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出版者:McGraw-Hill College

作者:Miller, Julie/ O'Neill, Molly/ Hyde, Nancy/ Levy, Mitchell (CON)

出品人:

頁數:1005

译者:

出版時間:

價格:140.6

裝幀:HRD

isbn號碼:9780073298146

叢書系列:

圖書標籤:

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數學思維的深度探索：一部超越基礎的數學著作 本書旨在為對純粹數學和應用數學有濃厚興趣的學習者和研究人員提供一個全麵而深入的知識框架。它不僅僅是一本教科書，更是一次對數學本質、結構和美學的深刻探尋。全書摒棄瞭對特定商業化學習平颱的依賴，專注於構建獨立、嚴謹且富有啓發性的數學理論體係。 第一部分：分析學的基石與拓撲的視野 (Foundations of Analysis and Topological Insight) 本部分專注於構建紮實的實分析基礎，並在此基礎上引入拓撲學的核心概念，為高等數學的學習奠定不可動搖的基石。 第一章：嚴謹的實數係統與極限的藝術 本章從集閤論的視角齣發，嚴謹地構造實數係統（$mathbb{R}$），通過戴德金截或柯西序列的完備性論證，確立微積分的邏輯起點。我們將深入探討極限的$epsilon-delta$定義，並將其推廣至更一般的度量空間。重點內容包括： 實數集的結構：上確界原理及其在證明中的關鍵作用。 序列收斂性與級數斂散性：比值判彆法、根值判彆法、積分判彆法的嚴格推導與應用。 連續性的深入理解：一緻連續性、反函數的連續性，以及連續函數在緊集上的性質（如Weierstrass最大值定理的拓撲證明）。 第二章：度量空間與拓撲基礎 超越歐幾裏得空間，本章將分析空間的內在結構。度量空間的概念被引入，作為分析學研究的通用平颱。 基本概念：開集、閉集、鄰域、內點、外點、邊界點的精確定義和相互關係。 拓撲空間：從度量誘導齣拓撲，並討論不依賴於度量的抽象拓撲空間。 緊緻性與連通性：對這些關鍵拓撲性質進行細緻的探討，證明海涅-博雷爾定理（Heine-Borel Theorem）在$mathbb{R}^n$中的有效性，並探討連通分支的性質。 函數空間的初步接觸：介紹$C[a, b]$等函數空間，為後續泛函分析做鋪墊。 第二部分：綫形代數的精煉與幾何的重構 (Refined Linear Algebra and Geometric Reconstruction) 本部分旨在突破傳統行列式和基礎嚮量運算的範疇，深入探討有限維嚮量空間的抽象結構及其在變換中的錶現。 第三章：嚮量空間與綫性變換的抽象化 本章完全采用抽象嚮量空間的語言進行討論，將幾何直覺轉化為代數邏輯。 基、維數與同構：證明所有$n$維嚮量空間都同構於$mathbb{F}^n$。 綫性映射的結構：核（Kernel）、像（Image）、秩-零化度定理的深度剖析。 對角化與 Jordan 標準型：詳盡討論特徵值、特徵嚮量的計算，以及在不可對角化情況下Jordan塊的構造原理和唯一性。 第四章：內積空間、正交性與譜理論 引入內積（或共軛內積）的概念，將代數結構與幾何直觀重新連接。 正交基與 Gram-Schmidt 過程：在一般內積空間中構建正交基的重要性。 自伴算子與譜定理：對於實對稱矩陣和厄米特矩陣，詳細證明其特徵值均為實數，且存在正交對角化，這是量子力學等領域的基礎。 奇異值分解 (SVD)：從正交分解的角度導齣SVD，並闡述其在數據壓縮和矩陣近似中的應用原理。 第三部分：微積分的推廣與微分方程的動力學 (Generalizations of Calculus and Dynamics of ODEs) 本部分將傳統的單變量微積分提升到多元函數、多重積分和微分方程的領域，側重於理論的統一性和解的存在性與唯一性。 第五章：多元微積分與微分形式 本章關注空間中場量的分析，為理解物理定律的普遍形式做準備。 偏導數與方嚮導數：Hessian矩陣的幾何意義。 多重積分與變量替換：Jacobian行列式在坐標係變換中的核心作用。 嚮量微積分的統一：格林定理、斯托剋斯定理和高斯散度定理的嚴格證明，展示它們作為更一般化積分定理（如Stokes' Theorem on Manifolds）的特例。 第六章：常微分方程的理論分析 本章聚焦於描述動態係統的數學工具，強調解的存在性、唯一性及定性分析。 一階方程的解法迴顧：綫性、恰當（Exact）、齊次方程的係統化處理。 Picard-Lindelöf 定理（存在唯一性定理）：對局部解的存在性和唯一性進行嚴格的數學證明，分析解的延續性。 綫性係統與穩定性分析：利用特徵值和相圖（Phase Portrait）對自治綫性係統進行定性分析，區分穩定節點、鞍點、穩定焦點等奇點類型。 第四章：抽象代數的結構之美 (The Aesthetic of Abstract Algebraic Structures) 本部分完全脫離連續性概念，轉嚮離散數學的結構化研究，探索代數對象的基本構建塊。 第七章：群論基礎與對稱性 群論是現代數學的通用語言之一，本章從操作和對稱性的角度引入。 群、子群與陪集：拉格朗日定理及其在有限群中的應用。 正規子群與商群：建立同態定理，揭示結構間的內在聯係。 置換群與 Cayley 定理：證明每一個有限群都同構於某個置換群。 Sylow 定理：作為群結構理論的核心工具，詳細闡述三個Sylow定理的證明及其在識彆特定階群結構中的應用。 第八章：環與域的構造 本章擴展到更復雜的代數結構，為數論和代數幾何奠定基礎。 環的定義與理想：最大理想、素理想的性質，以及商環的構造。 整環、域與域擴張：從多項式環到域的構造過程。 唯一因子化整環 (UFD) 與主理想整環 (PID)：分析這些特殊環的性質，並舉例說明它們之間的包含關係。 本書的特點在於其邏輯的連貫性和概念的深度。它假設讀者已經具備紮實的代數和微積分預備知識，並緻力於在每一章節中將看似分散的數學領域通過嚴謹的邏輯綫索連接起來，引導讀者建立起一個宏大而有機的數學知識體係。

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