Mathematics for the IB Diploma Standard Level pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Quadling, Douglas/ Neill, Hugh

出品人:

页数:654

译者:

出版时间:2007-8

价格:$ 55.37

装帧:Pap

isbn号码:9780521699280

丛书系列:

图书标签:

IB Diploma
Mathematics
Standard Level
Calculus
Statistics
Trigonometry
Algebra
Geometry
Functions
Problem Solving
Exam Preparation

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具体描述

Specifically written to cover the new IB Mathematics syllabuses, these books provide a weath of practice material and have been extensively tested in classrooms. They include: full coverage of the IB syllabus; past examination questions; revision sections at regular intervals; and a full answer key. The books also describe graphical calculator methods as required by the IB syllabus.

纯粹的数学探险：深入解析高等代数与拓扑结构图书名称：《超越极限：高等代数与现代拓扑学导论》内容概要：本书旨在为对抽象数学抱有浓厚兴趣的读者，提供一个全面而深入的、关于高等代数和现代拓扑学的严谨导引。我们不再局限于中学或基础微积分所涉及的具体数值计算和函数分析，而是将视野投向数学的结构性本质，探讨集合、运算、空间和连续性在更抽象层面的定义、性质及其相互关联。第一部分：代数的宏大架构——群、环与域的基石第一部分聚焦于抽象代数的核心概念。我们从集合论基础的必要回顾开始，确保读者对构造现代数学对象的原材料有清晰的认识。这包括对良序、选择公理的简要讨论，为后续的构造奠定逻辑基础。第1章：群论的优雅结构本章将群的概念提升到其最纯粹的形态。我们不仅仅定义了群的四个基本公理，更深入探讨了子群、陪集和正规子群的性质。重点在于理解商群（Factor Groups）的构造，这是理解代数结构如何“简化”或“分解”的关键。我们将详细分析同态（Homomorphism）和同构（Isomorphism）的概念，证明第一同构定理，并将其应用于经典例子，如对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 的分析。此外，我们引入了群作用（Group Actions）的概念，利用轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）来计算群作用下的不动点集，这为后续的计数问题和伽罗瓦理论的铺垫打下基础。对Sylow定理的详细推导和应用，将揭示有限群内部结构的复杂性，特别是对 $p$-群的深入剖析。第2章：环的算术与域的完备从群的单一运算扩展到具有加法和乘法两种运算的代数结构——环（Ring）。本章首先区分了交换环、单位环以及更特殊的整环（Integral Domain）。我们强调了理想（Ideals）在环理论中的核心地位，将其视为环中的“子群”概念的推广，并详细探讨了商环（Quotient Rings）的构造。重点将放在主理想域（PID）和唯一分解域（UFD）的特性上。我们将通过欧几里得整环（如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$）来阐释这些概念，并展示如何将欧几里得算法推广到更一般的结构中。最后，我们将讨论域（Field）——一种特殊的、允许除法的环。我们深入研究域扩张（Field Extensions），特别是代数数域的概念。通过对最小多项式的构造，我们将代数方程的根与域的扩张联系起来，为理解伽罗瓦理论的深度埋下伏笔。第二部分：空间的本质——拓扑学的几何直觉第二部分将读者的注意力从“运算”转移到“空间”上，探索空间本身的性质，不依赖于距离（度量）的概念。第3章：拓扑空间的建立本章是现代几何学的真正起点。我们首先定义了拓扑结构，即开集族，并严格证明了开集族必须满足的三个基本公理（空集、全集、任意并集、有限交集是开集）。在此基础上，我们引入了闭集、邻域（Neighborhood）和内部、闭包、边界等基本概念。读者将学习如何通过“开集”的语言来重新定义我们熟悉的直觉概念，如“聚点”和“极限点”。本章的一个核心内容是对拓扑性质的探讨。我们定义了连续函数——从拓扑角度看，它是保持拓扑结构的函数——并展示了连续性与原像（Pre-image）的关系。同胚（Homeomorphism）的概念被引入，它定义了拓扑上“相同”的空间，强调拓扑学关注的是“可形变性”而非刚性结构。第4章：分离公理与紧致性为了从最一般的拓扑空间过渡到更具分析意义的空间，本章聚焦于分离公理（Separation Axioms）。我们将详细区分 $T_1$ 空间、$T_2$（豪斯多夫/Hausdorff）空间，并解释为什么豪斯多夫性对于定义收敛序列至关重要。我们将证明所有度量空间都是豪斯多夫的。紧致性（Compactness）是拓扑学中最深远的概念之一。我们通过开复盖定义来严格定义紧致性，并证明在豪斯多夫空间中，紧致子集的闭包依然是紧致的。更重要的是，我们将探讨局部紧致性，以及紧致性与连续函数之间的深刻联系——连续函数将紧致集映射到紧致集。第5章：连通性与度量空间的桥梁本章探讨空间如何被分割或连接。连通性（Connectedness）的概念被定义为不能被分离成两个非空开子集的空间。我们将证明实数线 $mathbb{R}$ 的区间是连通的，并介绍路径连通性（Path-Connectedness）作为连通性的更强条件，并讨论两者在一般拓扑空间中的关系。最后，本部分旨在搭建抽象拓扑与分析的桥梁。我们复习并深化了度量空间（Metric Spaces）的定义，展示了度量如何诱导出拓扑结构。我们将探究完备性（Completeness）的概念，即柯西序列在空间中总能收敛，并将此与第一部分中对域扩张的讨论进行对比，展示代数结构与空间性质之间的微妙共鸣。本书的难度设定超越了基础的微积分要求，面向渴望理解数学结构深层原理的研究者和高级学生。它要求读者具备强大的逻辑推理能力和对形式化证明的接受度。