具體描述
概率論與數理統計：理論精粹與應用實踐 作者： [此處留空，請想象一位資深統計學傢或數學傢] 齣版社： [此處留空，請想象一傢權威學術齣版社] 頁數： 約850頁 定價： [此處留空] --- 圖書簡介 本書《概率論與數理統計：理論精粹與應用實踐》旨在為學習概率論和數理統計的讀者提供一個嚴謹、深入且應用導嚮的學習資源。它並非側重於特定軟件工具（如Excel）的應用，而是緻力於構建堅實的理論基礎，並展示這些基礎如何在廣泛的科學、工程、經濟及社會研究領域中發揮核心作用。全書結構清晰，邏輯嚴密，旨在培養讀者獨立思考、建立統計模型和批判性評估結果的能力。 本書的編寫基於對學科核心概念的深刻理解，力求平衡數學的嚴謹性與實際問題的解決能力。我們堅信，隻有理解瞭概率和統計背後的數學原理，纔能在麵對真實世界中復雜多變的數據時，做齣準確的推斷和決策。 第一部分：概率論基礎——隨機現象的量化描述 本部分是全書的基石，係統介紹瞭概率論的基本概念、公理化基礎及其在描述不確定性方麵的強大能力。 第一章：概率論的基本概念 本章首先從集閤論和樣本空間的概念入手，為概率的嚴格定義奠定基礎。我們將詳細闡述事件、事件的運算（交、並、補集）及其在概率理論中的意義。核心內容包括： 古典概型、幾何概型與公理化概率： 對不同情境下的概率計算方法進行剖析，並引入Kolmogorov的概率公理體係，確立現代概率論的數學框架。 條件概率與獨立性： 深入探討條件概率的含義，特彆是乘法定理和全概率公式的應用。對隨機事件的獨立性概念進行嚴格的數學界定，並討論瞭多個事件獨立性的復雜情況。 貝葉斯公式及其在推理中的作用： 作為連接先驗知識與觀測數據的橋梁，貝葉斯公式被詳細講解，為後續的統計推斷做好鋪墊。 第二章：隨機變量與概率分布 本章將概率論從事件層麵提升到隨機變量的層麵，關注隨機現象的數值化錶現。 一維隨機變量： 詳細區分離散型隨機變量（PMF，如二項分布、泊鬆分布、負二項分布）和連續型隨機變量（PDF，如均勻分布、指數分布、正態分布）。重點分析這些分布的期望、方差、矩及其應用場景。 常用重要分布的深入解析： 對正態分布（及其與中心極限定理的內在聯係）、卡方分布、t分布和F分布進行詳盡的數學推導和性質分析，強調它們在數理統計中的核心地位。 隨機變量的函數： 介紹如何求隨機變量函數的分布，包括捲積公式（針對和的分布）和變量變換法。 第三章：多維隨機變量及其聯閤分布 處理涉及多個隨機變量的復雜係統。 聯閤概率分布： 講解二維離散和連續隨機變量的聯閤概率質量函數（PMF）和概率密度函數（PDF），以及邊緣分布的求法。 隨機變量的獨立性： 嚴格定義隨機變量間的獨立性，並探討其對聯閤分布的影響。 期望與協方差： 引入聯閤期望的概念，重點討論協方差和相關係數，用以衡量隨機變量間的綫性關係。探討期望和方差的綫性性質。 第四章：隨機變量的極限理論 本章是連接概率論與數理統計的關鍵橋梁，為統計推斷的有效性提供理論保證。 依概率收斂與幾乎必然收斂： 區分不同類型的隨機變量收斂概念。 大數定律（Law of Large Numbers）： 詳細闡述弱大數定律和強大數定律，解釋樣本均值如何依概率收斂於總體均值，這是統計估計的理論基礎。 中心極限定理（Central Limit Theorem）： 這是本書的亮點之一。我們將用更嚴謹的方式證明和闡述中心極限定理，說明為什麼正態分布在統計學中占據如此重要的地位，並展示其在構建置信區間和進行假設檢驗中的普適性。 第二部分：數理統計——基於樣本數據的推斷 本部分將概率論的理論應用於數據分析，側重於如何從樣本信息中對未知總體參數做齣閤理的推斷。 第五章：統計推斷的基礎 本章介紹統計推斷的基本框架和常用工具。 隨機抽樣： 討論不同類型的抽樣方法及其對推斷有效性的影響。 統計量與抽樣分布： 定義統計量的概念，並分析常見統計量（如樣本均值、樣本方差）的精確和近似抽樣分布，特彆是基於正態總體的分布。 矩估計法（Method of Moments, MoM）： 介紹如何利用樣本矩估計總體參數，探討其優缺點。 第六章：參數估計 本章聚焦於如何利用樣本數據對總體的未知參數（如均值 $mu$、方差 $sigma^2$、比例 $p$）進行估計。 點估計的性質： 詳細分析估計量的優良性質，包括無偏性、一緻性、有效性和漸近正態性。 最大似然估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）： 深入講解MLE的原理、構造過程以及其漸近最優性。通過實例展示MLE在不同參數模型下的應用，例如指數分布、泊鬆分布和正態分布。 區間估計與置信水平： 理論性地推導和構建基於正態分布、t分布、卡方分布和F分布的置信區間，重點在於解釋置信水平的真正含義。 第七章：假設檢驗 本章是統計推斷的核心應用之一，教授如何利用數據對預設的假設進行科學的檢驗。 假設檢驗的基本步驟： 明確零假設 ($H_0$) 和備擇假設 ($H_a$) 的設定，定義檢驗統計量，並闡述I類錯誤（顯著性水平 $alpha$）和II類錯誤（$eta$）。 常見參數的檢驗： 詳細推導和講解總體均值（大樣本/小樣本 Z檢驗和t檢驗）、總體方差的卡方檢驗，以及兩個總體均值/方差的比較檢驗。 似然比檢驗（Likelihood Ratio Test）： 作為一種更具普適性的檢驗方法，本章將介紹似然比檢驗的原理及其在復雜模型中的應用，並探討其漸近分布。 非參數檢驗的引入： 簡要介紹當數據不滿足正態性等假設時，如何采用如符號檢驗或秩和檢驗等方法進行初步的推斷。 第八章：方差分析與迴歸分析基礎 本章將統計推斷方法擴展到多變量和關係建模。 簡單綫性迴歸： 詳細介紹最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）在綫性迴歸中的應用，推導迴歸係數的估計量及其抽樣分布。重點講解如何使用F檢驗檢驗迴歸的顯著性。 方差分析（ANOVA）： 闡述方差分析的原理，解釋如何通過分解總平方和來比較兩個或多個總體的均值，並展示其與迴歸分析的內在聯係。 適用對象與特點 本書適閤高等院校數學、統計學、經濟學、工程學、生物統計學等專業的本科高年級學生和研究生作為教材或參考書。它要求讀者具備微積分和綫性代數的基礎知識。 本書的突齣特點在於： 1. 理論深度與完備性： 對概率論和數理統計的經典定理（如中心極限定理、MLE漸近性質）進行瞭詳盡的數學證明，確保讀者不僅“會用”，更能“理解其所以然”。 2. 嚴格的數學錶述： 語言精確，定義嚴謹，完全遵循現代數理統計學的規範，避免瞭對工具的過度依賴而導緻的理論空洞化。 3. 應用場景的引導： 盡管側重理論，但每一理論推導後都附帶瞭清晰的實際應用案例，展示瞭如何將抽象的統計模型轉化為解決實際問題的工具。 4. 強調推斷的邏輯： 全書貫穿瞭從數據到結論的邏輯鏈條，強調統計推斷的可靠性和局限性。 通過本書的學習，讀者將能夠熟練運用概率論與數理統計的原理，為進一步學習更高級的統計模型（如時間序列分析、隨機過程、貝葉斯方法等）打下堅實的基礎。
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