Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Gromov, Mikhael

出品人:

页数:606

译者:

出版时间:2006-12

价格:$ 111.87

装帧:HRD

isbn号码:9780817638986

丛书系列:Progress in Mathematics

图书标签:

数学
Riemannian geometry
Metric spaces
Non-Riemannian geometry
Differential geometry
Geometric analysis
Topology
Mathematical analysis
Space geometry
Curvature
Manifolds

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具体描述

Metric theory has undergone a dramatic phase transition in the last decades when its focus moved from the foundations of real analysis to Riemannian geometry and algebraic topology, to the theory of infinite groups and probability theory. The new wave began with seminal papers by Svarc and Milnor on the growth of groups and the spectacular proof of the rigidity of lattices by Mostow. This progress was followed by the creation of the asymptotic metric theory of infinite groups by Gromov. The structural metric approach to the Riemannian category, tracing back to Cheeger's thesis, pivots around the notion of the Gromov-Hausdorff distance between Riemannian manifolds. This distance organizes Riemannian manifolds of all possible topological types into a single connected moduli space, where convergence allows the collapse of dimension with unexpectedly rich geometry, as revealed in the work of Cheeger, Fukaya, Gromov and Perelman. Also, Gromov found metric structure within homotopy theory and thus introduced new invariants controlling combinatorial complexity of maps and spaces, such as the simplicial volume, which is responsible for degrees of maps between manifolds. During the same period, Banach spaces and probability theory underwent a geometric metamorphosis, stimulated by the Levy-Milman concentration phenomenon, encompassing the law of large numbers for metric spaces with measures and dimensions going to infinity. The first stages of the new developments were presented in Gromov's course in Paris, which turned into the famous "Green Book" by Lafontaine and Pansu (1979). The present English translation of that work has been enriched and expanded with new material to reflect recent progress. Additionally, four appendicesoby Gromov on Levy's inequality, by Pansu on "quasiconvex" domains, by Katz on systoles of Riemannian manifolds, and by Semmes overviewing analysis on metric spaces with measuresoas well as an extensive bibliography and index round out this unique and beautiful book.

好的，这是一份关于另一本假想的、名称为《拓扑流形上的几何分析导论》的图书简介，它不会包含您提及的《Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces》中的内容。《拓扑流形上的几何分析导论》（Introduction to Geometric Analysis on Topological Manifolds）作者： [此处留空，模拟书籍作者信息] 出版社： [此处留空，模拟出版社信息] 出版年份： [此处留空，模拟出版年份] --- 内容概要《拓扑流形上的几何分析导论》是一部旨在为读者提供坚实基础，以便深入理解在拓扑流形框架下进行微分几何与分析交叉研究的专业著作。本书的核心目标是构建一座桥梁，连接抽象的拓扑概念与具体的、可操作的分析工具，特别关注那些不依赖于预设度量的几何结构。全书内容围绕拓扑流形（Topological Manifolds）这一基础概念展开，探讨如何在这些空间上定义和研究拓扑不变量、特征类以及相关的分析工具。与侧重于黎曼几何和度量结构的著作不同，本书将重点放在那些仅依赖于流形光滑结构或更一般拓扑结构的理论。第一部分：拓扑基础与微分结构的回顾本书伊始，我们将对拓扑流形的概念进行详尽的阐述，涵盖开集、拓扑嵌入、同胚、以及与微分流形概念的初步联系。此部分旨在确保读者对基础拓扑结构有清晰的认识，为后续引入更复杂的概念打下基础。微分结构：我们将深入探讨光滑结构的存在性与唯一性问题，以及如何构建坐标图册（Atlas）。特别地，我们讨论了光滑映射的定义及其在流形上的微分。然而，本部分将刻意淡化度量张量的引入，而是侧重于保持几何性质的拓扑不变量。向量场与微分形式：在不引入任何度量结构的情况下，本书详细研究了向量场、光滑函数上的微分运算（如外微分 $d$）、以及微分形式的代数结构——楔积。我们强调了链复形（Chain Complexes）和上链复形（Cochain Complexes）的构造，为德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的引入做准备。第二部分：拓扑不变量与上同调理论几何分析的许多核心问题可以通过研究拓扑不变量来解决。本书的第二部分专注于这些不变量的构建与计算，特别是基于拓扑概念的上同调理论。德拉姆上同调：我们将详细推导德拉姆上同调群 $H_{dR}^k(M)$ 的构造过程，证明其与奇异上同调（Singular Cohomology）之间的同构关系。这一部分是全书的基石，它展示了如何仅通过微分结构上的信息来揭示流形的内在拓扑性质。我们将应用这些工具来计算简单流形（如球面、环面）的上同调群。拓扑特征类：本书后续章节将引导读者进入更高级的主题——拓扑特征类（Topological Characteristic Classes）。我们重点讨论陈类（Chern Classes）和庞加莱对偶（Poincaré Duality）。虽然陈类通常与向量丛上的度量有关联，但本书将着重于其作为流形上微分形式的拓扑不变量的定义，即通过示性类（Stiefel-Whitney Classes）或相关结构来描述。庞加莱对偶：作为拓扑与分析的交汇点，庞加莱对偶定理被视为连接 $k$ 维链与 $(n-k)$ 维上链的关键工具。本书将详述其在微分流形上的表述，并讨论其在不动点定理和嵌入理论中的应用。第三部分：拓扑流形上的分析工具在确立了拓扑和上同调的分析框架后，本书的第三部分将引入在无度量空间中依然有效的分析工具。椭圆算子与谱理论（非度量依赖）：我们将讨论在拓扑流形上可以定义的特定类型的椭圆算子，这些算子依赖于流形的微分结构而非黎曼度量。例如，将拉普拉斯算子（Laplacian Operator）推广到德拉姆复形上的拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator） $Delta_d$。本书将证明 $Delta_d$ 的零空间（Kernel）直接对应于德拉姆上同调群。此处的分析关注于算子的基本性质，如霍奇分解（Hodge Decomposition）的拓扑含义。势理论与热核：我们将探讨流形上的势理论（Potential Theory）在拓扑背景下的初步应用，特别关注热核（Heat Kernel）在微分算子分析中的作用，并讨论其在指数定理（Index Theorems）中的拓扑解释，而不涉及度量张量对热核的具体影响。应用与展望：最后，本书将简要回顾几何分析中依赖于拓扑结构的著名定理，例如阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）的拓扑版本。我们将强调指标定理如何作为一个纯粹的拓扑/分析结果，将一个椭圆算子的全局性质（指标）与流形的拓扑不变量（特征类）联系起来。读者对象与先决条件本书的目标读者是研究生、博士后研究人员以及希望在几何、拓扑和分析交叉领域进行深入研究的数学家。先决条件：读者应具备扎实的微积分基础，熟悉抽象代数中的群论和环论，以及流形理论的入门知识（包括拓扑流形和光滑流形的基本概念）。本书的重点是分析的深度而非黎曼几何的广度，因此对黎曼度量和联络的预备知识要求较低。 --- 《拓扑流形上的几何分析导论》致力于为研究者提供一个清晰、严格的框架，以理解几何分析中那些植根于流形拓扑结构而非其局部度量的深刻理论。它提供了一种不同的视角，强调了微分形式、上同调理论以及椭圆算子在揭示空间内在结构中的核心作用。