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出版者:Springer

作者:Gyori, Ervin (EDT)/ Katona, Gyula O. H. (EDT)/ Lovasz, Laszlo (EDT)

出品人:

頁數:405

译者:

出版時間:2006-05-05

價格:USD 125.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540323778

叢書系列:

圖書標籤:

• 集閤論
• 圖論
• 數論
• 離散數學
• 組閤數學
• 數學基礎
• 高等數學
• 數學教材
• 數學科普
• 數學

離散數學的深度探索：代數、拓撲與計算的交織 本書《離散結構：代數、拓撲與計算》旨在為讀者提供一套全麵且深入的離散數學框架，重點關注那些在現代計算機科學、理論物理以及純數學領域中發揮核心作用的結構和方法。我們避開瞭對集閤論的常規羅列，轉而將重點放在更具應用性和理論深度的領域——代數結構、拓撲空間的基本概念以及計算復雜性理論的數學基礎。 全書共分為四個主要部分，每個部分都建立在清晰的數學定義和嚴謹的邏輯推導之上，旨在培養讀者解決復雜抽象問題的能力。 --- 第一部分：抽象代數基礎與編碼理論 本部分聚焦於代數結構，但視角超越瞭基礎群論和環論的初級介紹。我們從格理論（Lattice Theory）的視角重新審視布爾代數，探討其在形式邏輯和電路設計中的應用。重點在於有界格（Bounded Lattices）的性質，以及如何利用同態定理（Homomorphism Theorems）來理解不同代數結構間的映射關係。 隨後，我們深入到域論（Field Theory）的早期概念，特彆關注有限域（Finite Fields），即伽羅瓦域 $mathbb{F}_q$ 的構造和性質。我們將詳細闡述如何利用多項式環來構造這些域，這對於理解現代密碼學（如橢圓麯綫密碼學的基礎）至關重要。 緊接著，本書引入編碼理論（Coding Theory）的數學骨架。我們將介紹綫性分組碼（Linear Block Codes），側重於漢明碼（Hamming Codes）的構造和完美性。從數學角度分析最小距離（Minimum Distance）的概念如何決定糾錯能力，並引入伴隨矩陣（Parity Check Matrices）和伴隨（Syndromes）的計算，展示綫性代數在信息保障中的直接應用。此部分不涉及具體的應用軟件實現，而是完全專注於其背後的代數結構和信息論的數學約束。 --- 第二部分：拓撲空間的幾何直覺與不動點理論 本部分將讀者從純代數的嚴謹性中引嚮更具幾何直覺的拓撲學。我們避免瞭過於復雜的微分幾何，而是專注於點集拓撲（Point-Set Topology）的核心概念，並將其與離散結構聯係起來。 我們將從度量空間（Metric Spaces）齣發，構建開集（Open Sets）、閉集（Closed Sets）和緊緻性（Compactness）的嚴格定義。緊緻性的探討將側重於其在分析學中的重要性，例如，它如何保證連續函數在閉區間上的最大值存在性。 隨後，我們將引入同胚（Homeomorphism）的概念，並用它來區分不同拓撲空間的基本性質，例如，區分平麵區域與環麵（僅用拓撲工具）。 此部分的高潮在於不動點理論（Fixed Point Theory）的介紹。我們將詳細討論布勞威爾不動點定理（Brouwer Fixed-Point Theorem）的二維和三維版本，但不會深入到高維分析或代數拓撲。重點在於理解該定理如何作為一種存在性論證工具，在經濟學和博弈論中的深刻含義，例如納什均衡的存在性論證的數學基礎。我們著重於拓撲的可壓縮性（或不可壓縮性）如何決定不動點的必然性。 --- 第三部分：圖論的結構分析與網絡流理論 本部分迴歸到圖論，但其深度遠超基礎連通性和歐拉路徑的介紹。我們將圖結構視為一種特殊的離散空間，並運用代數和組閤優化工具進行分析。 我們重點研究代數圖論（Algebraic Graph Theory）的初步概念，特彆是圖的鄰接矩陣（Adjacency Matrix）和拉普拉斯矩陣（Laplacian Matrix）的譜性質。我們將分析特徵值和特徵嚮量如何揭示圖的連通性、劃分結構以及是否存在“瓶頸”（cuts）。例如，如何利用拉普拉斯矩陣的零特徵值數量來確定連通分量的數量。 隨後，本書深入到網絡流理論（Network Flow Theory）的數學核心。我們將嚴格推導最大流最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem），使用Ford-Fulkerson算法的數學框架（而非具體的編程實現細節）來證明其有效性。重點在於理解流（flow）和割（cut）之間的對偶關係，這種關係在資源分配和網絡設計中具有基礎性意義。 最後，本部分會觸及匹配理論（Matching Theory），特彆是霍爾婚姻定理（Hall's Marriage Theorem）的組閤證明，展示其與二分圖結構之間的內在聯係。 --- 第四部分：計算復雜性與可判定性 本部分將離散數學的成果提升到理論計算機科學的層麵，探討計算的極限。本書的這一部分是純粹的數學建模，專注於定義和證明，而非算法實現。 首先，我們將詳細構建圖靈機（Turing Machines）的形式化模型。這一建模過程側重於其作為通用計算設備的數學抽象，分析其狀態轉換規則和讀寫頭操作的精確性。 接著，我們將引入可判定性（Decidability）的概念。我們將對停機問題（Halting Problem）的不可解性進行哥德爾式的對角綫論證，嚴格證明該問題的不可判定性。 核心內容聚焦於復雜性類（Complexity Classes）的數學定義。我們將精確定義P類（Polynomial Time）和NP類（Nondeterministic Polynomial Time）。重點在於理解NP完備性（NP-Completeness）的數學標準——多項式時間可歸約性（Polynomial-Time Reducibility）。我們將利用SAT問題作為第一個NP完全問題的範例，並展示如何將一個已知的NP完全問題歸約到另一個問題，從而證明後者也是NP完全的。這一部分強調的是對“計算難度”的數學刻畫，而不是對特定算法效率的工程評估。 --- 本書的最終目標是為讀者提供一套強大的、相互關聯的數學工具箱，這些工具源於集閤論的嚴格性，通過代數和拓撲的抽象框架進行組織，並最終應用於對信息、網絡和計算極限的精確描述。它要求讀者具備紮實的邏輯思維能力，並準備好應對高度抽象的數學論證。

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