Geometric Properties of Natural Operators Defined by the Riemann Curvature Tensor pdf epub mobi txt 電子書下載2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Gilkey, Peter B.

出品人:

頁數:250

译者:

出版時間:

價格:58

裝幀:HRD

isbn號碼:9789810247522

叢書系列:

圖書標籤:

Riemann curvature tensor
Geometric properties
Natural operators
Differential geometry
Tensor analysis
Mathematical physics
General relativity
Manifolds
Curvature
Topology

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具體描述

《黎曼麯率張量在自然算子定義中的幾何性質》是一本專注於幾何分析、微分幾何以及理論物理學交叉領域的深入論著。本書旨在係統地探索和解析由黎曼麯率張量所驅動的自然算子（Natural Operators）的內在幾何結構、性質及其在不同幾何空間中的錶現。本書的結構嚴謹，內容組織圍繞幾個核心主題展開：首先，它為讀者奠定瞭必要的數學基礎，詳細迴顧瞭黎曼幾何的關鍵概念，特彆是黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）的定義、代數性質（如第一和第二黎曼恒等式）以及其在度量結構中的核心作用。隨後，本書引入瞭“自然算子”的概念，明確其在微分幾何中的嚴格定義——即那些不依賴於具體坐標係選擇、隻依賴於流形及其度量結構本身定義的映射。全書的核心部分深入剖析瞭如何利用黎曼麯率張量 $R$ 來構造和研究各類自然算子。其中一個重要章節緻力於研究基於 $R$ 的多重綫性映射和張量場，例如黎曼麯率張量的各種收縮和對稱化形式，如裏奇張量（Ricci Tensor）$Ric$ 和裏奇標量（Ricci Scalar）$S$。本書不僅討論瞭這些基本張量作為算子的性質，還探討瞭更高階的麯率不變量，例如魏爾張量（Weyl Tensor）$W$。魏爾張量在描述流形局域可展性方麵至關重要，本書詳盡分析瞭由 $W$ 及其各種組閤定義的自然算子，例如黎曼麯率張量與共變導數作用的組閤。一個關鍵的探討領域是拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator）與麯率的關係。雖然拉普拉斯算子本身通常不被視為直接由 $R$ 定義的算子，但本書通過研究與麯率相關的特定二次微分算子，如拉普拉斯-貝爾特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）在麯率背景下的行為，來連接分析與幾何。特彆是，書中詳細討論瞭與黎曼麯率張量耦閤的算子，例如由黎曼麯率張量作為係數的二階偏微分算子。本書的另一個重要貢獻在於對“維爾斯特拉斯函數”（Weitzenböck Type Inequalities）的深入研究，這些不等式將黎曼麯率的幾何信息與函數空間的能量泛函聯係起來。書中分析瞭基於麯率張量構造的特定恒等式，這些恒等式在證明微分幾何中的存在性或唯一性定理時起著決定性作用。例如，對愛因斯坦流（Einstein Flow）的分析，其中愛因斯坦度量本身就是由麯率張量滿足特定條件（$Ric = lambda g$）定義的，本書將此視為一種特殊的自然算子約束。在方法論上，本書高度依賴於外微分代數、李導數以及無窮小對稱性理論。它詳盡闡述瞭如何利用李導數來測試一個算子是否是“自然”的，即在坐標變換下保持不變性的能力。通過運用這些代數工具，本書為理解哪些幾何量可以被一緻地定義在任何黎曼流形上提供瞭堅實的理論框架。針對高維幾何和特定黎曼空間，本書還包含瞭關於特定麯率模型的分析。例如，對正麯率空間（如球麵）和負麯率空間（如雙麯空間）中，由 $R$ 驅動的算子行為差異的比較研究。書中討論瞭黎曼麯率張量如何影響測地綫的匯聚和發散，以及這些效應如何通過自然算子體現在能量或勢能的局部變化中。此外，書中對某些特定的“幾何驅動算子”進行瞭專題討論，例如與耶恩森-福剋空間（Jensen-Fulk Space）或與規範場論中場強度張量（Field Strength Tensor）相關的類比構造，展示瞭黎曼幾何工具在更廣闊的數學物理背景下的應用潛力。這些算子往往涉及麯率張量與共變導數的更高階組閤，以捕捉流形在小尺度上的精細結構。本書的讀者對象主要麵嚮微分幾何、數學物理、幾何分析領域的研究人員、博士後及高年級研究生。它要求讀者具備紮實的微分幾何基礎和張量分析知識。全書以嚴謹的數學語言組織，提供瞭大量的定理、引理和證明，旨在成為該特定研究方嚮的參考手冊和深入學習的教材。書中避免瞭對任何非幾何算子的冗餘討論，專注於那些純粹、必然地由黎曼麯率張量本身所衍生的幾何操作。