和关联维数（Correlation Dimension），用以量化奇异吸引子这一“无限复杂”结构的量化度量。 第四部分：经典模型与应用案例 为了将理论具象化，本书随后转向对几个里程碑式非线性系统的深入研究： 1. 洛伦兹系统（Lorenz System）：作为气象学中的湍流模型，详细剖析其著名的“蝴蝶”吸引子的形成过程，以及对拓扑混合性（Topological Mixing）的展示。 2. 罗森布拉特系统（Rössler System）：一个结构相对简单却能展现复杂混沌的例子，用于清晰演示倍周期分岔序列（Period-Doubling Cascade）通往混沌的路径，并连接到费根鲍姆常数（Feigenbaum Constants）。 3. 生物与化学振荡器：探讨如范德波尔振荡器（Van der Pol Oscillator）和洛特卡-沃尔泰拉模型（Lotka-Volterra Model）在非线性激发和阻尼下的周期性与混沌行为。 第五部分：拓扑不变量与耗散系统 最后，本书探讨了在复杂系统演化中保持不变的量，这对于区分拓扑结构至关重要。我们将介绍拓扑共轭（Topological Conjugacy）的概念，以及如何利用庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）在向量场中理解关键点的分布。对于耗散系统（Dissipative Systems），我们将讨论体积收缩的性质，以及为什么这些系统的长期演化最终会被限制在低维的吸引子集合上，解释了为何复杂系统的复杂性可以在一个受限的空间内被捕捉和分析。 本书特点： 本书内容组织严密，从基础分析工具逐步过渡到高级混沌理论，辅以丰富的数学推导和清晰的几何解释。它不仅仅是一本理论教科书，更是一本面向研究人员和高年级本科生、研究生的工具书，旨在培养读者运用非线性方法解决实际复杂问题（如工程控制、流体力学、生态建模等）的能力。全书力求在严谨性与直观性之间取得完美的平衡。
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