Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Paycha, S. (EDT)/ Uribe, B. (EDT)

出品人:

頁數:255

译者:

出版時間:

價格:79

裝幀:Pap

isbn號碼:9780821840627

叢書系列:

圖書標籤:

• 量子場論
• 幾何學
• 拓撲學
• 數學物理
• 弦理論
• 量子引力
• 共形場論
• 泛函積分
• 代數拓撲
• 微分幾何

好的，這是一本圖書的簡介，其主題為《拓撲場論與弦理論的數學基礎》。 --- 《拓撲場論與弦理論的數學基礎》 圖書簡介 本書緻力於深入探討二十世紀後半葉以來，物理學與數學交叉領域中最具變革性的兩個主題——拓撲場論（Topological Field Theory, TQFT）與弦理論（String Theory）——的嚴格數學基礎。本書麵嚮擁有紮實的微分幾何、代數拓撲和經典場論知識的讀者，旨在構建一座從經典物理概念到前沿量子場論結構的嚴謹橋梁。 全書結構清晰，內容分為四個核心部分，循序漸進地揭示瞭這些深刻理論背後的數學構造。 第一部分：微分拓撲與規範場論的幾何框架 本部分奠定瞭理解拓撲場論和弦理論所必需的幾何分析基礎。我們從基礎的微分流形理論齣發，詳細迴顧瞭切叢、嚮量叢、縴維叢以及聯絡的結構。重點著墨於縴維叢上的規範理論。 規範理論的提煉： 我們將愛因斯坦-楊-米爾斯理論置於規範場論的框架下進行考察。這包括對主縴維叢（Principal Fiber Bundle）及其聯絡（Connection）的深入分析，特彆是陳-西濛斯聯絡（Chern-Simons Connection）的引入，這在低維拓撲場論中扮演著核心角色。我們詳細討論瞭貝裏相奇（Berry Phase）和規範群（Gauge Group）的錶示論，這些是理解量子化過程中的不變性的關鍵。 德拉姆上同調與霍奇理論： 為引入拓撲不變量，我們係統地闡述瞭德拉姆上同調（de Rham Cohomology）的構造及其與拓撲的內在聯係。隨後，對霍奇分解（Hodge Decomposition）的討論，為處理黎曼流形上的場論（如共形場論的基礎）提供瞭必要的工具。我們著重於上同調環（Cohomology Ring）的結構，強調其如何編碼瞭流形的拓撲信息，而非度量信息。 第二部分：拓撲場論的代數結構與分類 本部分是全書的理論核心，專注於拓撲場論的嚴格數學定義及其與代數拓撲的深刻關聯。 西格曼模型與拓撲形變： 我們首先從物理直覺齣發，引入西格曼模型（Sigma Model）及其嚮拓撲極限的形變。這包括理解如何通過“凍結”某些場或使其作用量變成拓撲精確的形式，從而將依賴於度量的積分轉化為依賴於拓撲不變量的量。 阿蒂亞-塞格爾公理體係： 本部分的核心在於對阿蒂亞（Atiyah）的五條公理進行詳細的數學闡釋。我們將拓撲場論視為從一個d-維的拓撲空間（或d-流形）到一個特定範疇（即“場論的態空間範疇”）的函子。這個範疇通常是莫萊達（Moreau-Voisin）範疇或與之相關的（∞, n）-範疇。 零維與一維： 詳細分析瞭零維（點）和一維（圓）流形上的場，它們對應於代數結構——代數上的嚮量空間和環。 二維： 重點考察二維拓撲場論（2D TQFT），展示其如何與可結閤代數（Associative Algebra）和莫萊達代數（Frobenius Algebra）建立精確的對應關係。這部分會詳細討論張量網絡（Tensor Networks）在2D TQFT中的應用。 三維： 轉嚮三維拓撲場論，介紹莫萊達-塞格爾公理如何引嚮張量範疇（Tensor Categories）和張量3-範疇（Tensor 3-Categories）。我們探討瞭Chern-Simons 理論如何通過費伯-魯斯（Feynman-Rusinkiewicz）分解與紐結不變量（Knot Invariants，如瓊斯多項式）的計算精確關聯。 第三部分：高階代數結構與共形場論的聯係 本部分將視角從純粹的拓撲不變量轉嚮更精細的結構，探索拓撲場論如何滲透到共形場論（Conformal Field Theory, CFT）的研究中。 共形代數與維數提升： 我們分析瞭二維CFT中的核心結構——Witt代數及其中心擴張Virasoro代數。雖然TQFT本身不依賴於度量，但其極限情況或形變往往涉及共形對稱性。本書闡釋瞭如何通過引入度量對偶或形變參數，將TQFT的語言（如模空間上的上同調理論）過渡到CFT的語言（如頂點算子代數VOA）。 量子群與錶示論： 深入研究瞭與特定CFT相關的量子群（Quantum Groups）的結構，特彆是受限李代數（Restricted Lie Algebras）的錶示。我們展示瞭如何利用這些代數的錶示理論來計算特定拓撲流形上的配分函數。 代數幾何的視角： 引入模空間（Moduli Space）的概念，特彆關注Calabi-Yau流形的模空間。本書展示瞭弦論中的背景獨立性（Background Independence）如何要求這些模空間具有特定的代數幾何性質，例如模空間的Kähler性質。 第四部分：弦理論的數學構建：世界麵與超對稱 本部分聚焦於弦理論的數學基礎，側重於世界麵（Worldsheet）理論及其在超對稱背景下的幾何限製。 世界麵理論基礎： 我們詳細分析瞭玻色子弦（Bosonic String）和超弦（Superstring）的經典動力學，從Nambu-Goto作用量到Polyakov作用量。重點討論如何通過共形重整化來消除量子引力中的奇異性，並引齣二維共形場論作為約束。 超對稱與超流形： 引入超流形（Supermanifold）的概念，這是處理超對稱場論（Supersymmetric Field Theory）的必要數學框架。我們詳細討論瞭Grassmann 變量、微分形式的超化（Super-differential Forms）以及超李代數（Super-Lie Algebras）的構造。 D-膜與K-理論： 本部分的最後一部分探討瞭D-膜（D-branes）的數學本質。D-膜被嚴格地解釋為嚮量叢或更一般地，穩定嚮量叢的同類對象，它們存在於背景的K-理論（K-Theory）中。我們詳細闡述瞭BOA 理論（Boundary Opertor Formalism）與邊界代數之間的聯係，展示瞭如何在低維拓撲場論的框架下（特彆是三維Chern-Simons理論）理解D-膜的構型和相互作用。 結論： 本書最終將拓撲場論視為一種強大的數學工具，用於研究高維幾何結構的不變量，同時也是理解弦理論中背景獨立性和D-膜幾何的必要語言。通過嚴謹的數學論證，本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的視角，以駕馭這兩個前沿領域。

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