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出版者:Brooks Cole

作者:Richard L. Burden

出品人:

頁數:847

译者:

出版時間:2004-12-10

價格:USD 255.95

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780534392000

叢書系列:

圖書標籤:

課本
數學
Mathematics
數值分析
計算數學
科學計算
數值方法
算法
數學建模
高等數學
工程數學
計算機科學
優化算法

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具體描述

This well-respected text gives an introduction to the modern approximation techniques and explains how, why, and when the techniques can be expected to work. The authors focus on building students' intuition to help them understand why the techniques presented work in general, and why, in some situations, they fail. With a wealth of examples and exercises, the text demonstrates the relevance of numerical analysis to a variety of disciplines and provides ample practice for students. The applications chosen demonstrate concisely how numerical methods can be, and often must be, applied in real-life situations. In this edition, the presentation has been fine-tuned to make the book even more useful to the instructor and more interesting to the reader. Overall, students gain a theoretical understanding of, and a firm basis for future study of, numerical analysis and scientific computing. A more applied text with a different menu of topics is the authors' highly regarded NUMERICAL METHODS, Third Edition.

《數值分析》：探索計算世界的基石圖書簡介《數值分析》是一部旨在為讀者係統介紹現代科學計算核心理論與實踐的權威著作。本書深入淺齣地探討瞭處理連續數學問題離散化處理所必需的數值方法、算法設計、穩定性和精度分析等關鍵領域。它不僅僅是教科書，更是一座連接純數學理論與工程實踐的橋梁，為緻力於解決復雜計算難題的研究人員、工程師和高年級學生提供瞭堅實的基礎。全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，從最基礎的誤差分析和函數逼近理論齣發，逐步過渡到綫性代數方程組的數值解法、特徵值問題的計算、非綫性方程的求解，以及微分方程的數值積分。每一章節都力求在理論深度和實際應用之間找到最佳平衡點。第一部分：基礎與誤差分析本書的開篇聚焦於數值計算的基石——誤差分析。在任何實際計算中，我們處理的都不是絕對精確的數學對象，而是帶有誤差的近似值。本章詳盡闡述瞭浮點數的存儲、運算中的固有誤差（捨入誤差），以及算法本身的固有誤差（截斷誤差）。我們通過引入有效數字、絕對誤差和相對誤差的概念，建立起對計算質量的量化標準。對誤差的深刻理解是後續所有高級算法設計和分析的前提。接著，我們將重點介紹插值法。插值是函數逼近中最基本且應用最廣的方法之一。從最直觀的牛頓有限差分法和拉格朗日插值多項式講起，詳細分析瞭這些方法的局限性，特彆是高次插值可能導緻的龍格現象。為剋服這一難題，本書引入瞭更加平滑和局部化的分段插值方法，尤其是三次樣條插值。我們不僅推導齣樣條函數的構造原理，還嚴格證明瞭其二階連續可微性的優越性，並探討瞭不同邊界條件（如自然樣條、鉗製樣條）對解的影響。第二部分：數值微積分與微分方程在掌握瞭函數逼近之後，本書轉嚮瞭數值積分（或稱數值微分）。解析地計算定積分或導數在許多情況下是不可行的，因此需要依賴數值方法。我們首先迴顧瞭牛頓-柯特斯求積公式，包括梯形法則和辛普森法則，並推導瞭它們的誤差項，闡明瞭如何通過增加節點數來提高精度。隨後，引入瞭更為高效且適用於更廣泛情況的高斯求積。高斯法的核心思想在於選擇最優的節點和權重，以最小的計算量達到極高的精度。本書會詳細介紹勒讓德多項式在構建高斯點和權重中的作用，並對比其相對於牛頓-柯特斯方法的顯著優勢。本書的這一部分高潮是對常微分方程（ODE）數值解法的探討。對於形如 $y' = f(t, y)$ 的初值問題，我們必須使用數值迭代方法。從最簡單的歐拉方法（前嚮和後嚮）齣發，分析其一階精度和穩定性限製。隨後，章節內容升級到更高階的方法，如龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法族，特彆是著名的四階經典龍格-庫塔法（RK4），並解釋其如何平衡局部精度和計算復雜度。對於需要處理剛性（stiff）方程組的場景，本書還專門介紹瞭隱式方法（如後嚮歐拉法、隱式梯形法則）的穩定性和求解策略。第三部分：綫性代數方程組的數值求解綫性代數是現代科學計算的中心議題。求解形如 $Ax=b$ 的大型綫性係統是工程模擬、數據擬閤等領域的核心任務。本書首先分類討論瞭直接法。重點分析瞭高斯消元法的原理、計算量，以及其在引入主元選擇（Pivoting）策略後如何顯著提高數值穩定性，避免除以接近零的數。隨後，我們深入探討瞭矩陣的三角分解，特彆是LU分解及其變體（如 $PA=LU$ 形式），這些分解是高效求解多次右端項問題的關鍵。此外，對稱正定矩陣的專用分解——喬裏斯基分解（Cholesky Decomposition）也被詳細論述。麵對維度極高、數據稀疏的矩陣，直接法因內存和計算成本過大而不再適用。因此，本書投入大量篇幅介紹迭代法。我們從基礎的雅可比迭代和高斯-賽德爾迭代入手，闡明瞭它們的收斂條件。進而，引入瞭更為強大的Krylov子空間方法，特彆是共軛梯度法（CG）用於對稱正定係統，以及GMRES和雙共軛梯度法（BiCGSTAB）用於一般的非對稱係統。本書不僅給齣算法流程，更重要的是，它解釋瞭預處理技術（Preconditioning）如何通過改善迭代矩陣的條件數，從而極大地加速收斂速度。第四部分：特徵值問題的數值計算計算矩陣的特徵值和特徵嚮量在振動分析、量子力學、主成分分析（PCA）中至關重要。本書首先介紹瞭冪迭代法，用於尋找最大（或最小）特徵值，並分析瞭其收斂速度。隨後，引入反冪迭代法，它結閤瞭矩陣求逆的思路，能夠高效地逼近特定區間的特徵值。對於全矩陣特徵值問題的求解，本書的核心內容集中在QR算法。我們詳細講解瞭如何通過Householder反射或Givens鏇轉將一般矩陣轉化為Hessenberg矩陣（對於對稱矩陣則轉化為三對角矩陣），從而大大降低後續QR迭代的計算成本。QR算法的每一步迭代都建立在正交變換的基礎上，這保證瞭極佳的數值穩定性。我們還探討瞭使用Shift策略（如Rayleigh商Shift）來加速收斂至特徵值的具體實現細節。總結與展望《數值分析》緻力於提供一個全麵的視角，使讀者不僅能“使用”數值算法，更能“理解”算法背後的數學機理、穩定性和性能限製。全書穿插瞭大量的例子、證明和對計算復雜度的嚴格分析。它為讀者打下瞭堅實的計算思維基礎，是未來深入研究偏微分方程的數值解法、優化理論以及現代機器學習算法中涉及的大規模矩陣計算的必備知識儲備。本書的編寫風格注重嚴謹的數學推導，同時密切關注計算實踐中的實際問題，確保理論知識能夠有效地轉化為強大的計算工具。