Geometric Problems On Maxima And Minima pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Andreescu, Titu/ Mushkarov, Oleg/ Stoyanov, Luchezar N.

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2005-12

价格:$ 90.34

装帧:Pap

isbn号码:9780817635176

丛书系列:

图书标签:

几何
最值
最小值
最大值
数学问题
不等式
函数
解析几何
高中数学
竞赛数学

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具体描述

Presents hundreds of extreme value problems, examples, and solutions primarily through Euclidean geometry Unified approach to the subject, with emphasis on geometric, algebraic, analytic, and combinatorial reasoning Applications to physics, engineering, and economics Ideal for use at the junior and senior undergraduate level, with wide appeal to students, teachers, professional mathematicians, and puzzle enthusiasts

几何极值问题：从古典到现代的深度探索本书《几何极值问题：从古典到现代的深度探索》（暂定名）旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的几何极值问题的研究视角。本书的重点不在于罗列和解答已有的经典习题集，而是着重于问题的思想内核、求解方法的演进，以及这些方法在现代数学和应用领域中的潜力。本书的叙事结构将遵循一条清晰的脉络：从问题的起源与直观认识，过渡到严格的数学工具的引入，最终探讨现代优化理论与几何问题的交叉点。我们力求展现几何极值问题不仅是纯粹的几何学分支，更是分析学、拓扑学乃至计算科学的重要试验场。 --- 第一部分：奠基：直觉、连续性与初步工具 (Foundations: Intuition, Continuity, and Preliminary Tools) 本部分致力于为读者打下坚实的理论基础，重点在于理解“极值”概念在几何背景下的物理和数学意义。第一章：极值问题的直觉起源与历史脉络 (The Intuitive Origins and Historical Context of Extremal Problems) 本章将回顾历史上著名的极值问题，例如阿基米德对最大面积、最小周长的探索，以及更具挑战性的变分法先驱——悬链线问题的提出。我们将分析这些问题如何激发了数学家对“最优”形态的追求，以及这些直觉如何引导了后续微积分的发展。重点讨论的不是具体解法，而是驱动这些探索背后的哲学思考——自然界是否偏爱“简洁”或“最小作用量”的原理。第二章：连续性、紧致性与极值的存在性 (Continuity, Compactness, and the Existence of Extrema) 在讨论如何找到极值之前，必须确立极值存在的条件。本章将深入探讨魏尔斯特拉斯极值定理在几何空间中的应用。我们将分析在度量空间（如黎曼流形上的子集）中，如何通过定义合适的距离函数和拓扑结构，保证连续函数必定取得最大值和最小值。这包括对边界情况的严格处理，避免陷入只讨论“局部最优”的陷阱。第三章：微分几何的初探：梯度与法线 (An Introduction to Differential Geometry: Gradient and Normal Vectors) 本章介绍解决光滑几何问题所需的最基础的微分工具。我们不会深入研究张量分析，而是聚焦于理解梯度如何指向函数增长最快的方向，以及法线如何与等高线（或等位面）垂直。通过简单的平面和三维几何例子，阐释约束条件下的极值问题实际上是寻找一个方向，使得该方向与所有可行方向的约束函数梯度向量“正交”或“平衡”。 --- 第二部分：约束下的优化：拉格朗日乘子法的几何诠释 (Optimization Under Constraint: The Geometric Interpretation of Lagrange Multipliers) 本部分的核心是将代数工具——拉格朗日乘数法——置于严格的几何框架下进行解读。第四章：接触点与切平面：无约束与约束优化的分野 (Contact Points and Tangent Planes: Distinguishing Unconstrained and Constrained Optimization) 本章详细阐述了无约束优化（函数极值）与约束优化（曲面上的极值）的本质区别。我们将使用切平面和法向量的概念，展示在约束曲面上达到极值的必要条件是：目标函数的梯度向量必须位于约束函数的梯度向量所张成的子空间内，即两者是线性相关的。这一点的几何理解远比单纯的公式推导更为关键。第五章：边界效应与KKT条件的几何前身 (Boundary Effects and the Geometric Precursors to KKT Conditions) 对于非光滑约束（如不等式约束），简单的拉格朗日法失效。本章将提前引入KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件的几何直觉。我们将通过一个凸集上的优化问题，展示当最优解“卡在”约束边界上时，目标函数梯度与约束梯度之间的关系如何从“平行”转变为“反向线性组合”，从而引出互补松弛性（Complementary Slackness）的几何意义——即要么约束被严格满足（松弛变量为零），要么梯度方向被限制（拉格朗日乘子非零）。第六章：二次型分析与鞍点的几何判据 (Quadratic Form Analysis and Geometric Criteria for Saddle Points) 极值点（极大值、极小值）需要二阶条件来区分。本章将重点介绍Hessian矩阵在几何优化中的角色。我们将讨论如何通过分析目标函数在约束空间切平面上的二次逼近（即约束Hessian的限制）的正定性或不定性，来判断候选点是局部极小值、局部极大值，还是鞍点。对于鞍点，我们将从几何上解释为什么梯度为零却不是极值。 --- 第三部分：变分问题的空间：连续曲线与曲面的极值 (The Space of Variational Problems: Extrema of Continuous Curves and Surfaces) 本部分将讨论涉及函数空间（而非有限维向量空间）的极值问题，即变分法的基础。第七章：泛函的微分：欧拉-拉格朗日方程的几何根源 (The Differential of a Functional: Geometric Roots of the Euler-Lagrange Equation) 本章不以物理定律（如最小作用量原理）为出发点，而是严格地从泛函的变分角度出发。我们将定义泛函，并使用泛函导数（或称为泛函的变分）的概念。重点在于，如果一个曲线 $gamma(t)$ 使得泛函 $J[gamma]$ 达到极值，那么在 $gamma$ 附近引入任意小的扰动 $deltagamma$，泛函的变化 $delta J$ 必须为零。我们将展现欧拉-拉格朗日方程正是这一“零变化”条件的代数表达。第八章：测地线作为最短路径的极值表征 (Geodesics as Extremal Characterizations of Shortest Paths) 本章将测地线问题（黎曼几何的核心）视为一个纯粹的几何极值问题——在给定黎曼流形上，连接两点的曲线中，哪个具有最小的长度泛函。我们将分析欧拉-拉格朗日方程在度规张量下的具体形式，并讨论“测地线”作为“广义直线”的内在几何意义，即它在局部是“平坦”的，其切向量的协变导数为零。第九章：极小曲面与平均曲率 (Minimal Surfaces and Mean Curvature) 本章考察二维曲面的极值问题：在给定边界下，哪个曲面具有最小的面积泛函。我们将引入曲面的第一基本形式和第二基本形式，并推导出极小曲面的充要条件——平均曲率处处为零。我们将几何地解释平均曲率的概念，它代表了曲面在某一点上最大和最小法曲率的平均值。一个曲面是极小时，它在任何方向上受到的“拉伸力”都相互平衡。 --- 第四部分：现代视角：凸性、拓扑与计算 (Modern Perspectives: Convexity, Topology, and Computation) 本部分将目光投向现代数学工具，展示几何极值问题在更广阔的数学领域中的体现。第十章：凸几何与对偶性原理 (Convex Geometry and Duality Principles) 本章侧重于凸集和凸函数的性质。我们将论证，对于凸函数在凸集上的极值问题，任何局部最优解都是全局最优解。此外，我们将介绍Fenchel对偶（或勒让德变换）在几何优化中的应用，解释对偶问题如何在保证最优解存在性的同时，提供了一种理解原问题结构的不同视角，尤其是在涉及集合的支撑函数和分离超平面时。第十一章：拓扑约束下的极值：同调与稳定性 (Extrema Under Topological Constraints: Homology and Stability) 本章探索当“极值”被拓扑不变量（如连通性、洞的数量）所约束时的挑战。例如，在给定周长下，哪个图形能围出最大的面积（等周定理）？我们将探讨如何使用拓扑工具（如德拉姆上同调）来处理那些非光滑或具有奇异点的极值问题，并讨论极值解的稳定性——小的扰动是否会使解偏离最优状态。第十二章：数值方法与逼近 (Numerical Methods and Approximation) 最后，本章讨论如何在实践中“找到”这些极值。我们将概述有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）如何将连续的几何极值问题转化为大型稀疏线性代数问题。重点不是具体的算法实现，而是理解这些数值方法如何离散化几何约束和泛函，并最终逼近理论上的最优解。本书的全部内容，从直觉出发，经由微分工具的严格化，最终指向现代优化的交叉领域，旨在培养读者对“最优形态”背后深层数学结构和原理的深刻洞察力。