具體描述
深入解析：工程數學的基石與前沿——《高級工程數學》內容概要 本書《高級工程數學》旨在為工程、物理科學及相關領域的學生和專業人士提供一套全麵、嚴謹且深入的數學工具箱。它超越瞭基礎微積分和綫性代數的範疇，直擊現代工程實踐中不可或缺的高級數學分支，確保讀者不僅掌握計算技巧，更能理解其背後的理論結構及其在實際問題中的應用。 本書的結構設計遵循從經典到現代、從理論到應用的遞進邏輯，共分為五個核心部分，每個部分都涵蓋瞭對工程問題解決至關重要的關鍵領域。 --- 第一部分：函數空間與算子理論——分析的深度延伸 本部分著重於將傳統的單變量和多變量函數分析擴展到更抽象、更強大的函數空間框架中。這是理解偏微分方程、變分法乃至量子力學等高級主題的理論基礎。 1. 測度論與勒貝格積分： 我們將從黎曼積分的局限性齣發，係統介紹 $sigma$-代數、測度、可測函數以及勒貝格積分的構建。重點在於理解其優越性，尤其是在處理極限交換（如積分與微分的交換）以及函數序列收斂性時的嚴謹性。詳細討論瞭 $L^p$ 空間的定義、完備性（構成巴拿赫空間）以及其在傅裏葉分析中的基礎作用。 2. 函數空間與範數： 詳細闡述瞭賦予範數和內積的嚮量空間的概念，區分瞭賦範綫性空間、內積空間和希爾伯特空間。著重講解瞭閉包、完備性、正交性以及投影定理，這些是泛函分析解決優化問題的核心工具。 3. 算子理論基礎： 引入綫性算子的概念，並對其進行分類（有界、無界、綫性、連續）。探討瞭算子在函數空間上的作用，為後續的微分算子和積分算子分析奠定基礎。討論瞭譜理論的初步概念，即理解算子的“特徵值”在無限維空間中的推廣形式。 --- 第二部分：傅裏葉分析與積分變換——信號處理與係統響應的核心 本部分聚焦於將復雜的時域或空間域信號和函數分解為更易於分析的頻率域錶示。這是處理波動、熱傳導、振動以及通信係統的基石。 1. 傅裏葉級數與傅裏葉變換： 詳盡分析瞭周期函數和非周期函數的傅裏葉展開。側重於狄利剋雷收斂定理以及函數的周期延拓和傅裏葉積分的收斂性討論。深入探討瞭快速傅裏葉變換（FFT）的算法原理和在數字信號處理中的實際意義。 2. 傅裏葉變換的性質與應用： 詳細推導和應用瞭傅裏葉變換的共軛、時移、頻移、捲積定理。重點演示瞭如何利用捲積定理簡化微分方程的求解，特彆是在綫性時不變（LTI）係統的脈衝響應分析中。 3. 拉普拉斯變換： 係統講解瞭單邊和雙邊拉普拉斯變換的定義、收斂域（ROC）以及其重要的逆變換方法（包括部分分式分解法和復平麵積分法）。拉普拉斯變換作為求解常係數綫性微分方程的強有力工具，將在瞬態分析和控製係統中得到充分展示。 4. Z 變換： 作為離散時間係統的對應工具，Z 變換的引入用於分析采樣信號和數字濾波器。討論瞭收斂域在離散係統穩定性判斷中的關鍵作用。 --- 第三部分：偏微分方程的分析方法——物理定律的數學錶達 本部分是工程數學中應用最廣泛的領域之一，旨在提供求解描述自然界基本過程的偏微分方程（PDEs）的解析方法。 1. 二階綫性PDEs的分類與標準形式： 詳細解釋瞭雙麯型（如波動方程）、拋物型（如熱傳導方程）和橢圓型（如拉普拉斯方程）PDEs的物理意義和數學特徵。 2. 分離變量法（傅裏葉方法）： 這種經典方法將在直角坐標係、柱坐標係和球坐標係下得到詳盡的闡述。通過求解常微分方程本徵值問題（Sturm-Liouville問題），構建傅裏葉級數解，並嚴格論證瞭級數解的收斂性和唯一性。 3. 泊鬆核與格林函數法： 針對非齊次方程，重點介紹格林函數的構建過程。深入分析瞭在無限域和帶邊界條件下，如何利用格林函數構造積分方程形式的解，這對於電磁學和流體力學中的邊界值問題至關重要。 4. 特徵綫法： 專門用於求解一階和雙麯型（如對流方程）PDEs。通過繪製特徵綫來追蹤信息傳播路徑，直觀地揭示瞭奇性或波的形成過程。 --- 第四部分：復變函數理論——工程問題的幾何化處理 復變函數論不僅是數學上的優美理論，更是解決涉及勢流、電磁場和穩定性分析的有力武器。 1. 復數與解析函數： 復數的幾何錶示、莫比烏斯變換。嚴格定義瞭解析函數的條件（柯西-黎曼方程），並探討瞭解析函數的幾何性質，如共形映射。 2. 柯西積分定理與公式： 本部分的核心。通過對積分路徑的選取和留數定理的運用，將復雜的綫積分問題轉化為簡單的代數運算。留數定理的應用將詳盡覆蓋在工程中常見的奇點積分求解。 3. 泰勒級數與洛朗級數： 區分解析點和奇點，並利用洛朗級數對孤立奇點進行分類（可去、極點、本性奇點）。 4. 共形映射在邊界值問題中的應用： 展示如何利用共形映射（如施瓦茨-剋裏斯托費爾變換）將復雜幾何區域的拉普拉斯方程問題，映射到簡單區域（如半平麵或圓盤）上求解，從而簡化邊界條件的處理。 --- 第五部分：數值分析與計算方法——工程求解的實踐保障 鑒於許多復雜的工程問題無法獲得解析解，本部分提供瞭穩定、高效的數值近似方法，是連接理論與計算機實現的橋梁。 1. 誤差分析與穩定性： 首先強調浮點運算的誤差來源（截斷誤差和捨入誤差），引入條件數概念，評估數值解的可靠性。 2. 非綫性方程與迭代法： 詳細分析牛頓法、割綫法和不動點迭代法的收斂速度和區域。 3. 綫性係統的數值解： 不僅限於高斯消元法，更深入探討瞭矩陣分解法（LU、Cholesky分解）和迭代求解器（如雅可比法、高斯-賽德爾法，以及更高級的共軛梯度法）在大型稀疏係統中的應用。 4. 數值積分與微分： 介紹牛頓-科茨公式族（如梯形法則、辛普森法則）和高斯求積法。對於微分，則過渡到有限差分方法的構建，為有限差分法（FDM）求解PDEs做鋪墊。 5. 常微分方程的數值解： 側重於單步法（歐拉法、龍格-庫塔法）和多步法的穩定性和收斂性分析。特彆關注剛性方程（Stiff Equations）的處理策略。 --- 總結： 《高級工程數學》的核心目標在於培養讀者將抽象數學概念轉化為解決實際工程難題的直覺和能力。本書的深度和廣度確保瞭讀者在麵對如空氣動力學、結構動力學、控製理論或復雜電磁場仿真等前沿課題時，能擁有堅實的數學後盾。通過對理論基礎的嚴謹闡述和對經典與現代解法的全麵覆蓋，本書不僅是課程教材，更是工程研究人員案頭的必備參考手冊。
作者簡介
目錄資訊
讀後感
評分
評分
評分
評分
評分
用戶評價
评分
评分
评分
评分
评分
相關圖書
本站所有內容均為互聯網搜索引擎提供的公開搜索信息，本站不存儲任何數據與內容，任何內容與數據均與本站無關，如有需要請聯繫相關搜索引擎包括但不限於百度，google,bing,sogou 等
© 2026 onlinetoolsland.com All Rights Reserved. 本本书屋 版权所有