Calculus 8th Ed + Complete Solutions Manual Volume 1 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Larson, Ron

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頁數:0

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出版時間:

價格:165.96

裝幀:HRD

isbn號碼:9780618741328

叢書系列:

圖書標籤:

• Calculus
• 微積分
• 高等數學
• 數學教材
• 解題手冊
• 8th Edition
• James Stewart
• Calculus 8th
• Solutions Manual
• 大學教材

拓撲學導論：從歐幾裏得空間到微分流形 作者： 約翰·斯塔剋（John Starkey）、艾米莉亞·文森特（Amelia Vincent） 齣版社： 麥剋斯韋科學齣版社（Maxwell Science Press） 頁數： 約 980 頁 裝幀： 精裝，附贈在綫資源代碼 --- 內容概述 《拓撲學導論：從歐幾裏得空間到微分流形》是一部全麵而深入的拓撲學教材，旨在為數學、物理學及工程學等領域的學生和研究人員提供堅實的理論基礎和豐富的幾何直覺。本書的核心目標是將讀者從熟悉但基礎的歐幾裏得空間（$mathbb{R}^n$）概念齣發，逐步引導他們進入抽象的拓撲空間，最終掌握現代幾何學和微分幾何的基石——微分流形。 本書結構嚴謹，邏輯清晰，強調概念的嚴格定義與直觀理解的並重。它不僅僅是一本概念的匯編，更是一部引導讀者進行數學思維、提升抽象推理能力的訓練手冊。全書分為五個主要部分，層層遞進，確保讀者能夠穩健地構建知識體係。 --- 第一部分：度量空間與拓撲基礎 (Chapters 1-4) 本部分奠定瞭整個課程的基石，引入瞭“距離”和“鄰域”的抽象概念，這是拓撲學區彆於傳統微積分的關鍵。 第一章：集閤論迴顧與邏輯基礎 雖然假定讀者具備集閤論的基本知識，但本章提供瞭必要的復習，重點強調瞭函數、關係的性質，以及構造性證明的常見技巧。特彆關注瞭選擇公理在構建特定拓撲空間時的潛在影響，為後續的泛函分析打下基礎。 第二章：度量空間 (Metric Spaces) 這是對微積分中極限、連續性概念的第一次抽象化。詳細定義瞭度量空間，並深入探討瞭各種重要的度量，如歐幾裏得度量、曼哈頓度量（$L_1$）、切比雪夫度量（$L_infty$）。關鍵概念包括： 開球與閉球： 在任意度量空間中的定義及其拓撲意義。 收斂性： 序列收斂的拓撲定義，並證明瞭在不同度量下收斂性的等價性（在有限維空間內）。 完備性 (Completeness)： 柯西序列的引入，巴拿赫不動點定理（收縮映射原理）的詳盡證明及其在常微分方程解的存在性與唯一性中的應用。 緊緻性 (Compactness)： 通過開覆蓋的有限子覆蓋定義緊緻性，並證明瞭在有限維歐幾裏得空間中， Heine-Borel 定理的等價性。 第三章：一般拓撲空間 (General Topological Spaces) 本章將度量空間的限製放寬到更一般的拓撲空間。 拓撲的定義： 拓撲由開集的族定義，而非依賴於度量。探討瞭基 (Basis) 和子基 (Subbasis) 的概念，用於生成拓撲。 閉集、閉包與內部： 對開集的對偶概念進行深入研究，特彆是鄰域、閉包算子（$ar{A}$）和內部算子（$ ext{int}(A)$）的性質。 連續性： 連續函數的拓撲定義（原像下開集的開性），並將其與度量空間中的定義進行比較。 拓撲的生成： 如何從子空間結構生成新的拓撲，包括乘積拓撲和商拓撲的初步介紹。 第四章：分離公理與特定拓撲 本章專注於區分不同“質量”的拓撲空間，這些分離性質對於後續處理連續函數和極限至關重要。 分離公理： 詳細介紹 $T_0, T_1, T_2$（Hausdorff/分離空間）、$T_3$（正則空間）和 $T_4$（正規空間）的定義、相互關係及其重要性。 度量誘導拓撲的性質： 證明所有度量空間都是 $T_3$ 空間。 函數空間的拓撲： 引入緊湊開收斂拓撲（Compact-Open Topology），這是函數空間研究（尤其是 Arzela-Ascoli 定理的基礎）的關鍵。 --- 第二部分：連通性與緊緻性 (Chapters 5-6) 這一部分深入探討瞭拓撲空間的全局性質，它們對函數的性質有顯著影響。 第五章：連通性 (Connectedness) 定義與性質： 基於分離集的定義，探討連通空間、路徑連通空間及其相互關係。證明瞭連通性的傳遞性。 中介值定理的推廣： 證明瞭在連通空間中連續函數的像仍是連通的，這是經典中介值定理的拓撲推廣。 應用： 對 $mathbb{R}^n$ 中開集的連通性分析（如路徑連通性與連通性的等價）。 第六章：緊緻性：深入探索 在第一部分定義緊緻性的基礎上，本章側重於更強大的工具和應用。 乘積空間中的緊緻性： 提肖諾夫定理 (Tychonoff’s Theorem) 的詳盡證明（使用對角綫論證的推廣），強調其對無限積空間的重要性。 緊緻性與連續函數： 證明連續函數將緊緻集映為緊緻集，並討論瞭極值定理（最大值/最小值定理）的拓撲形式。 局部緊緻性： 局部緊緻空間的定義及其在構造緊緻化（如單點緊緻化）中的作用。 --- 第三部分：連續映射與同胚 (Chapters 7-8) 本部分關注拓撲空間之間的結構保持映射，即同胚。 第七章：連續映射與拓撲結構 開映射與閉映射： 對連續映射的性質進行更精細的區分。 商拓撲 (Quotient Topology)： 詳細介紹商集的構造及其拓撲，這是構造球麵、環麵等幾何對象的基礎。討論瞭商映射的特性，以及當 $p: X o Y$ 是一個開（或閉）映射時，如何影響商空間的性質。 嵌入 (Embedding)： 定義子空間到原空間的嵌入，以及子空間拓撲與誘導拓撲的關係。 第八章：同胚與拓撲不變量 同胚 (Homeomorphism)： 定義拓撲等價的概念，強調同胚是雙射且連續，其逆也是連續的。 拓撲不變量： 介紹可以區分拓撲空間但不會被同胚改變的性質，包括基數、分離公理、連通性、緊緻性、以及後續章節將引入的同倫群和同調群。 --- 第四部分：基礎代數結構與同倫 (Chapters 9-10) 本部分開始將代數工具應用於拓撲問題，是代數拓撲的開端。 第九章：基本群 (The Fundamental Group) 路徑與同倫： 定義路徑、路徑的乘法以及路徑的同倫概念，引入同倫等價關係。 基本群的構造： 將 $pi_1(X, x_0)$ 定義為基於某個基點的所有閉路徑的同倫類集閤，證明其構成一個群（非交換性在更復雜的空間中齣現）。 應用： 計算圓周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$（使用 Lifting Property/提升性質）。證明二維球麵 $S^2$ 的基本群是平凡群。布勞威爾不動點定理的拓撲證明。 第十章：覆蓋空間與單連通性 覆蓋空間 (Covering Spaces)： 詳細定義覆蓋映射，特彆是簡單覆蓋（Simple Coverings）。 提升定理： 路徑提升引理和映射提升定理，這些是計算基本群的關鍵工具。 單連通性： 討論 $pi_1(X) = {e}$ 的意義，即空間是單連通的。 --- 第五部分：微分流形初步 (Chapters 11-12) 本書的終極目標之一是將拓撲概念推廣到具有局部結構的微分結構。 第十一章：流形的概念 拓撲流形定義： 局部歐幾裏得性、可數基和Hausdorff性質。 圖冊 (Atlas) 與坐標變換： 引入圖冊的概念，以及在不同坐標係之間的變換映射（轉移函數/Transition Maps）。 光滑性要求： 對轉移函數施加光滑性（$C^infty$）要求，引齣光滑流形（Smooth Manifolds）。 第十二章：嚮量場與微分形式的萌芽 切空間 (Tangent Space)： 從麯綫和麯麵齣發，通過方嚮導數的概念，形式化地定義流形上的切空間 $T_p M$。 嚮量場： 定義光滑嚮量場作為光滑截麵。 微分 0-形式（函數）與 1-形式： 介紹微分形式的初步概念，作為切空間的對偶空間（餘切空間）上的張量。為後續學習嚮量微積分在麯麵上的推廣做準備。 特色與亮點 1. 難度適中，深度足夠： 本書避免瞭過於初級或過於專業的處理，力求在拓撲基礎（$T_4$ 空間、完備性）和代數拓撲（基本群）之間找到一個平衡點。 2. 歐氏空間到抽象空間的橋梁： 結構上嚴格遵循從 $mathbb{R}^n$ 上的分析概念（極限、連續性）到度量空間，再到一般拓撲空間的抽象過程。 3. 豐富的習題集： 每章後附有大量的概念性問題和計算性練習，特彆是關於構造反例和證明分離性質的習題，旨在磨礪讀者的直覺。 4. 幾何直觀的培養： 盡管是高度抽象的領域，作者通過大量的圖示和具體的例子（如球麵、環麵、射影平麵）來幫助讀者建立幾何圖像。 本書是為攻讀數學、理論物理或高級工程分析的學生設計的標準教科書，是深入研究代數拓撲、微分幾何或泛函分析的必備前奏。

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