The Algebra of Secondary Cohomology Operations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Baues, Hans-Joachim

出品人:

页数:483

译者:

出版时间:

价格:$ 190.97

装帧:HRD

isbn号码:9783764374488

丛书系列:Progress in Mathematics

图书标签:

代数拓扑
二次上同调
谱序列
稳定同伦论
H-空间
Steenrod 代数
谱理论
同调代数
层论
模运算

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具体描述

The algebra of primary cohomology operations computed by the well-known Steenrod algebra is one of the most powerful tools of algebraic topology. This book computes the algebra of secondary cohomology operations which enriches the structure of the Steenrod algebra in a new and unexpected way. The book solves a long-standing problem on the algebra of secondary cohomology operations by developing a new algebraic theory of such operations. The results have strong impact on the Adams spectral sequence and hence on the computation of homotopy groups of spheres.

好的，这是一份针对一本名为《二次上同调运算的代数》（The Algebra of Secondary Cohomology Operations）的图书的详细简介，这份简介将不包含该书的任何实际内容，而是基于书名所暗示的领域和潜在主题，构建一个详尽的、专业领域的背景介绍和动机阐述。 --- 书籍简介：二次上同调运算的代数导言：拓扑代数与代数拓扑的交汇点本书旨在深入探索代数拓扑学中一个至关重要且高度技术性的领域：上同调运算，特别是那些被称为“二次”（Secondary）的结构。在现代拓扑学中，经典的同调与上同调理论（如奇异上同调、De Rham上同调）提供了对拓扑空间基本“洞”和连接性的度量。然而，这些理论的纯粹组合往往不足以区分结构上极为相似，但在更深层次上存在微妙差别的空间。正是在这种背景下，上同调运算作为一种增强的工具箱被引入。它们是同态的族，将一个空间的某个阶的上同调群映射到另一个阶的上同调群，但它们不像拓扑乘积（如Künneth公式）那样是自然的，而是满足特定的运算律。这种运算律，尤其是二次运算，揭示了空间代数结构中更精细的代数关系。本书将重点放在这些运算的代数框架构建上，探讨它们如何从更基础的拓扑构造中“生长”出来，并最终形成一个结构严谨的代数系统。第一部分：基础架构与背景重构在深入研究二次运算之前，理解其理论根基是必不可少的。本书首先会重新审视Steenrod代数与Steenrod平方的基础理论。Steenrod平方是初等二次运算的一个经典例子，它们直接作用于系数域上的上同调群，并构成了检验拓扑空间同构性的强大代数不变量。然而，二次运算的概念超越了Steenrod平方的直接框架。它们更普遍地出现于谱序列的收敛过程中，特别是那些涉及两个或多个共轭（或近似共轭）代数结构相互作用时的过渡阶段。我们关注那些不具备线性结构的映射，它们通过多项式或更复杂的非线性关系连接不同的上同调群。第二部分：二次运算的代数定义与分类本书的核心部分将系统地建立二次运算的精确代数模型。这涉及从代数拓扑的语言翻译到同调代数的语言。一个“二次”操作通常指的是那些不能由基础的上同调乘法（如Cup 乘积）的简单组合直接生成的运算。它们往往与特定类型的扩展问题紧密相关——即如何通过一系列短正合序列来“提升”已知的同态。 2.1 扩展与阻力（Obstructions）二次运算的出现通常是对“扩展”一个基础同态的阻力的精确度量。例如，如果存在一个从空间 $X$ 到空间 $Y$ 的映射 $f$，我们希望提升其诱导的上同调映射 $f^$ 到某个更高级别的代数结构（如一个更高阶的代数链复形）。二次运算 $Phi$ 就是描述这种提升失败程度的代数对象。 2.2 运算代数与李代数结构我们将借鉴李代数和霍普夫代数的概念来组织这些运算。虽然Steenrod代数本身是一个霍普夫代数，但二次运算的结构往往需要引入额外的结构来捕捉它们之间的交互作用。这可能涉及： 1. 交换关系（Commutativity Relations）：研究不同二次运算复合时的顺序依赖性。 2. 雅可比恒等式（Jacobian Identities）的推广：在代数拓扑中，这些恒等式控制着各种基本运算的兼容性。对于二次运算，这些恒等式变得更加复杂，并形成了代数结构的核心约束。第三部分：几何背景与应用模型虽然本书主要关注代数框架，但其动机深深植根于具体的几何问题。二次运算的代数形式，一旦被精确导出，就成为了区分特定拓扑空间的强大工具。 3.1 纤维丛与截面问题在微分几何和代数拓扑中，二次运算常常作为分析纤维丛结构的重要工具。它们可以被用来检验一个纤维丛的截面是否存在，或者区分具有相同陈类但不同纤维结构的空间。当经典陈类（如Chern类）不足以区分两个空间时，二次运算提供的额外信息便成为关键。 3.2 稳定同伦群的计算在稳定同伦论中，上同调运算在计算稳定群（如 $pi_i^S$）的结构方面发挥了间接但重要的作用。二次运算的代数分析有助于理解稳定化过程中的“稳定”边界在哪里，以及哪些信息在稳定化过程中被丢失或保留。结论：展望未来的代数结构本书的最终目标是为读者提供一个坚实的代数基础，以便理解和构造新的、可能更高级别的上同调运算。通过对二次运算的深入剖析，我们不仅能更好地理解已知的拓扑不变量，还能为研究涉及复杂代数几何或非交换拓扑学中出现的更一般化上同调理论（如群上同调或非交换上同调）提供蓝图。这种代数方法的严谨性，使得拓扑问题能够以一种可计算、可预测的方式被处理，从而推动代数拓扑学边界的发展。 ---