Elementary Number Theory pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Waveland Pr Inc

作者:Eynden, Charles Vanden

出品人:

頁數:278

译者:

出版時間:

價格:52.95

裝幀:HRD

isbn號碼:9781577664451

叢書系列:

圖書標籤:

• number theory
• elementary number theory
• mathematics
• algebra
• discrete mathematics
• arithmetic
• number
• mathematical analysis
• combinatorics
• proofs

《代數幾何初步》 導言 代數幾何是現代數學中一個迷人且深邃的分支，它以代數工具（特彆是多項式環和理想）來研究幾何對象（如麯綫、麯麵及更高維度的空間）。本書旨在為具備紮實代數基礎（如群論、環論和域論）的讀者提供一個全麵而深入的代數幾何入門。我們將從最基本的概念齣發，逐步構建起一個清晰的理論框架，涵蓋古典代數幾何的核心思想，並引入現代代數幾何的關鍵工具，特彆是概形（Scheme）理論的初步概念。 本書的結構旨在平衡抽象性和直觀性。我們首先從復射影空間 $mathbb{P}^n(mathbb{C})$ 上的經典代數集（Algebraic Sets）入手，通過研究零點集（Vanishing Loci）來理解多項式與幾何形狀之間的關係。隨後，我們將轉嚮更具代數特性的概念，如理想與代數集的對應關係，這自然地引齣瞭射影代數簇（Projective Algebraic Varieties）的概念。 第一部分：經典代數幾何基礎 第一章：仿射空間與代數集 本章首先定義 $n$ 維仿射空間 $A^n = k^n$，其中 $k$ 是一個任意域。我們重點研究由多項式理想 $I subset k[x_1, dots, x_n]$ 定義的零點集 $V(I)$，即代數集。核心工作是建立希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz）的各個版本。我們將詳細論證著名的“點－理想”對應關係：仿射空間中的代數集與其對應的理想之間存在著一一的反嚮對應。 我們引入瞭主的概念——坐標環 $k[V] = k[x_1, dots, x_n]/I(V)$，並討論瞭它作為度量幾何結構的一個代數錶徵。兩個代數集同構（在它們的坐標環同構的意義下）的條件將被詳細闡述。本章的最後一部分將探討不可約代數集，即代數簇（Algebraic Varieties），並引入瞭維度的概念，主要通過主理想的生成元個數和環論中的Krull維度進行關聯。 第二章：射影空間與射影代數簇 為瞭剋服仿射空間中對“無窮遠點”處理的不足，我們引入瞭射影空間 $mathbb{P}^n(k)$ 的定義，基於 $k^{n+1} setminus {0}$ 上的等價關係 $(x_0, dots, x_n) sim (lambda x_0, dots, lambda x_n)$。我們將研究齊次多項式和齊次理想，以及由此定義的射影代數簇。 射影空間中的幾何性質通常比仿射空間更優美。本章將側重於射影空間的開補集結構，即仿射開集 $U_i$ 的覆蓋。我們將定義射影簇的度數（Degree）和本原性的概念，並開始探討如何通過研究局部性質來理解全局結構。費馬二次麯綫 $x_0x_3 - x_1x_2 = 0$ 將被用作貫穿本章的實例，幫助讀者理解射影代數簇的幾何直觀。 第三章：態射（Morphisms）與有理映射 幾何研究的核心在於研究對象之間的結構保持的映射。本章定義瞭代數簇之間的態射，即在局部上由多項式定義的映射。我們證明瞭態射的等價刻畫：從代數簇 $V$ 到 $mathbb{P}^m$ 的態射 $f: V o mathbb{P}^m$ 與坐標環的同態 $f^: k[ mathbb{P}^m ] o k[V]$ 之間存在自然的一一對應。 隨後，我們討論瞭有理映射（Rational Maps），這是態射的推廣，允許在某些點上沒有定義。我們首次引入瞭“不可約多項式在 $V$ 上的零點集是 $V$ 的閉子集”這一關鍵性質，為後續不可約性分解的嚴謹證明奠定瞭基礎。 第二部分：簇的局部性質與正則函數 第四章：局部環與奇點 幾何直觀告訴我們，空間上光滑的點比有奇點的點更容易理解。本章側重於從代數角度精確地定義“光滑性”。我們引入瞭局部化（Localization）的概念，構建瞭簇 $V$ 上任意一點 $P$ 的局部環 $mathcal{O}_{V, P}$。這個環是所有定義在 $P$ 鄰域內的有理函數在 $P$ 處的局部限製。 我們利用局部環的極大理想來定義該點處的切空間（Tangent Space）。關鍵結果是：一個點 $P$ 是光滑的，當且僅當其局部環 $mathcal{O}_{V, P}$ 是一個正則局部環（Regular Local Ring），或者更具體地說，其局部化後的下降維度（下降的餘維度）等於環的餘維度。我們將通過實例分析麯綫和麯麵上的尖點和交點等經典奇點。 第五章：維度理論的深入 維度概念在第一章中隻是直觀引入，本章將通過更嚴格的環論工具深化理解。我們利用 Krull 維度的定義，並結閤阿貝爾-珀金定理（Akizuki-Hopkins-Levitzki Theorem），證明瞭代數簇的維度在仿射和射影坐標係下是一緻的，並且與局部環中的正則參數個數相關。對於不可約代數簇 $V$，其維度 $dim(V)$ 被定義為 $dim(mathcal{O}_{V, P})$，並證明瞭 $dim(V)$ 是其坐標環的 Krull 維度。 第三部分：嚮概形理論過渡 第六章：預層與層 為瞭更靈活地處理局部數據，我們開始構建現代代數幾何的語言：層論。本章定義瞭預層（Presheaf）和層（Sheaf）的概念，重點關注阿貝爾群層。我們構造瞭代數簇上的結構層 $mathcal{O}_V$，即正則函數層，它將每個開集 $U subset V$ 映射到在 $U$ 上定義的所有代數函數的環 $mathcal{O}_V(U)$。 我們將闡明“層”的兩個基本公理（局部同一性與一緻性），並通過經典的例子——例如，在仿射空間上定義的連續函數層——來檢驗這些公理。 第七章：概形初步 雖然本書主要集中在經典代數簇，但為瞭展示未來的方嚮，本章將簡要介紹概形（Scheme）的構造。我們將域 $k$ 上的環譜 $operatorname{Spec}(R)$ 定義為具有素理想作為其點的拓撲空間，配備瞭由 $R$ 的局部化定義的結構層。 我們將展示如何將我們之前研究的代數簇視為特定的概形，即“經典概形”或“Reduced Schemes”。這提供瞭一個統一的框架，使得我們可以用“譜理論”來研究幾何對象，這對於處理特徵非零域上的代數幾何至關重要。我們將定義一個“態射”的概形版本，即環同態誘導的連續映射，並簡要提及推廣到任意交換環的必要性。 結論 本書提供瞭從經典代數幾何到現代概形理論的穩固橋梁。通過對代數集、代數簇、局部性質和層論的係統性研究，讀者將不僅掌握代數幾何的基本工具，還能為進一步學習如範疇論、交換代數高級主題以及更精細的幾何不變式（如上同調）做好準備。代數與幾何的深刻結閤，構成瞭本書的核心魅力。

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