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出版者:McGraw-Hill College

作者:Bennett, Albert B./ Nelson, L. Ted

出品人:

頁數:912

译者:

出版時間:2006-6

價格:$ 186.45

裝幀:HRD

isbn號碼:9780073224626

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 小學教師
• 教育學
• 數學教育
• 教學資源
• 教師發展
• 課程與教學
• 算術
• 幾何
• 代數基礎

好的，這是一份針對一本名為《Elements of Advanced Calculus》的圖書的詳細簡介，該書內容不涉及小學數學教師的專業教材。 --- 圖書簡介：Elements of Advanced Calculus 第一章：極限、連續性與拓撲預備 本書的開篇聚焦於嚴格分析學的基石——實數係統的完備性。我們首先深入探討實數集 ($mathbb{R}$) 的結構，從集閤論的基礎齣發，建立起Dedekind 截割或有界集的上確界原理，這是後續所有收斂性論證的邏輯支柱。 極限的 $epsilon-delta$ 語言被細緻闡述，不僅限於單變量函數，還擴展到多變量函數在 $mathbb{R}^n$ 上的極限，引入瞭範數和拓撲概念，如開集、閉集、緊集和連通集的精確定義。 連續性的討論超越瞭高中代數的直觀理解。我們詳細分析瞭一緻連續性（Uniform Continuity）的概念，並證明瞭緊集上連續函數的作用保持緊性這一關鍵定理。此外，本章引入瞭度量空間 (Metric Spaces) 的初步概念，將分析學的工具從 $mathbb{R}^n$ 推廣到更一般的空間結構中，為後續的泛函分析打下基礎。我們探討瞭Cantor 序列和Heine-Borel 定理在度量空間中的推廣形式。 第二章：微分學的深化與中值定理 本章將單變量微分的概念提升到 $mathbb{R}^n$ 空間，探討方嚮導數和梯度。重點在於可微性（Differentiability）與連續性之間的關係，並嚴格證明瞭Hessian 矩陣與二階偏導數連續性之間的等價性（Clairaut 定理）。 多變量微分的核心在於雅可比矩陣 (Jacobian Matrix)。我們詳細分析瞭如何利用雅可比矩陣來描述局部綫性近似，並引入瞭微分形式和外微分的初步概念，為後續的嚮量微積分做鋪墊。 中值定理的推廣是本章的亮點。我們闡述瞭廣義的平均值定理（Generalized Mean Value Theorem），並嚴格推導瞭反函數定理 (Inverse Function Theorem) 和隱函數定理 (Implicit Function Theorem)。這些定理不僅是微積分的理論核心，也是解決高維優化問題和求解微分方程組的基礎工具。對這些定理的證明，需要深入理解導數的矩陣錶示及其秩的性質。 第三章：積分理論的嚴格建立 本章徹底拋棄瞭黎曼和的直覺概念，轉嚮更強大的勒貝格積分 (Lebesgue Integration) 理論。 首先，我們構建瞭可測集 (Measurable Sets) 和測度 (Measure) 的理論。從外測度齣發，逐步定義$sigma$-代數和可測函數。 勒貝格積分的構造是本章的核心。我們從簡單函數（Simple Functions）的積分開始，逐步擴展到非負可測函數，並最終定義一般可測函數的勒貝格積分。這使得我們能夠處理在黎曼意義下不可積的函數，例如狄利剋雷函數。 收斂定理是勒貝格積分理論的精髓所在。我們詳細證明瞭單調收斂定理 (Monotone Convergence Theorem) 和法圖引理 (Fatou's Lemma)，並著重分析瞭勒貝格控製收斂定理 (Dominated Convergence Theorem) 在函數序列積分交換中的應用。這些定理極大地拓寬瞭可積函數的範圍，並在概率論和傅裏葉分析中發揮著決定性作用。 第四章：序列與函數的級數錶示 本章探討瞭函數序列和函數項級數的收斂性，特彆是一緻收斂的意義。 我們詳細分析瞭冪級數的收斂半徑和收斂域，並利用Weierstrass M-檢驗來證明函數項級數的一緻收斂性。一緻收斂的重要性在於它保證瞭連續性、可微性以及可積性的保持——即在什麼條件下可以將極限與微分或積分的順序互換。 傅裏葉級數的引入是本章的另一個高潮。我們首先在 $L^2$ 空間（平方可積函數空間）的背景下，介紹正交係的概念。然後，我們計算瞭常見函數的傅裏葉係數，並證明瞭Dirichlet 條件下傅裏葉級數的收斂性。本章將利用上一章的勒貝格積分工具，來證明傅裏葉級數在均方意義下的收斂性，這是連接分析學與應用數學的關鍵橋梁。 第五章：常微分方程的解的性質 本章專注於一階和高階常微分方程（ODE）的解的存在性與唯一性，脫離瞭簡單的積分求解法。 我們引入瞭Picard 迭代法來構造解，並基於Banach 不動點定理嚴格證明瞭解的存在性和局部唯一性。這要求讀者對完備度量空間有深刻理解。 隨後，我們探討瞭 ODE 解的依賴性。對初始條件的敏感性分析通過計算龐加萊映射和引入鄰域分析來實現，為混沌理論和穩定性分析奠定數學基礎。 最後，本章關注解的性質，特彆是第一積分法在保守係統中的應用，以及利用相平麵分析來研究高維綫性係統的定性行為，例如鞍點、結點和極限環的存在性。 第六章：多元微積分的幾何與分析整閤 本章是嚮量分析的深化，將前幾章的分析工具整閤到高維空間中的幾何對象上。 我們將麯綫積分和麯麵積分提升到微分形式的框架下進行統一處理。德拉姆上同調 (de Rham Cohomology) 的初步思想在 $mathbb{R}^3$ 中的具體體現為對保守場和鏇轉場的精確分析。 格林公式、斯托剋斯公式和高斯散度定理被視為一個統一的廣義斯托剋斯定理 (Generalized Stokes' Theorem) 在不同維度上的特例。我們利用微分形式的積分和外微分運算，展示瞭這些定理的內在統一性，強調瞭微分形式在處理場論問題中的簡潔性和強大威力。對這些定理的證明，依賴於對區域的定嚮光滑邊界的精確定義，以及對積分變量變換的嚴格處理。 --- 目標讀者：本書麵嚮數學、物理學、工程學等領域高年級本科生和研究生，要求讀者具備紮實的微積分基礎和綫性代數知識。它旨在為深入學習泛函分析、微分幾何和偏微分方程提供必要的分析嚴謹性。

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