Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Richard J. Rossi

出品人:

页数:318

译者:

出版时间:2006

价格:925.00元

装帧:HRD

isbn号码:9780470042953

丛书系列:Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs, and Tracts

图书标签:

数学
定理
证明方法
数学分析
离散数学
逻辑学
高等数学
数学基础
数学技巧
数学研究

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具体描述

A hands-on introduction to the tools needed for rigorous and theoretical mathematical reasoning Successfully addressing the frustration many students experience as they make the transition from computational mathematics to advanced calculus and algebraic structures, Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof equips students with the tools needed to succeed while providing a firm foundation in the axiomatic structure of modern mathematics. This essential book: Clearly explains the relationship between definitions, conjectures, theorems, corollaries, lemmas, and proofs Reinforces the foundations of calculus and algebra Explores how to use both a direct and indirect proof to prove a theorem Presents the basic properties of real numbers Discusses how to use mathematical induction to prove a theorem Identifies the different types of theorems Explains how to write a clear and understandable proof Covers the basic structure of modern mathematics and the key components of modern mathematics A complete chapter is dedicated to the different methods of proof such as forward direct proofs, proof by contrapositive, proof by contradiction, mathematical induction, and existence proofs. In addition, the author has supplied many clear and detailed algorithms that outline these proofs. Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof uniquely introduces scratch work as an indispensable part of the proof process, encouraging students to use scratch work and creative thinking as the first steps in their attempt to prove a theorem. Once their scratch work successfully demonstrates the truth of the theorem, the proof can be written in a clear and concise fashion. The basic structure of modern mathematics is discussed, and each of the key components of modern mathematics is defined. Numerous exercises are included in each chapter, covering a wide range of topics with varied levels of difficulty. Intended as a main text for mathematics courses such as Methods of Proof, Transitions to Advanced Mathematics, and Foundations of Mathematics, the book may also be used as a supplementary textbook in junior- and senior-level courses on advanced calculus, real analysis, and modern algebra.

欧几里得几何中的结构与逻辑：从基础公理到复杂证明的精妙构建本书旨在带领读者深入探索欧几里得几何学，一个建立在清晰公理基础之上，并通过严密逻辑推导构建起宏伟理论体系的数学分支。我们聚焦于几何概念的本质，探索如何将抽象的图形、点、线、面转化为可操作的数学语言，并最终形成令人信服的证明。本书的结构将遵循从最基础的定义和公设出发，逐步深入到更复杂的定理和结构，侧重于证明方法的解析与应用。第一部分：基础的奠基——公理、定义与初步推论本部分将细致梳理欧几里得几何的基石。我们不会仅仅罗列公理，而是探究这些看似简单的陈述是如何作为逻辑的起点，支撑起整个几何大厦的。 1. 几何学的根基：公理与公设的哲学我们将详细审视欧几里得提出的五条公设（Axioms）和五条公理（Common Notions）。重点不在于背诵，而在于理解它们在逻辑体系中的作用。例如，平行公设的独特性及其在非欧几何发展中的历史地位，以及恒等性、整体与部分关系的公理如何在日常推理中体现其数学上的严谨性。 2. 基本概念的精确界定点、线、面、界、连续体等基本术语的精确定义是后续一切论证的前提。我们将分析这些定义的内涵与外延，例如，“线是广延而无厚度”、“面是广延而只有长度与宽度”。理解这些定义如何排除了歧义，确保了讨论的唯一性。 3. 初步的构造与存在性证明在严格定义的基础上，我们开始构建第一个层次的几何对象。这包括对线段的作图、角的平分以及圆的构造。这些“构造性证明”不仅展示了如何实现这些几何动作，更重要的是，它们本身就是一种对“可能存在性”的论证。例如，证明任意两点之间总能画出一条直线，这看似不证自明，但在形式逻辑体系中，必须被明确阐述和证明。第二部分：核心定理的推导与证明技巧的磨砺几何学的核心在于其定理。本部分将系统地分析那些构成平面和立体几何骨架的关键定理，并详细剖析不同类型的证明策略。 1. 平行线的世界：角度关系与全等性我们将深入探讨平行线理论。同位角、内错角、同旁内角之间的关系，如何从第五公设推导出这些至关重要的等式。随后的重点将转向三角形的全等判定定理（SSS, SAS, ASA）。每一种判定方法都对应着一种不同的逻辑路径，我们需要解析每一步推理的必要性。例如，在证明SAS时，如何利用旋转或平移的几何变换概念来稳固地证明两边及夹角相等意味着整体的重合。 2. 相似性的美学：比例与度量在全等性之后，相似性是几何学中处理比例关系的进阶工具。我们将探讨AA相似判据，以及它在处理不可直接测量的距离（如塔高、河宽）时的强大应用。这里将引入比例论的早期形式，展示几何学如何与代数思维开始融合。 3. 勾股定理的深度解析勾股定理（毕达哥拉斯定理）无疑是几何学的皇冠上的宝石之一。我们将不仅展示其最著名的代数证明，更会探索其几何意义——即面积关系的体现。我们会考察至少两种不同的几何证明法，理解它们如何从不同的角度揭示了直角三角形边长之间的内在联系。 4. 证明方法的精细区分本书的核心价值之一在于对证明方法的归类与应用：直接证明法 (Direct Proof): 从已知条件（假设）出发，通过一系列逻辑推理直接导向结论。反证法 (Proof by Contradiction): 假设结论不成立，并由此推导出与已知条件或公理相矛盾的结果，从而确立原结论的正确性。我们将分析为何在某些情况下（如证明无理数存在性），反证法比直接证明更为高效和简洁。数学归纳法 (Mathematical Induction): 虽然常用于数论，但其在某些涉及序列和无限叠加的几何构造中也显示出其威力。第三部分：超越平面——立体几何的展开与空间思维一旦我们掌握了平面几何的逻辑，自然会将视野拓展到三维空间。立体几何要求我们发展出新的空间想象力和处理三维关系的逻辑工具。 1. 空间的基本元素与相对关系点的空间位置、直线在空间中的定义、平面如何被定义（三点、一直线与一点、两条相交直线）。重点将放在线与面、面与面之间的相互关系：平行、相交。例如，证明一个平面垂直于另一平面，需要精确论证其法线的关系。 2. 欧几里得立体几何的支柱：多面体与圆柱、圆锥我们将分析多面体的欧拉公式（$V-E+F=2$）的几何意义，理解它如何统一了所有凸多面体的拓扑属性。随后，我们将详细推导圆柱和圆锥的性质，特别是它们的截面——这些截面（圆、椭圆、抛物线、双曲线）如何揭示了锥面几何的深刻统一性。 3. 测量与体积的几何基础体积的计算在立体几何中是一个复杂的过程，它依赖于对“连续性”的理解。我们将追溯体积计算的早期方法，如何通过“切割与重组”的思想，将复杂的立体分解为易于计算的棱柱或棱锥，并最终推导出球体、圆锥和圆柱的体积公式。这些推导过程是几何证明逻辑链条的延伸与强化。第四部分：逻辑的边界与几何的延伸最后一部分将超越纯粹的欧几里得结构，探讨几何证明的局限性以及对更广阔数学世界的展望。 1. 构造的局限性与尺规作图的限制我们将探讨“尺规作图”这一古老的要求。哪些问题（如化圆为方、三等分角、倍立方）被证明是无法仅用圆规和直尺完成的。这种“不可能的证明”本身就是最精妙的逻辑应用，它依赖于代数域扩张的理论，展示了纯几何限制如何映射到代数结构上。 2. 从公理到模型：几何学的本质本书最后将引导读者思考：几何学究竟是什么？它是对物理世界的描述，还是一个纯粹的逻辑结构？通过对欧几里得体系的深入剖析，我们可以更清晰地认识到，数学的强大在于其内部的一致性，而非必须与外部世界完全吻合。本书旨在培养读者对严密逻辑的尊重，以及对数学结构之美的深刻洞察力。